我們還是幼兒時候，就開始跟著爸爸媽媽開始學(xué)習(xí)數(shù)數(shù)字,，有一天媽媽高興壞了,，說我家孩子能從1數(shù)到10了，又過一段時間,，我家孩子可以數(shù)到100了,，到小學(xué)里的時候，孩子有一天說,，我能數(shù)到任何數(shù)了,，這就是飛躍,，從有限的數(shù)字到無限的數(shù)字，并不是說他真的就能把無窮多個自然數(shù)都數(shù)出來,，因為人的生命是有限的,，自然數(shù)是無窮的，用有限的生命去數(shù)無窮自然數(shù),，就算從生到死,，一秒數(shù)3個數(shù)，都數(shù)不完的,。這個飛躍的過程就算數(shù)學(xué)歸納法了,，因為他知道一個數(shù)后，一定可以說出這個數(shù)后面的是多少,。再比如,，從一個看不見內(nèi)部不透明的麻袋里摸球，第一次摸出一個紅色的玻璃球,，我就在想內(nèi)面是不是都是玻璃紅色球？忍不住誘惑,，第二次摸了一個,，又是紅色玻璃球，更讓我堅定了內(nèi)面全是紅色玻璃球,，我就開始說麻袋里全是紅色玻璃球,，有個小孩過來說他不信，果然他摸出來了第三只球,，白色玻璃球,，我只能改口了，麻袋里全是玻璃球,，接著又有一個成年人過來,，手在麻袋里摸了半天，摸出來第四只白色木球,，我懷疑人生了,，這是咋回事呀？但是袋子里的球總是有限的,，我要了解情況,，可以倒出來就能知道全貌的，但是如果袋子里有無窮多個球呢,？就不能得到規(guī)律了,，除非知道1號是紅色玻璃球，同時能根據(jù)這次摸出的紅色玻璃球斷定下一次也是紅色玻璃球,，這樣雖然沒有全部摸完,，但是也能知道全是紅色玻璃球了,。這就是歸納法的1號命題正確成立了，沒有2號命題的證明成立,，當(dāng)然會懷疑人生,。閑話不言，實例來看,，下面例題是早期高中代數(shù)教材中數(shù)學(xué)歸納法的經(jīng)典案例,，首先n=1成立，就算1號命題正確,，假設(shè)k號命題正確,，證明2號命題k+1時成立，這樣就可以得到任意自然數(shù)都是成立的,。

有的命題不能用數(shù)學(xué)歸納法證明出來,，所以有人就開始懷疑其正確性，如果能舉出一個反例就可以說明命題不正確,。比如費爾瑪曾經(jīng)給出了一個猜想,，就算費爾瑪素數(shù)猜想，當(dāng)時由于科學(xué)技術(shù)問題,，人們能判斷出來n=0,1,2,3,4時,，都是素數(shù)，都認(rèn)為這是正確的,，但是歐拉給出了一個反例,，就算n=5時，有人說歐拉驗證這個花費了兩年時間,，可是我們看一下,，雖然這個數(shù)很大，但是分解后,，最小的因子641,，說明這個問題好困難。