動(dòng)力系統(tǒng)描述了復(fù)雜物理現(xiàn)象的力學(xué)和行為,，通常涉及到多個(gè)以某種方式相互耦合的微分方程。當(dāng)常微分方程組（ODE）是線性的,，意味著微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)和該函數(shù)各階導(dǎo)數(shù)都是一次的,；我們可以用線性代數(shù)技術(shù)同時(shí)解出所有的方程。

在本文中,，我們關(guān)注一類特殊的線性常微分方程組,，

其中x是一個(gè)解的向量，每個(gè)解都是時(shí)間t的函數(shù),，A是一個(gè)將所有解連接在一起的系數(shù)矩陣,，它可能是時(shí)間t的函數(shù)。在A與時(shí)間無(wú)關(guān)的簡(jiǎn)單情況下（它的所有元素都是常數(shù)）,，線性系統(tǒng)通過(guò)簡(jiǎn)單的分離變量來(lái)求解：

其中x(0)是初始條件的向量,。必須特別注意矩陣指數(shù)

它不等于矩陣At中每個(gè)元素的指數(shù),。這是許多學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)線性代數(shù)和微分方程時(shí)常犯的錯(cuò)誤。為了求出矩陣的函數(shù),，需要先找出矩陣的特定性質(zhì),，然后用一種特殊的方法來(lái)求出它。一個(gè)非常有效的方法涉及到復(fù)分析中的一個(gè)概念,，被稱為柯西積分公式：

這允許我們計(jì)算函數(shù)f(z)/(z-x)在特定點(diǎn)x處的圍線積分,，假設(shè)在點(diǎn)z = x處有一個(gè)奇點(diǎn)。

在本文的例子中,，我們想求At的函數(shù)值,，所以我們寫

I是單位矩陣。因?yàn)榉e分是一個(gè)線性算子,，對(duì)一個(gè)矩陣求積分就相當(dāng)于對(duì)它的每個(gè)元素分別求積分。這意味著只要矩陣(zI-At)有逆,，f(At)就可以求值,。一個(gè)基本問(wèn)題是圍線C的選擇。我們要選擇一個(gè)圍線C,，它包含矩陣At的所有特征值（包括實(shí)部和虛部）,。一種可能是選擇一個(gè)以原點(diǎn)為圓心，半徑為R的圓

不等式右邊是矩陣的范數(shù),。這意味著我們首先需要計(jì)算At的特征值,。

讓我們看看下面的例子：

它有解

我們想要找到At的特征值，所以我們解行列式方程

在這種情況下是

由此我們可以很容易地得出結(jié)論

這意味著對(duì)于積分的圍線,，我們可以選擇一個(gè)半徑圓

這完全包含了任何時(shí)刻t≥0的特征值,。接下來(lái)，回想一下2x2矩陣的逆是

我們求得了逆函數(shù)

接下來(lái),，計(jì)算

這和下面的函數(shù)是一樣的：

由此,，我們繼續(xù)對(duì)每個(gè)積分分別求值：

這里，我們作以下處理：

因此,，

并最終

這意味著兩個(gè)解是：

我們可以通過(guò)對(duì)兩個(gè)表達(dá)式求導(dǎo)來(lái)驗(yàn)證

從而得到了原始的常微分方程組

值得注意的是,，該方法可以進(jìn)一步推廣到時(shí)變系數(shù)矩陣。例如,，給定

我們發(fā)現(xiàn)

矩陣指數(shù)由柯西積分公式給出