第一部分：

若三角形的三個(gè)內(nèi)角均小于120°，則三角形的正等角中心為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).(費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題第一期已證明,，點(diǎn)此查看→【費(fèi)馬點(diǎn)問(wèn)題1】)

第二部分：

若三角形有一個(gè)內(nèi)角大于等于120°,則此鈍角的頂點(diǎn)為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn).

下面對(duì)定理的第二部分進(jìn)行證明：

首先將定理內(nèi)容轉(zhuǎn)化為幾何語(yǔ)言：

如圖,，在△ABC中,∠BAC≥120°,求證:點(diǎn)A為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

設(shè)點(diǎn)P為平面內(nèi)異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)C'使AC'=AC,，記∠CAC'=α,；

將線段AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α至AP'，連接PP',；

易證△PAC?△P'AC',，所以PC=P'C'.

因?yàn)椤螧AC≥120°，所以α≤60°,，

所以在三角形APP'中,，∠AP'P≥∠PAP'，所以PA≥PP',；

所以PA+PB+PC≥PP'+PB+P'C';

如圖所示：PP'+PB+P'C'>BC',，

因?yàn)锽C'的長(zhǎng)度是點(diǎn)A到三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和(AA+AB+AC)，

所以點(diǎn)A為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn).

注意觀察紅線和藍(lán)線的長(zhǎng)短關(guān)系.