這里的內(nèi)容主要摘自《高等數(shù)學(xué)》(李忠,、周建瑩編著)教材的緒論。

數(shù)學(xué)的基本特征

一百多年前,，恩格斯就說過,，數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系及空間形式的科學(xué)，盡管一百多年中數(shù)學(xué)的發(fā)展使它的研究內(nèi)容早已超出了“數(shù)”與“形”的范疇,，但就其基本精神而言,，恩格斯對數(shù)學(xué)的概括仍然是正確的。

數(shù)學(xué)的基本特征是它的研究對象的高度抽象性,。

數(shù)本身就是抽象的，比如自然數(shù),、負(fù)數(shù),、無理數(shù)、超越數(shù),、復(fù)數(shù)等等,。

初等幾何中的點、直線,、三角形,、圓等也是抽象的，它們根據(jù)人們生活經(jīng)驗抽象而來,。我們生活的現(xiàn)實空間是3維空間,，這一事實是抽象的結(jié)果，但畢竟容易接受,。至于4維空間就變得難于理解,，而學(xué)過物理的人則常常理解4維空間是3維空間添加時間的結(jié)果,。然而數(shù)學(xué)還要研究更一般的n維空間乃至無窮維空間，甚至更為抽象的流形或拓?fù)淇臻g,。

這些特別抽象的概念不再是從人的直接生活經(jīng)驗與生產(chǎn)活動中得來,，而是從人類的科學(xué)(包括數(shù)學(xué))研究、科學(xué)試驗以及復(fù)雜的技術(shù)過程中抽象而來,，它們既超出了普通人的直接經(jīng)驗,，也超出了自然現(xiàn)象的范疇——數(shù)學(xué)研究對象的這種高度抽象性使數(shù)學(xué)科學(xué)區(qū)別于自然科學(xué)。

數(shù)學(xué)研究對象的抽象性決定了數(shù)學(xué)的另一特征——

數(shù)學(xué)論證方法上的演繹性

人們說：數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué),，這是從它的論證方法而言的,。數(shù)學(xué)中要證明一個結(jié)論的成立，是根據(jù)假設(shè)(包括公理)按照形式邏輯推演出來的,，除此之外,，在一定意義上說，它不允許任何其他東西作為導(dǎo)出結(jié)論的依據(jù),。

在試驗科學(xué)中實驗結(jié)果是結(jié)論的重要依據(jù),，在數(shù)學(xué)中則不能以任何實驗結(jié)果作為結(jié)論的依據(jù)。比如數(shù)學(xué)中不能由測量若干個三角形的內(nèi)角而斷言“三角形內(nèi)角之和為180°”——事實上這一結(jié)論是由平行公理推演得出的,。

當(dāng)然,，說數(shù)學(xué)是一門演繹科學(xué)是指其論證方法而言，而不是指其整個研究方法,，試驗,、歸納、類比,、猜測或假想同樣是重要的研究方法,，然而最終論證一個結(jié)論成立則需要演繹。數(shù)學(xué)中沒有經(jīng)過證明的命題最多只能是一種猜想,。

數(shù)學(xué)在論證方法上的演繹性使數(shù)學(xué)理論構(gòu)成了一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问襟w系,，其中有公理、定義,、定理,，一環(huán)扣一環(huán)演繹出許多公式與結(jié)論。人類歷史上第一個完整的演繹體系是歐幾里得的《幾何原本》,，它以五條公理(在《幾何原本》中稱之為公設(shè))出發(fā),，用形式邏輯將其全部結(jié)論逐一推出。愛因斯坦高度評價了這個“邏輯體系的奇跡”,，他說：“推理的這種令人驚嘆的勝利,，使人類的理智為今后的成就獲得了所需要的信心。”

數(shù)學(xué)的第三個特征就是——

應(yīng)用的極端廣泛性

正是因為數(shù)學(xué)的高度抽象性,，它的結(jié)論的應(yīng)用范圍才非常廣泛,。

比如2+3=5,，它適用于一切可能談?wù)摂?shù)量的事物。

在數(shù)學(xué)中,，同一方程式完全可能代表互不相干的事物的某種相同規(guī)律,，同一個拉普拉斯方程可能代表許多不同的物理現(xiàn)象，某種生物種類群體的數(shù)量變化可能與某種商品的價格漲落滿足同一數(shù)學(xué)模型,，所有這些都是數(shù)學(xué)抽象力量的所在,。

數(shù)學(xué)應(yīng)用廣泛性的一個重要標(biāo)志是數(shù)學(xué)在其他科學(xué)中的特殊地位與作用。伽利略說：“自然界這部偉大的書是用數(shù)學(xué)語言寫成的,?！笔聦嵣希瑪?shù)學(xué)是各門科學(xué)的語言,，無論自然科學(xué),，還是人文科學(xué)。比如在近些年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎獲得者中,，半數(shù)以上有從事數(shù)學(xué)研究的歷史背景,。

有些人，包括有些數(shù)學(xué)家片面夸大數(shù)學(xué)體系的形式性,，認(rèn)為數(shù)學(xué)是“絲毫不反映現(xiàn)實世界的純形式體系”,，從而也就從根本上否認(rèn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。還有一些人認(rèn)為數(shù)學(xué)的形式系統(tǒng)是數(shù)學(xué)家們“自由創(chuàng)作”的結(jié)果,，“就像小說家設(shè)計人物,、對話和情節(jié)一樣”，沒有任何必然性,。

這些看法之所以錯誤,，就是因為它不符合于數(shù)學(xué)被廣泛應(yīng)用的現(xiàn)實，不符合于數(shù)學(xué)及其他科學(xué)發(fā)展的歷史,，更不能解釋數(shù)學(xué)內(nèi)部的高度和諧與統(tǒng)一,，不能解釋數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的一致性。我們認(rèn)為,，數(shù)學(xué)內(nèi)部的統(tǒng)一性以及它跟其他科學(xué)的一致性是宇宙統(tǒng)一性的反映。

比如,，數(shù)學(xué)為物理提供描述現(xiàn)象與規(guī)律的語言與工具,，其實有很多數(shù)學(xué)概念首先是由物理學(xué)家提出，而后由數(shù)學(xué)家逐步嚴(yán)謹(jǐn)化,。

應(yīng)當(dāng)指出,，科學(xué)的探索是人類對未知世界的一種不懈的頑強(qiáng)追求，這種追求有時超越了直接的功利目的,，某些數(shù)學(xué)的研究往往是一個純粹的數(shù)學(xué)問題,，既看不到實際應(yīng)用的背景,，也無法預(yù)測它的應(yīng)用前景。人們對這類問題的研究,，從研究動機(jī)上看似乎與藝術(shù)一樣,，是對某種永恒與完美的追求，我們對這種追求的意義也不應(yīng)有任何忽視,。

數(shù)學(xué)研究的基本動力來自外部的社會實踐的要求,，然而也不能否認(rèn)還有一部分相當(dāng)大的動力來自數(shù)學(xué)內(nèi)部。數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾,，數(shù)學(xué)研究中所遇到的重大問題,，往往會激起數(shù)學(xué)家們巨大的研究興趣，這種純數(shù)學(xué)問題的研究往往推動了數(shù)學(xué)新理論和新方法的產(chǎn)生,，而后者在科學(xué)或技術(shù)上具有重要價值,。

再回到歐幾里得的《幾何原本》的第五公設(shè)，即平行公理,，它曾經(jīng)引起許多人的研究,，人們試圖用其余四個公設(shè)把它推導(dǎo)出來，兩千多年間不知道多少數(shù)學(xué)家為此絞盡腦汁而最后都失敗了,，這個失敗經(jīng)驗促使羅巴切夫斯基做出相反的大膽思考,，于是產(chǎn)生了非歐幾何。

平行公設(shè)問題,，自然是一個純數(shù)學(xué)問題,，很難在當(dāng)時說清它的研究價值。然而如果沒有這樣的討論,，就不會有非歐幾何的出現(xiàn),，人類就會永遠(yuǎn)處于歐幾里得幾何統(tǒng)治之下，從而也就沒有愛因斯坦的相對論和當(dāng)今的時空觀,。