問題描述
思考這樣一個問題：
在冬天晴朗的日子里,，華南一個空曠的地面上，有一根垂直于地面的旗桿,。
旗桿自然會在陽光照射下投下影子,。
那現(xiàn)在問：在一天當(dāng)中，這個影子如何隨著太陽運動而變化,？
分析與解決
很多人第一反應(yīng)是一條直線,，從西邊掃到東邊的一條直線。
因為太陽東升西落，對應(yīng)旗桿的影子就是從西移到東了,。
有部分可能會意識到不是簡單的一條直線,，因為細心的人會發(fā)現(xiàn)，冬天的太陽總是在偏南傾斜的,，即使在正午,，也是偏南的。
還細心一點的會發(fā)現(xiàn)冬天太陽并不是嚴格的東升西落,，而是從東南方向升起,，從西南落下。那這個投影的運行軌跡就還真不好說了,。
地軸與北極星
要弄這個問題,，首先要弄清楚太陽是怎么運動的。
地球是繞地軸自西向東自轉(zhuǎn)的,，地軸在天空上可是看不到的,，但有一樣?xùn)|西可以看到，那就是北極星,。
北極星是在地軸沿線上,，所以北極星方向，就是地軸方向,。
所以北極星有一個特點,，就是不管春夏秋冬、白天黑夜,，它是不動的（所謂不到,，是方向不變，即高度不變,，對于地球上的觀察者來就,，就是不動）。
而且所有星辰都圍繞它旋轉(zhuǎn),，當(dāng)然包括太陽。
白天因為太亮無法觀察到北極星,，但不影響太陽圍繞它旋轉(zhuǎn),。
因為不同緯度的地區(qū)，當(dāng)?shù)卮怪狈较蚺c地軸的角度是不一樣的,，自然導(dǎo)致當(dāng)?shù)氐仄矫媾c地軸夾角不一樣,。
即當(dāng)?shù)厮^察到的北極星高度角不一樣。
在北極極點上,，地軸垂直于地面,，即北極星在自己的頭頂方向。
在赤道上，地軸與地平面平行,，所以北極星在正北方,。
北半球其它位置，是朝北方,，但有一個向上高度角,，如下圖。
藍色箭頭是北極星光線,。
因為相對于其它天體與地球的距離,，地球的半徑，基本可以忽略,，可以認為地球就是一個點,。
所以可以認為北極星的光平行地打在地球各個地區(qū)。其實太陽光與是如此,。
太陽運動軌跡與圓錐
確定了北極星方位,，意味著確定了太陽旋轉(zhuǎn)軸心。
對于北半球地區(qū),，太陽的運動軌跡是這樣的：
灰色平面是當(dāng)?shù)氐仄矫?，A點為旗桿頂點，AN為地軸方向,，即指向北極星,，N為北。
太陽是繞北極星旋轉(zhuǎn)的,。左邊金色部分,，就是A處觀察到的太陽光光錐，對應(yīng)的投影為,，光錐點對稱后得到的右邊灰色部分,。
顯示灰色部分也是一個圓錐。圓錐與平面的交線自然就是所求的軌跡,。上畫明顯是雙曲線,。
曲面交線動圖演示
北極星是永遠不變的，只有太陽的高度會隨四季變化,。
所以要觀察不同季節(jié)的投影軌跡,，只需要調(diào)試太陽高度來觀察即可。
為了演示不同高度情況的投影變化,，這里假設(shè)太陽可能出現(xiàn)在任意高度,，從南極到北極。
當(dāng)然,，實際上不可能出現(xiàn),，但其它星體可以,，只不過星體光太弱，無法形成投影,。
太陽從南極到當(dāng)?shù)鼐暰€圈：
太陽從當(dāng)?shù)鼐暰€圈到北極：
常見疑問解答
有了之前的分析,，就可以回答一系列的問題。
- 投影圓錐與地平面沒有交點代表什么,？
- 太陽高度太低,，低于地平面以下，當(dāng)?shù)卣炜床坏教?，出現(xiàn)極夜,。
- 太陽光圓錐在地平面之上代表什么？
- 當(dāng)?shù)卣於寄芸吹教?，出現(xiàn)極晝,，投影軌跡為橢圓。
- 極點上投影軌跡是怎么樣的,？
- 地軸與地面垂直,，太陽圍著當(dāng)?shù)卮怪本€旋轉(zhuǎn)，投影為正圓,。
- 赤道投影軌跡是怎么樣的,？
- 與動圖演示的相差不大，地軸是水平的,，所以只不過不可能出現(xiàn)橢圓,，大部分時間為雙曲線，太陽直射當(dāng)?shù)貢r為直線,。
- 投影軌跡可能為直線嗎,？是什么時候？
- 可以,，由演示動圖可以看到,。當(dāng)太陽旋轉(zhuǎn)平面與當(dāng)?shù)鼐暰€圈重合時，軌跡為一點直線,，此直線不一定在旗桿正下方,。
- 投影軌跡是否可能是拋物線？
- 可能,。要出現(xiàn)拋物線,，光錐的下方要與地面平行?？赡艹霈F(xiàn)極晝地區(qū)軌跡從雙曲線向橢圓過渡過程中會出現(xiàn)拋物線。
總結(jié)
綜上所述：投影軌跡可以是點,、圓,、橢圓、拋物線、雙曲線及直線,。
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