ζ函數(shù)

前面介紹過求所有正整數(shù)倒數(shù)平方和的問題(用一元無窮次方程求所有正整數(shù)倒數(shù)平方和),，若把倒數(shù)的指數(shù)從2推廣到實部大于1的一般復(fù)數(shù),，級數(shù)仍然是收斂的，從而可以根據(jù)這個級數(shù)定義一個函數(shù),，即黎曼ζ函數(shù)

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現(xiàn)在將該函數(shù)在復(fù)平面上解析延拓(上述函數(shù)在實部大于1的復(fù)平面區(qū)域是解析函數(shù),，即在該區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo)的函數(shù)；通俗地說就是擴(kuò)充解析函數(shù)的定義域，使新函數(shù)在更大的定義域內(nèi)解析),。解析延拓后的ζ函數(shù)可以是通過以下路徑積分表示出來的函數(shù)

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上式中的積分路徑C是從正無窮出發(fā)沿實軸上方至原點(diǎn)附近，再繞過原點(diǎn)從實軸下方至正無窮,，即逆時針包圍正實軸(及原點(diǎn))的路徑。解析延拓后的ζ函數(shù)除了在s=1處有一個簡單的極點(diǎn)外,，在整個復(fù)平面上解析。利用ζ函數(shù)的積分表達(dá)式可以證明ζ 函數(shù)在 s=-2n(n為正整數(shù))處值為零，這些零點(diǎn)稱為ζ 函數(shù)的平凡零點(diǎn),。ζ 函數(shù)除了平凡零點(diǎn)外還有其他零點(diǎn)，稱為非平方零點(diǎn),。

黎曼猜想

黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線上。也即方程ζ(s)=0的解除了s=-2n(n為正整數(shù))外,，其他解的實部都是1/2,。