三角形內(nèi),，存在著一個(gè)特殊的點(diǎn),，這個(gè)點(diǎn)到到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和是最小的，這樣的點(diǎn)我們稱之為費(fèi)馬點(diǎn),，這個(gè)最小的距離叫做費(fèi)馬距離,。若三角形的內(nèi)角均小于120°，那么三角形的費(fèi)馬點(diǎn)與各頂點(diǎn)的連線三等分費(fèi)馬點(diǎn)所在的周角,；若三角形內(nèi)有一個(gè)內(nèi)角大于等于120°,，則此鈍角的頂點(diǎn)就是到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)。今天我們就來(lái)詳細(xì)的研究費(fèi)馬點(diǎn)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,。

1.若三角形有一個(gè)內(nèi)角大于等于120°,，則此鈍角的頂點(diǎn)即為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)

已知：如圖在△ABC中，∠BAC≥120°,，求證：點(diǎn)A為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

2.若三角形的內(nèi)角均小于120°,，則以三角形的任意兩邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形外接圓在三角形內(nèi)的交點(diǎn)即為該三角形的費(fèi)馬點(diǎn)．

已知：如圖,，在△ABC中三個(gè)內(nèi)角均小于120°,，分別以AB、AC為邊向外作等邊三角形,，兩個(gè)等邊三角形的外接圓在△ABC內(nèi)的交點(diǎn)為O,，求證：點(diǎn)O為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)

此時(shí)ABAC為邊向外作等邊三角形，兩個(gè)等邊三角形的外接圓在△ABC內(nèi)的交點(diǎn)即為點(diǎn)O,。如圖,，在△ABC中，若∠BAC,、∠ABC,、∠ACB均小于120°，O為費(fèi)馬點(diǎn),，則有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°,，所以三角形的費(fèi)馬點(diǎn)也叫三角形的等角中心

【典型例題1】如圖,，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－6,，0）,，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0）,，已知點(diǎn)C坐標(biāo),，延長(zhǎng)AC至點(diǎn)D使得CD＝AC，過(guò)點(diǎn)DE作DE//AB,，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,，設(shè)G為y軸上的一點(diǎn)，點(diǎn)P從直線y'與y軸的交點(diǎn)M出發(fā),，先沿y軸到達(dá)點(diǎn)G,，再沿GA到達(dá)點(diǎn)A，若點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是它在直線GA上運(yùn)動(dòng)速度的2倍,，試確定點(diǎn)G的位置,，使點(diǎn)P按照上述要求到達(dá)A所用的時(shí)間最短?,？

【典型例題2】A,、B、C,、D四個(gè)城市恰好為一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn),，要建立一個(gè)公路系統(tǒng)使得每?jī)蓚€(gè)城市之間都有公路相通，并是整個(gè)公路系統(tǒng)的總長(zhǎng)度為最小,，則應(yīng)當(dāng)如何修建,？?