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在數(shù)學(xué),、物理,、工程學(xué)等領(lǐng)域的深入探索中，我們往往需要依靠一些基本的理論工具,。歐拉-拉格朗日方程就是這樣一種強(qiáng)大的工具,，起源于最小作用原理，被廣泛應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)和量子力學(xué)等眾多領(lǐng)域,。這一方程的命名者,，歐拉和拉格朗日，都是數(shù)學(xué)和物理學(xué)史上的巨人,，他們的貢獻(xiàn)給我們留下了持久的烙印。對歐拉-拉格朗日方程的理解和應(yīng)用,，不僅可以讓我們揭示自然現(xiàn)象的深層規(guī)律,，也有助于我們在復(fù)雜問題求解中找到最優(yōu)策略。 讓我們考慮一個在重力場中被垂直向上拋出的粒子,，它從高度h1 = 0處的時間t1 =0開始移動,。它沿直線向上移動，然后在相同的位置h2 = 0處的時間t2返回地面,。
在位置-時間圖中,，粒子從時間t1處的高度h1開始，我們將這個起點稱為A,。粒子在高度h2的時間t2到達(dá)終點B,。在這個問題中，A和B之間的連線必須是一條拋物線,。
但為什么這條路徑h(t)是一條拋物線而不是其他路徑呢,？為什么自然選擇這條路徑？為什么不選擇下面的路徑1或者路徑2,？
作用量 為了能夠回答這個問題,，我們需要一個被稱為作用量（Action）的量，用字母"S"表示,。我們可以為所有可能的路徑分配一個作用量值（action value）,。作用量接受整個函數(shù)"h"作為參數(shù),，并輸出一個數(shù)字，即相應(yīng)函數(shù)h的作用量值,。
這樣一個接受函數(shù)"h"作為輸入,，并輸出一個數(shù)字的數(shù)學(xué)對象被稱為泛函（functional）。
由于泛函輸出作用量,，所以"S of h"也被稱為作用量泛函（Action Functional）,。為了區(qū)分作用量泛函和只接受一個數(shù)字作為參數(shù)的常規(guī)函數(shù)，我們使用方括號表示泛函,。
作用量的單位是焦耳秒（joule-second）,。例如，上面這條路徑可能有3.5焦耳秒的值,，下面這條路徑的值是5.6焦耳秒,，拋物線路徑的值是2焦耳秒。
回到問題：為什么路徑是一條拋物線,？經(jīng)驗表明,，自然是極值的（nature is extremal）。也就是說,，如果我們計算所有可能路徑h1 h2 h3等在A和B之間的作用量值,，那么自然就會取最大值，最小值或者極點的作用量值,。
自然會選擇其中的一條路徑,。自然選擇哪條極值路徑具體取決于所考慮的問題。在一個粒子在重力場中向上拋出的情況中,，自然選擇的是一個最小值,，
由于拋物線路徑有最小的作用量，所以粒子在位置與時間圖中選擇了這條路徑,。 計算作用量 但是我們?nèi)绾斡嬎阕饔昧康倪@些值呢,？為此，我們需要拉格朗日函數(shù)L（Lagrange Function）,。它取決于時間t,，函數(shù)值h(t)和速度，
拉格朗日函數(shù)的單位是能量,，也就是焦耳J,。如果我們對拉格朗日函數(shù)在時間t1和t2之間的時間t進(jìn)行積分，
得到的數(shù)量的單位是焦耳秒,。這正是我們需要的作用量,。因此，如果指定了拉格朗日函數(shù),，就可以具體計算每個可能的路徑"h"的作用量值,。
通常,，使用字母"q"代替"h"，
稱q為廣義坐標(biāo)（generalized coordinate）,，將q的導(dǎo)數(shù)稱為廣義速度(generalized velocity) ,。"廣義"的含義是，"q"可以是距離地面的高度或角度或其他可以依賴于時間"t"的量,。 歐拉-拉格朗日方程的結(jié)構(gòu) 當(dāng)然,，為所有可能的路徑計算積分并取得積分最小值的路徑是非常麻煩的。
為了避免這樣的巨大任務(wù),，我們使用所謂的歐拉-拉格朗日方程（Euler-lagrange equation）：
它可以從作用量的定義和“自然是極值的原理”中推導(dǎo)出來,。這里，我們只想知道如何使用歐拉-拉格朗日方程確定未知的路徑"q(t)",。 首先,，讓我們仔細(xì)看看歐拉-拉格朗日方程是如何組成的。它包含了拉格朗日函數(shù)對廣義速度偏導(dǎo)數(shù),，
這個"L關(guān)于q點"的導(dǎo)數(shù)也被稱為廣義動量,，用"p"表示。然后對廣義動量求對"t"的導(dǎo)數(shù),，
另一個項是拉格朗日函數(shù)關(guān)于廣義坐標(biāo)"q"的導(dǎo)數(shù),，
如果將動量的時間導(dǎo)數(shù)移到另一邊，
就可以從歐拉-拉格朗日方程中讀出動量是否守恒,。為此,，其時間導(dǎo)數(shù)必須為零。所以只需要計算"L關(guān)于q"的導(dǎo)數(shù)是否為零,。 拉格朗日函數(shù) 拉格朗日函數(shù)"L"是一個不能被推導(dǎo)出來的標(biāo)量函數(shù)，
只能被猜測出來,。如果你認(rèn)為你已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了一個問題的合適的拉格朗日函數(shù),，無論是來自量子力學(xué)，經(jīng)典力學(xué)還是相對論,，都可以很容易地驗證這個拉格朗日函數(shù)是否正確地描述了你的問題,，方法就是使用歐拉-拉格朗日方程。 在大多數(shù)經(jīng)典力學(xué)的情況下,，拉格朗日函數(shù)是粒子的動能和勢能之間的差,。
如何使用歐拉-拉格朗日方程？ 回到我們的例子,，讓我們看看如何從拉格朗日函數(shù)和歐拉-拉格朗日方程計算出拋物線,。為此，需要進(jìn)行5個步驟：
動能是
在重力場中的勢能是,，
因此,，拉格朗日函數(shù)是，
"L"對"h"的偏導(dǎo)數(shù)是，
L關(guān)于"h的導(dǎo)數(shù)"的偏導(dǎo)數(shù)是,，
進(jìn)一步對時間求導(dǎo)得,，
把兩者合并在一起得到，
這里可以看到歐拉-拉格朗日方程的含義,！它告訴我們,，要解哪個微分方程，以找出未知的函數(shù)"h(t)",。注意,，這個例子是一個一維問題，所以只從中得到一個微分方程,。在更復(fù)雜的多維問題中,，將得到幾個微分方程。
這個微分方程的解是容易確定的,。將兩邊都對時間" t "積分，
得到
其中C1是一個積分常數(shù),。然后我們再次對時間積分,，
得到
其中C2是另一個積分常數(shù)。
在這個問題中，我們在 t1等于零的時候拋出了粒子,，初始高度h1等于零,。所以讓我們把t和h都設(shè)為零。
因此C2必須等于零,。為了找出常數(shù)C1,，我們需要第二個邊界條件。在t2的時候，粒子從"高度h2等于零"落下,。所以讓我們將"t=t2"和"h=0"插入到方程中,。
得到，
因此,，路徑h為
這就是我們所期待的拋物線形狀,！
結(jié)論 現(xiàn)在你知道了歐拉-拉格朗日方程是什么，以及如何使用它來求解一維經(jīng)典力學(xué)問題,。后面,，我將嘗試介紹如何把歐拉-拉格朗日方程應(yīng)用到多維問題，以及如何從牛頓力學(xué)推導(dǎo)出歐拉-拉格朗日方程,。 歐拉-拉格朗日方程為我們提供了一個描述系統(tǒng)動力學(xué)的微分方程,。我們需要解微分方程來找出未知函數(shù)"q(t)"。你需要從物理系統(tǒng)的特性中猜測拉格朗日函數(shù),，然后將這個函數(shù)插入歐拉-拉格朗日方程來獲得這個微分方程,。也需要適當(dāng)?shù)倪吔鐥l件來解決這個微分方程。 |
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