函數(shù)思想,，是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題,。方程思想,，是從問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將問(wèn)題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（方程,、不等式,、或方程與不等式的混合組），然后通過(guò)解方程（組）或不等式（組）來(lái)使問(wèn)題獲解,。有時(shí),，還實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化、接軌,，達(dá)到解決問(wèn)題的目的,。

笛卡爾的方程思想是：實(shí)際問(wèn)題→數(shù)學(xué)問(wèn)題→代數(shù)問(wèn)題→方程問(wèn)題。宇宙世界,，充斥著等式和不等式,。我們知道，哪里有等式,，哪里就有方程,；哪里有公式，哪里就有方程,；求值問(wèn)題是通過(guò)解方程來(lái)實(shí)現(xiàn)的……等等,；不等式問(wèn)題也與方程是近親,，密切相關(guān)。而函數(shù)和多元方程沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別,，如函數(shù)y＝f(x),，就可以看作關(guān)于x、y的二元方程f(x)－y＝0,?？梢哉f(shuō)，函數(shù)的研究離不開(kāi)方程,。列方程,、解方程和研究方程的特性，都是應(yīng)用方程思想時(shí)需要重點(diǎn)考慮的,。

函數(shù)描述了自然界中數(shù)量之間的關(guān)系,，函數(shù)思想通過(guò)提出問(wèn)題的數(shù)學(xué)特征，建立函數(shù)關(guān)系型的數(shù)學(xué)模型,，從而進(jìn)行研究。它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn),。一般地,，函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題，經(jīng)常利用的性質(zhì)是：f(x),、f (x)的單調(diào)性,、奇偶性、周期性,、最大值和最小值,、圖像變換等，要求我們熟練掌握的是一次函數(shù),、二次函數(shù),、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù),、對(duì)數(shù)函數(shù),、三角函數(shù)的具體特性。在解題中,，善于挖掘題目中的隱含條件,，構(gòu)造出函數(shù)解析式和妙用函數(shù)的性質(zhì)，是應(yīng)用函數(shù)思想的關(guān)鍵,。對(duì)所給的問(wèn)題觀察,、分析,、判斷比較深入、充分,、全面時(shí),，才能產(chǎn)生由此及彼的聯(lián)系，構(gòu)造出函數(shù)原型,。另外,，方程問(wèn)題、不等式問(wèn)題和某些代數(shù)問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問(wèn)題,，即用函數(shù)思想解答非函數(shù)問(wèn)題,。

函數(shù)知識(shí)涉及的知識(shí)點(diǎn)多、面廣,，在概念性,、應(yīng)用性、理解性都有一定的要求,，所以是高考中考查的重點(diǎn),。我們應(yīng)用函數(shù)思想的幾種常見(jiàn)題型是：遇到變量，構(gòu)造函數(shù)關(guān)系解題,；有關(guān)的不等式,、方程、最小值和最大值之類的問(wèn)題,，利用函數(shù)觀點(diǎn)加以分析,；含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，選定合適的主變量,，從而揭示其中的函數(shù)關(guān)系,；實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言,，建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式,，應(yīng)用函數(shù)性質(zhì)或不等式等知識(shí)解答；等差,、等比數(shù)列中,，通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式,，都可以看成n的函數(shù),，數(shù)列問(wèn)題也可以用函數(shù)方法解決。

Ⅰ,、再現(xiàn)性題組：

1.方程lgx＋x＝3的解所在的區(qū)間為_____,。

A.  (0,1)      B.  (1,2)     C.  (2,3)     D.  (3,+∞)

2.如果函數(shù)f(x)＝x ＋bx＋c對(duì)于任意實(shí)數(shù)t,，都有f(2＋t)＝f(2－t),，那么_____。

A. f(2)<f(1)<f(4)    B. f(1)<f(2)<f(4)   C. f(2)<f(4)<f(1)   D. f(4)<f(2)<f(1)

3.已知函數(shù)y＝f(x)有反函數(shù),，則方程f(x)＝a  (a是常數(shù))  ______。

A.有且僅有一個(gè)實(shí)根   B.至多一個(gè)實(shí)根    C.至少一個(gè)實(shí)根   D.不同于以上結(jié)論

4.已知sinθ＋cosθ＝ ,，θ∈( ,，π)，則tgθ的值是_____,。

A. －             B. －         C.         D. 

5.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為S ,，且S ＝S   (p≠q，p,、q∈N),，則S ＝_________。

6.關(guān)于x的方程sin x＋cosx＋a＝0有實(shí)根,，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________,。

7.正六棱錐的體積為48,側(cè)面與底面所成的角為45°，則此棱錐的側(cè)面積為___________,。

8. 建造一個(gè)容積為8m ,，深為2m的長(zhǎng)方體無(wú)蓋水池，如果池底和池壁的造價(jià)每平方米分別為120元和80元,，則水池的最低造價(jià)為___________,。

【簡(jiǎn)解】1小題：圖像法解方程，也可代入各區(qū)間的一個(gè)數(shù)（特值法或代入法）,，選C,；

2小題：函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為2,，結(jié)合其單調(diào)性，選A,；

3小題：從反面考慮,，注意應(yīng)用特例，選B,；

4小題：設(shè)tg ＝x (x>0）,，則 ＋ ＝ ，解出x＝2,，再用萬(wàn)能公式,，選A；

5小題：利用 是關(guān)于n的一次函數(shù),，設(shè)S ＝S ＝m,， ＝x，則（ ,p）,、( ,q),、(x，p+q)在同一直線上,，由兩點(diǎn)斜率相等解得x＝0,，則答案：0；

6小題：設(shè)cosx＝t,，t∈[-1,1],，則a＝t －t－1∈[－ ,1]，所以答案：[－ ,1],；

7小題：設(shè)高h,，由體積解出h＝2 ，答案：24 ,；

8小題：設(shè)長(zhǎng)x,，則寬 ，造價(jià)y＝4×120＋4x×80＋ ×80≥1760,，答案：1760,。

Ⅱ、示范性題組：

例1. 設(shè)a>0,，a≠1,，試求方程log (x－ak)＝log (x －a )有實(shí)數(shù)解的k的范圍。(89年全國(guó)高考)

【分析】由換底公式進(jìn)行換底后出現(xiàn)同底,，再進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程組,，分離參數(shù)后分析式子特點(diǎn)，從而選用三角換元法，用三角函數(shù)的值域求解,。

【解】 將原方程化為：log (x－ak)＝log ,，  等價(jià)于   （a>0,a≠1）

∴ k＝ －    ( | |>1 ）,  

設(shè) ＝cscθ，  θ∈(－ ,0)∪(0, ),，則 k＝f(θ)＝cscθ－|ctgθ|

當(dāng)θ∈(－ ,0)時(shí),，f(θ)＝cscθ＋ctgθ＝ctg <－1，故k<－1,；

當(dāng)θ∈(0, )時(shí)，f(θ)＝cscθ－ctgθ＝tg ∈(0,1),，故0<k<1,；

綜上所述，k的取值范圍是：k<－1或0<k<1,。

【注】 求參數(shù)的范圍,，分離參數(shù)后變成函數(shù)值域的問(wèn)題，觀察所求函數(shù)式,，引入新的變量,，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域問(wèn)題，在進(jìn)行三角換元時(shí),，要注意新的變量的范圍,。一般地，此種思路可以解決有關(guān)不等式,、方程,、最大值和最小值、參數(shù)范圍之類的問(wèn)題,。本題還用到了分離參數(shù)法,、三角換元法、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想方法,。

另一種解題思路是采取“數(shù)形結(jié)合法”： 將原方程化為：log (x－ak)＝log ,，等價(jià)于x－ak＝  (x－ak>0)，設(shè)曲線C ：y＝x－ak,，曲線C ：y＝  (y>0),，如圖所示。

由圖可知,，當(dāng)－ak>a或－a<－ak<0時(shí)曲線C 與C 有交點(diǎn),，即方程有實(shí)解。所以k的取值范圍是：k<－1或0<k<1,。

還有一種思路是直接解出方程的根,，然后對(duì)方程的根進(jìn)行討論，具體過(guò)程是：原方程等價(jià)變形為 后，解得： ,，所以 >ak，即 －k>0,，通分得 <0,，解得k<－1或0<k<1。所以k的取值范圍是：k<－1或0<k<1,。

例2. 設(shè)不等式2x－1>m(x －1)對(duì)滿足|m|≤2的一切實(shí)數(shù)m的取值都成立,。求x的取值范圍,。

【分析】 此問(wèn)題由于常見(jiàn)的思維定勢(shì),，易把它看成關(guān)于x的不等式討論,。然而，若變換一個(gè)角度以m為變量,，即關(guān)于m的一次不等式(x －1)m－(2x－1)<0在[-2,2]上恒成立的問(wèn)題。對(duì)此的研究,，設(shè)f(m)＝(x －1)m－(2x－1),，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）f(m)的值在[-2,2]內(nèi)恒為負(fù)值時(shí)參數(shù)x應(yīng)該滿足的條件 。

【解】問(wèn)題可變成關(guān)于m的一次不等式：(x －1)m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒成立,，設(shè)f(m)＝(x －1)m－(2x－1),

則

解得x∈（ , ）

【注】 本題的關(guān)鍵是變換角度,，以參數(shù)m作為自變量而構(gòu)造函數(shù)式，不等式問(wèn)題變成函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題,。本題有別于關(guān)于x的不等式2x－1>m(x －1)的解集是[-2,2]時(shí)求m的值,、關(guān)于x的不等式2x－1>m(x －1)在[-2,2]上恒成立時(shí)求m的范圍。

一般地,，在一個(gè)含有多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中,，確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系,，使問(wèn)題更明朗化,。或者含有參數(shù)的函數(shù)中,，將函數(shù)自變量作為參數(shù),，而參數(shù)作為函數(shù)，更具有靈活性，從而巧妙地解決有關(guān)問(wèn)題,。

例3. 設(shè)等差數(shù)列{a }的前n項(xiàng)的和為S ,，已知a ＝12，S >0,，S <0 ,。

①.求公差d的取值范圍； ②.指出S ,、S ,、…、S 中哪一個(gè)值最大,，并說(shuō)明理由,。(92年全國(guó)高考)

【分析】 ①問(wèn)利用公式a 與S 建立不等式，容易求解d的范圍,；②問(wèn)利用S 是n的二次函數(shù)，將S 中哪一個(gè)值最大,，變成求二次函數(shù)中n為何值時(shí)S 取最大值的函數(shù)最值問(wèn)題,。

【解】① 由a ＝a ＋2d＝12,得到a ＝12－2d，所以

S ＝12a ＋66d＝12(12－2d)＋66d＝144＋42d>0,，

S ＝13a ＋78d＝13(12－2d)＋78d＝156＋52d<0,。

 解得：－ <d<－3。

② S ＝na ＋ n(n1－1)d＝n(12－2d)＋ n(n－1)d

＝ [n－ (5－ )] － [ (5－ )]

因?yàn)?SPAN lang=EN-US>d<0,，故[n－ (5－ )] 最小時(shí),，S 最大。由－ <d<－3得6< (5－ )<6.5,，故正整數(shù)n＝6時(shí)[n－ (5－ )] 最小,，所以S 最大。

【注】 數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式實(shí)質(zhì)上是定義在自然數(shù)集上的函數(shù),，因此可利用函數(shù)思想來(lái)分析或用函數(shù)方法來(lái)解決數(shù)列問(wèn)題,。也可以利用方程的思想，設(shè)出未知的量,，建立等式關(guān)系即方程,，將問(wèn)題進(jìn)行算式化，從而簡(jiǎn)潔明快,。由次可見(jiàn),，利用函數(shù)與方程的思想來(lái)解決問(wèn)題，要求靈活地運(yùn)用,、巧妙的結(jié)合,，發(fā)展了學(xué)生思維品質(zhì)的深刻性、獨(dú)創(chuàng)性。

本題的另一種思路是尋求a >0,、a <0 ,，即：由d<0知道a >a >…>a ，由S ＝13a <0得a <0,，由S ＝6(a ＋a )>0得a >0,。所以，在S ,、S ,、…、S 中,，S 的值最大,。

例4. 如圖，AB是圓O的直徑,，PA垂直于圓O所在平面,，C是圓周上任一點(diǎn)，設(shè)∠BAC＝θ,，PA＝AB=2r,，求異面直線PB和AC的距離。

【分析】 異面直線PB和AC的距離可看成求直線PB上任意一點(diǎn)到AC的距離的最小值,，從而設(shè)定變量,，建立目標(biāo)函數(shù)而求函數(shù)最小值。

【解】 在PB上任取一點(diǎn)M,，作MD⊥AC于D,，MH⊥AB于H，

設(shè)MH＝x,，則MH⊥平面ABC,，AC⊥HD 。

∴MD ＝x ＋[(2r－x)sinθ] ＝(sin ＋1)x －4rsin θx＋4r sin θ

＝(sin θ＋1)[x－ ] ＋

即當(dāng)x＝ 時(shí),，MD取最小值 為兩異面直線的距離,。

【注】 本題巧在將立體幾何中“異面直線的距離”變成“求異面直線上兩點(diǎn)之間距離的最小值”，并設(shè)立合適的變量將問(wèn)題變成代數(shù)中的“函數(shù)問(wèn)題”,。一般地,，對(duì)于求最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題,，先將文字說(shuō)明轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語(yǔ)言后,，再建立數(shù)學(xué)模型和函數(shù)關(guān)系式，然后利用函數(shù)性質(zhì),、重要不等式和有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解答,。比如再現(xiàn)性題組第8題就是典型的例子,。

例5. 已知△ABC三內(nèi)角A、B,、C的大小成等差數(shù)列,，且tgA·tgC＝2＋ ，又知頂點(diǎn)C的對(duì)邊c上的高等于4 ,求△ABC的三邊a,、b,、c及三內(nèi)角。

【分析】已知了一個(gè)積式,，考慮能否由其它已知得到一個(gè)和式,，再用方程思想求解。

【解】 由A,、B,、C成等差數(shù)列，可得B＝60°,；

由△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC,，得

tgA＋tgC＝tgB(tgA·tgC－1)＝  (1＋ )

設(shè)tgA、tgC是方程x －( ＋3)x＋2＋ ＝0的兩根,，解得x ＝1,，x ＝2＋

設(shè)A<C，則tgA＝1,，tgC＝2＋ ，   ∴A＝ ,，C＝

由此容易得到a＝8,，b＝4 ，c＝4 ＋4,。

【注】本題的解答關(guān)鍵是利用“△ABC中tgA＋tgB＋tgC＝tgA·tgB·tgC”這一條性質(zhì)得到tgA＋tgC,，從而設(shè)立方程求出tgA和tgC的值，使問(wèn)題得到解決,。

例6. 若(z－x)  －4(x－y)(y－z)＝0,求證：x,、y、z成等差數(shù)列,。

【分析】 觀察題設(shè),，發(fā)現(xiàn)正好是判別式b －4ac＝0的形式，因此聯(lián)想到構(gòu)造一個(gè)一元二次方程進(jìn)行求解,。

【證明】 當(dāng)x＝y時(shí),，可得x＝z，  ∴x,、y,、z成等差數(shù)列,；

當(dāng)x≠y時(shí)，設(shè)方程(x－y)t －(z－x)t＋(y－z)＝0,，由△＝0得t ＝t ,，并易知t＝1是方程的根。

∴t ·t ＝ ＝1  ,，  即2y＝x＋z ,，    ∴x、y,、z成等差數(shù)列

【注】一般地,，題設(shè)條件中如果已經(jīng)具備或經(jīng)過(guò)變形整理后具備了“x ＋x ＝a、x ·x ＝b”的形式,，則可以利用根與系數(shù)的關(guān)系構(gòu)造方程,；如果具備b －4ac≥0或b －4ac≤0的形式，可以利用根的判別式構(gòu)造一元二次方程,。這種方法使得非方程問(wèn)題用方程思想來(lái)解決,，體現(xiàn)了一定的技巧性，也是解題基本方法中的一種“構(gòu)造法”,。

例7. △ABC中,，求證：cosA·cosB·cosC≤  。

【分析】考慮首先使用三角公式進(jìn)行變形,，結(jié)合三角形中有關(guān)的性質(zhì)和定理,，主要是運(yùn)用“三角形的內(nèi)角和為180°”。變形后再通過(guò)觀察式子的特點(diǎn)而選擇和發(fā)現(xiàn)最合適的方法解決,。

【證明】 設(shè)k＝cosA·cosB·cosC＝ [cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC＝ [－cosC＋cos(A－B)]cosC

整理得：cos C－cos(A－B)·cosC＋2k＝0,，即看作關(guān)于cosC的一元二次方程。

∴  △＝cos (A－B)－8k≥0  即 8k≤cos (A－B)≤1  

∴ k≤ 即cosA·cosB·cosC≤

【注】本題原本是三角問(wèn)題,，引入?yún)?shù)后,，通過(guò)三角變形，發(fā)現(xiàn)了其等式具有“二次”特點(diǎn),，于是聯(lián)想了一元二次方程,，將問(wèn)題變成代數(shù)中的方程有實(shí)解的問(wèn)題，這既是“方程思想”,，也體現(xiàn)了“判別式法”,、“參數(shù)法”。

此題的另外一種思路是使用“放縮法”,在放縮過(guò)程中也體現(xiàn)了“配方法”,，具體解答過(guò)程是：cosA·cosB·cosC＝ [cos(A＋B)＋cos(A－B)]·cosC  ＝－ cos C＋ cos(A－B)·cosC＝－  [cosC－ ] ＋ cos (A－B)≤ cos (A－B) ≤ ,。

例8. 設(shè)f(x)＝lg ，如果當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí)f(x)有意義,，求實(shí)數(shù)a的取值范圍,。

【分析】當(dāng)x∈(-∞,1]時(shí)f(x)＝lg 有意義的函數(shù)問(wèn)題,，轉(zhuǎn)化為1＋2 ＋4 a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式問(wèn)題。

【解】 由題設(shè)可知,，不等式1＋2 ＋4 a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,，

即：( ) ＋( ) ＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。

設(shè)t＝( ) ,  則t≥ ,，   又設(shè)g(t)＝t ＋t＋a,，其對(duì)稱軸為t＝－

∴ t ＋t＋a＝0在[ ,+∞)上無(wú)實(shí)根，  即 g( )＝( ) ＋ ＋a>0,，得a>－

所以a的取值范圍是a>－ ,。

【注】對(duì)于不等式恒成立，引入新的參數(shù)化簡(jiǎn)了不等式后,，構(gòu)造二次函數(shù)利用函數(shù)的圖像和單調(diào)性進(jìn)行解決問(wèn)題,，其中也聯(lián)系到了方程無(wú)解，體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想,。一般地,，我們?cè)诮忸}中要抓住二次函數(shù)及圖像、二次不等式,、二次方程三者之間的緊密聯(lián)系,，將問(wèn)題進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化。

在解決不等式( ) ＋( ) ＋a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的問(wèn)題時(shí),，也可使用“分離參數(shù)法”： 設(shè)t＝( ) ,  t≥ ,，則有a＝－t －t∈(－∞,－ ]，所以a的取值范圍是a>－ ,。其中最后得到a的范圍,，是利用了二次函數(shù)在某區(qū)間上值域的研究，也可屬應(yīng)用“函數(shù)思想”,。

Ⅲ、鞏固性題組：

1.         方程sin2x＝sinx在區(qū)間(0,2π)內(nèi)解的個(gè)數(shù)是_____,。

A.  1      B.  2     C.  3     D.  4

2.         已知函數(shù)f(x)＝|2 －1|,，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b),，則_____,。

A. a<0,b<0,c>0    B. a<0,b>0,c>0    C. 2 <2      D. 2 ＋2 <2

3.         已知函數(shù)f(x)＝log (x －4x＋8)， x∈[0,2]的最大值為－2,，則a＝_____,。

A.       B.       C.  2     D.  4

4.已知{a }是等比數(shù)列，且a ＋a ＋a ＝18,，a ＋a ＋a ＝－9,，S ＝a ＋a ＋…＋a ,，那么 S 等于_____。

  A.  8      B.  16      C.  32      D.  48

5.等差數(shù)列{a }中,，a ＝84,，前n項(xiàng)和為S ,已知S >0，S <0,，則當(dāng)n＝______時(shí),，S 最大。

6. 對(duì)于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)p,，使不等式x ＋px〉4x＋p－3成立的x的取值范圍是________,。

7.若關(guān)于x的方程|x －6x＋8|＝a恰有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________,。

8.已知點(diǎn)A(0,1),、B(2,3)及拋物線y＝x ＋mx＋2，若拋物線與線段AB相交于兩點(diǎn),，求實(shí)數(shù)m的取值范圍,。

9.已知實(shí)數(shù)x、y,、z滿足等式x＋y＋z＝5和xy＋yz＋zx＝3,試求z的取值范圍,。

10.已知lg －4·lg ·lg ＝0，求證：b是a,、c的等比中項(xiàng),。

11.設(shè)α、β,、γ均為銳角,，且cos α＋cos β＋cos γ＋2cosα·cosβ·cosγ＝1，求證：α＋β＋γ＝π ,。

12.當(dāng)p為何值時(shí),，曲線y ＝2px (p>0)與橢圓 (x―2― ) ＋y ＝1有四個(gè)交點(diǎn)。(88年全國(guó)高考)

13.已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x ＋ax＋b＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α,、β,。證明：

①.      如果|α|<2，|β|<2,，那么2|a|<4＋b且|b|<4,；

②.      如果2|a|<4＋b且|b|<4，那么|α|<2,，|β|<2 ,。  （93年全國(guó)理）

14.設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(-∞,+∞)上以2為周期的函數(shù)，對(duì)k∈Z,，用I 表示區(qū)間(2k-1,2k+1],，已知當(dāng)x∈I 時(shí),，f(x)＝x 。    ①.求f(x)在I 上的解析表達(dá)式,；   ②.對(duì)自然數(shù)k,，求集合M ＝{a|使方程f(x)＝ax在I 上有兩個(gè)不相等的實(shí)根}。    （89年全國(guó)理）