文檔介紹：費(fèi)馬點(diǎn)的證明方法 費(fèi)馬點(diǎn)，就是平面上到三角形三頂點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn),。 當(dāng)三角形有一個內(nèi)角大于或等于一百二十度的時候,，費(fèi)馬點(diǎn)就是這個內(nèi)角的頂點(diǎn)；如果三個內(nèi)角都在120度以內(nèi),，那么,，費(fèi)馬點(diǎn)就是使得費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三頂點(diǎn)的連線兩兩夾角為120度的點(diǎn)。 1,、費(fèi)馬點(diǎn)不在三角形外,，這個就不用證了，很顯然,。但為了嚴(yán)謹(jǐn),，還是說一下 2、當(dāng)有一個內(nèi)角大于等于120度時候 對三角形內(nèi)任一點(diǎn)P 延長BA至C'使得AC=AC',，做∠C'AP'=∠CAP,，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（說了這么多,，其實(shí)就是把三角形APC以A為中心做了個旋轉(zhuǎn)） 則△APC≌△AP'C' ∵∠BAC≥120° ∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60° ∴等腰三角形PAP'中,，AP≥PP' ∴PA PB PC≥PP' PB PC'>BC'=AB AC 所以A是費(fèi)馬點(diǎn) 3、當(dāng)所有內(nèi)角都小于120°時 做出△ABC內(nèi)一點(diǎn)P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°,，分別作PA,PB,PC的垂線,，交于D,E,F三點(diǎn)，如圖,，再作任一異于P的點(diǎn)P',，連結(jié)P'A,P'B,P'C，過P'作P'H垂直EF于H 易知∠D=∠E=∠F=60°,，即△DEF為等邊三角形,，計(jì)邊長為d,，面積為S 則有2S=d(PA PB PC) ∵P'A≥P'H 所以2S△EP'F≤P'A*d 同理有 2S△DP'F≤P'B*d 2S△EP'D≤P'C*d 相加得2S≤d(P'A P |
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