1977年12月,，一篇革命性的論文出現(xiàn)在雜志《Journal d’Analyse Mathématique》上,，這是一個(gè)專(zhuān)業(yè)的數(shù)學(xué)雜志。該研究的作者希勒爾·弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）只是提供了一個(gè)定理的證明,，而另一位數(shù)學(xué)家塞邁雷迪在兩年前已經(jīng)證明了這個(gè)定理,。

盡管如此，弗斯滕伯格的論文在數(shù)學(xué)領(lǐng)域留下了持久的影響,。他的新論點(diǎn)包含了一個(gè)具有深遠(yuǎn)影響的核心見(jiàn)解：可以將塞邁雷迪解決的那種關(guān)于整數(shù)集的問(wèn)題改寫(xiě)為關(guān)于空間中移動(dòng)的點(diǎn)的問(wèn)題,。

從那以后的幾年里，弗斯滕伯格思想被一次又一次地使用,，并一點(diǎn)一點(diǎn)地進(jìn)行了調(diào)整和改進(jìn),。今年早些時(shí)候，研究人員取得了極大的進(jìn)展,，他們揭示了整數(shù)集合中的無(wú)限模式,。

弗斯滕伯格的證明

塞邁雷迪一直在研究包含所有整數(shù)“正片段”的集合（contain a “positive fraction” of all the integer）（正密度集）。

以包含所有5的倍數(shù)的集合為例。當(dāng)你觀察數(shù)軸上越來(lái)越大的區(qū)域時(shí),，5的倍數(shù)繼續(xù)有規(guī)律地出現(xiàn),。數(shù)學(xué)家們說(shuō)，包含5的所有倍數(shù)的集合中的元素個(gè)數(shù),，是所有整數(shù)集合的五分之一,。

相比之下，雖然素?cái)?shù)有無(wú)限個(gè),，但隨著數(shù)變大,，它們變得非常稀少，以至于所有素?cái)?shù)的數(shù)目比上所有整數(shù)的數(shù)目為零,，或者換句話說(shuō),，質(zhì)數(shù)的密度為零。

塞邁雷迪正在尋找所謂的等差數(shù)列,，或均勻間隔的數(shù)字鏈的例子,。例如，假設(shè)有一個(gè)無(wú)限的數(shù)字序列,，如完全平方數(shù)：{1,，4，9,，16,，25，36,，49,，64，81,，100,，…}。完全平方數(shù)有一個(gè)長(zhǎng)度為3的等差數(shù)列隱藏在前幾項(xiàng)中：{1,，25,，49}。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都比前一個(gè)數(shù)大24,。

• 弗斯滕伯格證明了,，足夠大的整數(shù)集合總是包含被稱(chēng)為等差級(jí)數(shù)的模式。

塞邁雷迪證明了任何正密度集必須包含任意長(zhǎng)的等差級(jí)數(shù),。這一結(jié)果在被稱(chēng)為加性組合學(xué)的數(shù)學(xué)分支領(lǐng)域具有里程碑意義,。陶哲軒說(shuō)，

塞邁雷迪的證明,，雖然很精彩,，但直到今天,，可能只有三到四個(gè)人真正理解他證明。

因此,，弗斯滕伯格更容易理解的觀點(diǎn)受到歡迎,。為了寫(xiě)這本書(shū)，弗斯滕伯格使用的方法來(lái)自他自己的數(shù)學(xué)領(lǐng)域——動(dòng)力系統(tǒng),。動(dòng)力系統(tǒng)是任何隨時(shí)間變化的過(guò)程。弗斯滕伯格最感興趣的是所謂的遍歷理論,。遍歷理論家不是在任何給定的時(shí)間點(diǎn)上觀察系統(tǒng)的狀態(tài),，而是研究長(zhǎng)期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)。

弗斯滕伯格的關(guān)鍵思想是把整數(shù)集合看作動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的瞬時(shí)狀態(tài),，而不是固定的對(duì)象,。這可能看起來(lái)是一個(gè)角度上的小改變，但它允許他使用遍歷理論的工具來(lái)證明組合學(xué)的結(jié)果,。當(dāng)時(shí),，弗斯滕伯格并不知道他的想法會(huì)有自己的生命力。但其他人看到了遍歷理論和組合學(xué)之間聯(lián)系的希望,。陶哲軒說(shuō)：

整整一代遍歷理論學(xué)家開(kāi)始投身組合學(xué),，解決所有這些問(wèn)題，反之亦然,。

在過(guò)去的幾年里,，四位數(shù)學(xué)家——布賴(lài)娜·卡拉、喬爾·莫雷拉,、弗洛里安·里克特和唐納德·羅伯遜——發(fā)展了弗斯滕伯格的技術(shù),，不僅在任何正密度集中找到任意長(zhǎng)級(jí)數(shù)，而且找到了稱(chēng)為和集的結(jié)構(gòu)的無(wú)限版本,。

陶哲軒說(shuō),，如果說(shuō)弗斯滕伯格在遍歷理論和組合學(xué)之間架起了一座橋梁，那么這四個(gè)人就把它擴(kuò)大成了一條六車(chē)道的高速公路,。

B + C猜想

塞邁雷迪的定理最早是由兩位數(shù)學(xué)家在1936年提出的,，但沒(méi)有被證明。其中一位是匈牙利數(shù)學(xué)家保羅·埃爾德什,，他以做各種猜想而聞名,。2016年，莫雷拉偶然發(fā)現(xiàn)了埃爾德什關(guān)于“和集”結(jié)構(gòu)的另一個(gè)猜想,。

一個(gè)集合是由另外兩個(gè)集合組成的,；稱(chēng)它們?yōu)锽和C。和集（寫(xiě)為B + C）,，是通過(guò)將所有可能的數(shù)字對(duì)相加來(lái)構(gòu)建的,，其中一個(gè)數(shù)來(lái)自B,，另一個(gè)數(shù)來(lái)自C。埃爾德什猜想,，對(duì)于任何正密度集A,，都存在其他無(wú)窮集合B和C，它們的和集包含在A中,。在莫雷拉閱讀的論文中,，作者已經(jīng)證明了當(dāng)A包含整數(shù)的很大一部分時(shí)，埃爾德什的猜想,。但對(duì)于較小的正密度集,，結(jié)果仍然未知。

莫雷拉把里克特和羅伯遜帶到了這個(gè)研究中,。這三個(gè)人都非常擅長(zhǎng)將遍歷理論技術(shù)應(yīng)用到組合學(xué)中,。但這個(gè)問(wèn)題帶來(lái)了新的挑戰(zhàn)。

在一個(gè)正密度的集合中發(fā)現(xiàn)無(wú)限和實(shí)際上沒(méi)有先例,。

也許正是因?yàn)檫@個(gè)原因,，和集問(wèn)題被證明是難以解決的。莫雷拉說(shuō),，我們不得不通過(guò)遍歷理論,。他們?cè)?018年成功地證明了埃爾德什的猜想。他們的證明后來(lái)發(fā)表在數(shù)學(xué)界最負(fù)盛名的《數(shù)學(xué)年鑒》上,。

新證明

這篇論文留下了兩個(gè)大問(wèn)題,。其中一個(gè)是埃爾德什的另一個(gè)集合猜想叫做B + B + t猜想。

莫雷拉他們也提出了一個(gè)他們自己的問(wèn)題：如果有一個(gè)正密度的集合A,，你能找到三個(gè)無(wú)限集——B, C和D,，B + C + D在A里面嗎？四個(gè)無(wú)限集呢,？五個(gè)呢,？

在他們提出多集版本后，數(shù)學(xué)家們被困住了一段時(shí)間,?？磥?lái)他們用于雙集合猜想的技術(shù)已經(jīng)達(dá)到了極限。兩年過(guò)去了,，他們才看到真正的進(jìn)展,。卡拉說(shuō),，

最終,，我們想出了一些我們理解的其他變體。我們必須做的是重新思考證明的每一步,，從轉(zhuǎn)化為一個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)開(kāi)始

法國(guó)數(shù)學(xué)家伯納德·霍斯特2019年發(fā)表的一篇論文有助于他們的研究,?；羲固匾呀?jīng)重新證明了莫雷拉他們的結(jié)果。

有了霍斯特的改進(jìn),，卡拉,、莫雷拉、里克特和羅伯遜繼續(xù)調(diào)整他們的證明,，試圖提取最簡(jiǎn)單,，最優(yōu)雅的論點(diǎn)。他們最終得到的證明,，就像弗斯滕伯格的證明一樣,，把無(wú)限的整數(shù)集合看作動(dòng)力系統(tǒng)中的時(shí)間戳。然而,，這個(gè)動(dòng)力系統(tǒng)最好被想象成在空間中跳躍的點(diǎn)。

下面是它的工作原理：首先站在一個(gè)封閉房間的一個(gè)角落,，稱(chēng)之為0角落,。有一個(gè)時(shí)間A的集合，這個(gè)集合是一個(gè)正密度的整數(shù)集合,。

然后制定在房間里走動(dòng)的規(guī)則,。每一秒，你都會(huì)移動(dòng)到一個(gè)新的位置,，基于你剛才站的位置,。你遵循的確切規(guī)則將被設(shè)計(jì)成與集合A相匹配——只要時(shí)間戳在A中，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在房間的一個(gè)特殊區(qū)域,。

例如,，假設(shè)A由所有能被4整除的數(shù)字組成，每秒鐘,，你就順時(shí)針移動(dòng)到房間的下一個(gè)角落,。一秒鐘后，你移動(dòng)到角落1,；兩秒鐘后,，角落2，以此類(lèi)推,。然后,，每走四步，意思是每次在A處,，你就會(huì)回到最初的0角落,。

這個(gè)過(guò)程會(huì)一直持續(xù)下去。沿著順時(shí)針?lè)较驈囊粋€(gè)角走到另一個(gè)角,，你會(huì)無(wú)限次地訪問(wèn)每個(gè)角,。接近無(wú)窮次的點(diǎn)叫做聚點(diǎn),。

卡拉他們證明了你可以巧妙地選擇其中一個(gè)點(diǎn)來(lái)找到你的集合B + C。在角落的例子中,，以角落1為例,。你到達(dá)那里的次數(shù)是1，5,，9和13乘以某個(gè)整數(shù)如4n + 1,，設(shè)B是這些次數(shù)的集合。

現(xiàn)在想象一下,，不是從角落0開(kāi)始,，而是從角落1開(kāi)始。這意味著當(dāng)次數(shù)能被4整除時(shí),，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己回到了角落1,，然后你會(huì)在三步后到達(dá)角落0：次數(shù)為3、7,、11或任何形式為4n + 3的數(shù)字,。C是這些次數(shù)的集合。

現(xiàn)在,，再次從0角落開(kāi)始,。這一次，看看如果從B中取一個(gè)數(shù)字,，從C中取一個(gè)數(shù)字（比如說(shuō),，從B中取13，從C中取3）,，把它們相加會(huì)發(fā)生什么,。

最后，我們得到了一個(gè)證明它和最初的證明幾乎沒(méi)有相似之處,。

這需要13 + 3 = 16秒,。因?yàn)?6是4的倍數(shù)，所以它在A中,，但你也可以預(yù)測(cè)13 + 3能被4整除,，因此在A中，不需要13和3相加,。只要看看當(dāng)你等待13 + 3秒時(shí)動(dòng)力系統(tǒng)會(huì)發(fā)生什么,。這時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)自己在角落1,。然后,，從角落1開(kāi)始，你再移動(dòng)3步,，這將帶你回到角落0,。因?yàn)槟銖慕锹?開(kāi)始,，最后回到那里，你一定等了4秒的倍數(shù),，這意味著總時(shí)間是原始集合A中的一個(gè)數(shù)字,。

為了使這一論點(diǎn)站得住腳，該小組不得不處理許多繁瑣的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié),。例如,，在大多數(shù)情況下，你有無(wú)限個(gè)可移動(dòng)的角落,，而不僅僅是四個(gè)角落,。這意味著你不會(huì)無(wú)數(shù)次回到一個(gè)地方;你只能無(wú)限次地接近它。這為這一論證引入了新的數(shù)學(xué)復(fù)雜性,。但一旦他們弄清楚了這個(gè)過(guò)程是如何運(yùn)作的,，他們就知道他們能夠解決他們想要的更難的問(wèn)題。例如,，為了證明猜想的多集合版本,，研究人員只需在路徑上添加一個(gè)聚點(diǎn)?？傮w上的論證是一樣的,，只是增加了一層新的復(fù)雜性,。

敲定所有的技術(shù)細(xì)節(jié)并不容易,。在確定了動(dòng)力學(xué)結(jié)構(gòu)后，克拉他們花了一年多的時(shí)間來(lái)證明更困難的猜想,。今年6月,，該小組終于發(fā)表了兩篇論文。一個(gè)證明了和集猜想的多集版本,。另一個(gè)證明了B + B + t版本的猜想,。