一. 方程的思想

二. 函數(shù)的思想

三. 數(shù)形結(jié)合的思想

四. 化歸的思想

五. 分類討論的思想

（一）數(shù)學概念中的分類討論,。如絕對值、函數(shù)圖像的增減性等,；

（二）幾何圖形中的不確定性問題需要分類討論,。如動點、圖形存在性問題,；

（三）含有變量的代數(shù)式需要分類討論,。如含有m、n等參數(shù)的方程,、不等式,；

分類討論的原則：

確定標準,、分類的情況既不重復(fù)也不遺漏、逐類分級討論,。

例5. 若△ABC的三內(nèi)角滿足sinA=①,，問此三角形是否可能為直角三角形？

sin(90°-C)=,，

①式右邊=

六. 換元的方法

解一些復(fù)雜的因式分解問題，常用到換元法,，即對結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的多項式,，若把其中某些部分看成一個整體，用新字母代替(即換元),，則能使復(fù)雜的問題簡單化,，明朗化，在減少多項式項數(shù),降低多項式結(jié)構(gòu)復(fù)雜程度等方面有獨到作用,。

換元法又稱變量替換法 , 是我們解題常用的方法之一 ,。利用換元法 , 可以化繁為簡 , 化難為易 , 從而找到解題的捷徑 。它可以化高次為低次,、化分式為整式,、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式,，在研究方程,、不等式、函數(shù),、數(shù)列,、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

換元法是指引入一個或幾個新的變量代替原來的某些變量的變量求出結(jié)果之后,，返回去求原變量的結(jié)果.換元法通過引入新的元素將分散的條件聯(lián)系起來,，或者把隱含的條件顯示出來，或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來,，或者變?yōu)槭煜さ膯栴}.其理論根據(jù)是等量代換.

高中數(shù)學中換元法主要有以下兩類：

(1)整體換元：以“元”換“式”,。

(2)三角換元 ，以“式”換“元”,。

(3)此外,，還有對稱換元、均值換元,、萬能換元等.換元法應(yīng)用比較廣泛,。如解方程，解不等式,，證明不等式,，求函數(shù)的值域，求數(shù)列的通項與和等,，另外在解析幾何中也有廣泛的應(yīng)用,。

我們使用換元法時，要遵循有利于運算,、有利于標準化的原則,，換元后要注重新變量范圍的選取，一定要使新變量取值范圍對應(yīng)于原變量的取值范圍,，不能縮小也不能擴大,。如上幾例中的t>0和sinα∈[-1,1 ]。

可以先觀察算式,，可發(fā)現(xiàn)這種需換元法之算式中總含有相同的式子,，然后把它們用一個字母替換，推演出答案,，然后若在答案中有此字母,，即將該式帶入其中，遂可算出,。

注意:換元后勿忘還元,。

設(shè)sinθ+cosθ=x()，

則sinθcosθ=,。

所以x,，

因為,，

七. 整體的方法

整體法,，就是研究某些數(shù)學問題時，往往不是以問題的某個組成部分為著眼點,，而是有意識地放大問題的視角,，將要解決的問題看成整體，通過研究得到整體形式或整體處理后,，達到順利而又簡捷地解決問題的目的,。

只有所求的問題含有（或通過變形含有）已知條件中的“整體”才可以使用整體法。

利用整體思想,，把一些看似彼此獨立,，實質(zhì)上緊密相連的量作為整體進行處理，不僅會使問題化繁為簡,，化難為易,，而且有助于培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維能力，提高分析問題和解決問題的能力,。

事實上,，有許多數(shù)學問題，如果我們糾纏于題目中的“細枝未節(jié)”,，則解題過程冗繁,，還有可能解不出，但若能統(tǒng)觀全局,，用整體思想方法來處理,，則可化繁為簡，出奇制勝,。

整體代入

若a-2b=3,，則9-2a+4b的值為___

【解析】把a-2b=3整體代入9-2a+4b=9-2(a-2b) =9-2×3=3

解決此類的常規(guī)方法是先求出a、b的值,，然后代入求值,，但將已知式整體代入到變形后的求值式，便十分簡捷地求得代數(shù)式的值,。

例7. 證明cos,。

證明：設(shè)，

b=,，

則ab=

=

=,。

所以a=。即原式得證,。

八. 類比聯(lián)想的方法