嚴(yán)格性是怎樣被介紹到數(shù)學(xué)分析里面的？這是一個(gè)復(fù)雜的問題,，因?yàn)閿?shù)學(xué)的實(shí)踐已經(jīng)有了相當(dāng)大的變化,，特別是在從微積分的創(chuàng)立到20世紀(jì)初期這一段時(shí)間里，雖然在一定意義下,，對(duì)于什么是正確的合邏輯的論據(jù),，基本的判據(jù)并沒有變，但是,，需要我們做這種論證的環(huán)境,，甚至在一定程度上，做這種論證的目的,，卻在隨時(shí)間而改變,。1700年代，與約翰·伯努利和丹尼爾·伯努利,、歐拉和拉格朗日這些人相關(guān)的數(shù)學(xué)分析,，其方法的缺少基礎(chǔ)的清晰性，在以后的時(shí)期中,，招來了批評(píng)也得到了彌補(bǔ),。到1910年左右，對(duì)于如何使得數(shù)學(xué)分析中的論證嚴(yán)格已經(jīng)出現(xiàn)了一般的共識(shí),。

數(shù)學(xué)所包含的不僅有計(jì)算技巧,，還有描述幾何對(duì)象的重要特性的方法和世界現(xiàn)象的模型等等。所有做數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)家,，都受到過如何得出嚴(yán)格的論證來論證自己的結(jié)論的訓(xùn)練。這些結(jié)論通常表述為定理,，也就是關(guān)于一些事實(shí)的命題,，同時(shí)也關(guān)心對(duì)這些命題作論證，即證明定理為真,。

下面是一個(gè)簡(jiǎn)單的例子：每一個(gè)正整數(shù),，若能被6整除，也必能被2整除,。沿著6的倍數(shù)的表往下看：{6,，12,，18，24……},，就可以看到,，其中每一個(gè)數(shù)都是偶數(shù)，這使得很容易就會(huì)相信這個(gè)命題,。關(guān)于這個(gè)命題的一個(gè)可能的論證如下：因?yàn)?可以被2整除,，所以，每一個(gè)可以被6整除的數(shù),，必定可以被2整除,。

這樣一個(gè)論證算不算一個(gè)徹底的證明，讀者可以各有看法,。因?yàn)榭吹竭@個(gè)論證以后,，可以提出這樣的問題即，這是否總是真的：如果 a,，b,，c是三個(gè)正整數(shù)，而且 c 可以被b整除,，b可以被a整除,，則c也一定可以被a整除嗎？到底什么是整除性,。什么是整數(shù),？數(shù)學(xué)家處理這些問題的辦法是：對(duì)概念作精確的定義，把這些定義的基礎(chǔ)放在數(shù)量有點(diǎn)少的未定義的名詞上,。例如可以定義,，所謂數(shù)n可以被數(shù)m整除，當(dāng)且僅當(dāng)存在一個(gè)整數(shù)q,，使得qm=n,。利用這個(gè)定義可以給出一個(gè)更精確的證明：若n可被6整除，則對(duì)某個(gè)q有n=6q,，從而n=2（3q）,，這就證明了n可以被2整除。這樣,，可利用整除性的定義來證明,，只要被6整除的定義成立，則可以被2整除的定義也成立,。

從歷史來看,，數(shù)學(xué)家們會(huì)滿足于不同水平的嚴(yán)格性。數(shù)學(xué)的結(jié)果和方法時(shí)常已經(jīng)得到廣泛的應(yīng)用，而沒有如剛才概述地那樣完全的論證,，特別是那些新的快速發(fā)展著的數(shù)學(xué)思想的總體是這樣,。在有些古代文化中，例如在埃及文化中,，已經(jīng)有了乘法和除法的方法,，但是這些方法的論證則從未流傳下來，而且特別可能的是這種形式論證并沒有存在過,。很可能是,，這些方法被接受，只是因?yàn)樗鼈児苡?，而不是因?yàn)樗鼈冇袕氐椎恼撟C,。

到了17世紀(jì)中期，歐洲從事研究的數(shù)學(xué)作者,，都很熟悉由歐幾里得的《幾何原本》所提供的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證的范本了,。那是一種演繹的，或者說是綜合的論證方法,，是一種更加幾何化的論證方法,。雖然按照今天的標(biāo)準(zhǔn)來看，歐幾里得的論據(jù),、假設(shè)和定義并不完全嚴(yán)格,，但基本的思想是清楚的：從清楚的定義和所公認(rèn)的基本思想出發(fā)來一步一步地導(dǎo)出定理（或稱命題），而不引入任何外加的東西,。這種幾何論證的經(jīng)典模型,，廣泛地用于對(duì)于數(shù)論、解析幾何和力學(xué)的推理,。

本文討論的是分析中的嚴(yán)格性,。分析一詞的意義是一直在變化著的。它本來有古老的來源,，而到1600年左右,，這個(gè)詞指的就是利用未知量（現(xiàn)在會(huì)寫成x的東西）來進(jìn)行計(jì)算或者求長(zhǎng)度這一類的數(shù)學(xué)。換言之,，它與代數(shù)有密切的關(guān)系,，雖然這個(gè)概念被笛卡兒等人輸入到幾何學(xué)里去了。然而在18世紀(jì)的進(jìn)程中,，這個(gè)詞變得與微積分有關(guān)了,，而微積分成了分析技巧的應(yīng)用的主要用武之地。當(dāng)談分析中的嚴(yán)格性時(shí),，主要就是討論與微分學(xué)和積分學(xué)有關(guān)的數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性。在17世紀(jì),，牛頓和萊布尼茲為微分學(xué)和積分學(xué)制定了對(duì)立的方法,，他們就這樣把相當(dāng)數(shù)量的早前這兩個(gè)方面的工作綜合了,、推廣了，這兩個(gè)方面就是關(guān)于曲線的切線和法線,，還有曲線所包圍的區(qū)域的面積,。這些技巧非常成功，于是很快地就被推廣到各個(gè)方向,，最值得注意的是力學(xué)和微分方程,。

這項(xiàng)研究的共同的關(guān)鍵特點(diǎn)是無窮量的使用，在某種意義下,，這里涉及制定一個(gè)方法來把無窮多個(gè)無窮小的量合并,，以得到有限的答案。例如,，設(shè)把一個(gè)圓周作（數(shù)量很大的）等分,，就是標(biāo)記出許多等距離的點(diǎn)，然后把這些點(diǎn)連接起來,，并與圓心連接,，成為許多三角形。這些三角形的面積之和就逼近了圓的面積,，而分點(diǎn)用得越多,，逼近就越好。讓我們想象有無窮多個(gè)這樣內(nèi)接的三角形,，每一個(gè)的面積都"無限的小",。但是因?yàn)榭傮w涉及把無窮多個(gè)無窮小加起來，還是有可能得到有限的正的總量,。這里涉及的無窮的量是“真正的”無窮小,，還是只不過是“潛在的”無窮小0？如果有什么東西是真正的無窮小,，那它是不是就是零呢,？亞里士多德學(xué)派的作者一直害怕真正的無窮小，這方面的抱怨在那時(shí)是很普遍的,。

牛頓,、萊布尼茲和他們的追隨者們提出了一些數(shù)學(xué)論據(jù)來證明這些做法的合理性，然而引入技巧的推理是關(guān)于無窮小的對(duì)象,、極限過程,、無窮和等等，這就意味著微積分的創(chuàng)造者們?cè)谒麄兊耐评碇惺窃陂_辟新的基礎(chǔ),，而由于所用的名詞意義含混,，由于在作出一個(gè)結(jié)論的同時(shí)，似乎也完全能夠得到其他的結(jié)論，這些推論的可理解性時(shí)?！搬пЭ晌,！薄Ｋ麄冇懻摰膶?duì)象包括無窮?。幢戎苯咏?jīng)驗(yàn)過的量無窮地小的量）,、消失著的量的比（即形如0/0的分?jǐn)?shù)，或者趨近于這種分?jǐn)?shù)）,、無限多個(gè)正量的有限和,。特別是泰勒級(jí)數(shù)表示，引起了許多這類問題,。所謂泰勒級(jí)數(shù)就是：一個(gè)函數(shù)可以這樣寫成一個(gè)級(jí)數(shù),，使得如果把這個(gè)級(jí)數(shù)就看成是函數(shù)時(shí)，在給定的點(diǎn)x=a處它會(huì)給出相同的值,、相同的變率（即一階導(dǎo)數(shù)）,、相同的任意階高階導(dǎo)數(shù)：

例如，

早期的論證中還有一個(gè)問題,，就是對(duì)于所討論的名詞,，不同的作者有不同的用法。從這種缺乏清晰性還產(chǎn)生了其他問題,，因?yàn)樗谏w了許多問題,。可能其中最重要的是一個(gè)論據(jù)在某個(gè)情況下失效,，而很類似的論據(jù)在另一個(gè)情況下又完全能行,。到了一定的時(shí)候，在把分析加以推廣時(shí)就會(huì)出大問題,。分析在最終還是變得完全嚴(yán)格了,，這些困難都解決了，但是這個(gè)過程很漫長(zhǎng),，一直到20世紀(jì)初才完成,。

下面是這種在最開始的時(shí)候就出現(xiàn)的困難的例子，這是萊布尼茲的一個(gè)結(jié)果,。設(shè)有兩個(gè)變量u和v,，而當(dāng)另一個(gè)變量x在變化時(shí)，它們每一個(gè)都在變,。記x的無窮小變化為dx,，即x的微分。微分是一個(gè)無窮小量,，看成一個(gè)幾何量,，例如看成長(zhǎng)度,。想象把它與其他的量按通常的方式或組合或比較（因?yàn)閮蓚€(gè)長(zhǎng)度可以相加，可以有比等等）,。當(dāng)x變成x+dx時(shí),，令u和v分別變成u＋du和v＋dv。萊布尼茲做出了這樣的結(jié)論：uv將要變成

所以

他的論據(jù)粗略地說是這樣的：

把右方按照正規(guī)的代數(shù)展開,、化簡(jiǎn)，會(huì)給出

但是dudv這一項(xiàng)是二階無窮小,，比起一階無窮小來說是消失的小（vanishingly small）,，用現(xiàn)代語言來說就是高階無窮小，所以可以作為0來處理,。這里的問題有一個(gè)側(cè)面,，就是在處理無窮小時(shí)出現(xiàn)了不相容的情況。再例如,，如果想求出y=x^2的導(dǎo)數(shù),，這里的計(jì)算正相應(yīng)于上面的計(jì)算（把（x＋dx）^2展開等），得到dy/dx=2x＋dx,。然后,，把右邊的dx當(dāng)作0來處理，而左邊的dx又似乎是看作無窮小的非零量,，因?yàn)椴蝗痪筒荒苡盟鼇碜鞒龜?shù),。所以，它是零還是非零,？如果不是,，又怎么繞過這里的明顯的不相容性？

在稍微更加技術(shù)性的層次上,，微積分要求數(shù)學(xué)家一再地處理：當(dāng)分子和分母都趨近0甚或真正為0時(shí),，形如dy/dx的比的"最終值"問題。在我們的陳述里,，又一次使用了萊布尼茲的微分記號(hào),，雖然對(duì)于牛頓也發(fā)生了同樣的問題，不過記號(hào)與概念上稍有區(qū)別,。當(dāng)牛頓講到變量時(shí),，他總認(rèn)為變量是依賴于時(shí)間的，例如他力求考慮在消逝（evanescent）的量——就是消失地小的增量下所趨近的值,。一組無法消除的混淆正是來自這樣一個(gè)思想,，即變量是處在變化過程中，不論是隨時(shí)間變化或者隨其他變量而變化,。這就是說,，我們考慮的是趨近一個(gè)給定的值的變量所取的值,，但對(duì)于究竟什么叫"趨近"又沒有一個(gè)清晰的概念。