小石頭/編

函數(shù)是實(shí)數(shù)?上的映射（記為 f(x): ? → ?），

• 將函數(shù)的定義域改為向量??就變成多元函數(shù)（記為 f: ?? → ?）,；

• 將函數(shù)的陪域改為向量??就變成向量函數(shù)（記為 f : ? → ??）,；

多元向量函數(shù)常常被稱為場(chǎng)（記為 F: ?? → ??）。

注：為了清晰,，正文中所有 向量 或 向量函數(shù) 一律使用粗體,。

低維度的向量 在物理學(xué)中有廣泛的應(yīng)用，它們常常被稱為矢量，同時(shí)場(chǎng)的概念最早也源于物理,?！妒噶糠治雠c場(chǎng)論》正是關(guān)于低維度以 三維向量空間?3 中微積分應(yīng)用的 數(shù)學(xué)課目，小石頭今天要向大家介紹的 梯度,、旋度 和 散度 就是 這門(mén)課的 最重要 概念,。當(dāng)然，這里小石頭不打算 照本宣科《矢量分析與場(chǎng)論》中的內(nèi)容,，而是希望能從另一個(gè)更通俗易懂的角度來(lái)展開(kāi),。

注：向量和矢量是同一英語(yǔ)單詞vector的不同翻譯。

根據(jù)《高等數(shù)學(xué)》中的知識(shí),，我們知道,， 導(dǎo)數(shù)，

是 函數(shù) f: ? → ? 在其上任意一點(diǎn) x 處的變化率,。

與函數(shù) 只有 X 軸 這一個(gè)直線方向 不同,， 三元函數(shù) f(x, y, z): ?3 → ? 在其上任意一點(diǎn) p = (x, y, z) 處，有無(wú)數(shù)個(gè)不同的方向,，從而有無(wú)數(shù)個(gè)不同的變化率,，為此 可分別取 X、Y,、Z 軸對(duì)應(yīng)的方向 i = (1, 0, 0) ,、 j = (0, 1, 0)、 k = (0, 0, 1) 的變化率,，

這些稱為 偏導(dǎo)數(shù),，它們組成 一個(gè) 向量，

稱為 梯度,，這樣以來(lái),，任意方向，

? = Δxi Δyj Δzk, |?| = √ ((Δx)2 (Δy)2 (Δz)2) = 1

對(duì)應(yīng)的 變化率 就是,，

f? = ?f/?? = grad(f)·?

這稱為 方向?qū)?shù),。

根據(jù)向量點(diǎn)乘的性質(zhì)，方向?qū)?shù)實(shí)際上是 grad(f) 在 ? 上的投影,，即,，

f? = |grad(f)||?|cosθ

這說(shuō)明，當(dāng) ? 和 grad(f) 方向一致時(shí),，方向?qū)?shù) 取得最大值,，也就是說(shuō)：

• 梯度 grad(f) 的方向 表示 f 在任意一點(diǎn) p 處變化最快的方向，變化率為 |grad(f)(p)|,；

在三維場(chǎng) F(x, y, z)=(P(x,y,z), Q(x,y, z), R(x, y, z)) : ?3 → ?3 中,，稱 場(chǎng)沿平面封閉曲線的曲線積分 為 環(huán)量,，環(huán)量與曲線所圍面積之比為環(huán)量面密度,，任取三維空間 ?3 中的任意一點(diǎn) p=(x, y, z),，考慮在 p 處的 環(huán)量面密度。

為了計(jì)算簡(jiǎn)單,，我們用矩形框作 封閉曲線,，并 以逆時(shí)針為正向 以右手螺旋定朝向。由于 矩形框是 二維的,，于是 在三維空間中 就有不同的朝向,，進(jìn)而對(duì)應(yīng)不同的 環(huán)量面密度，為此,，可先 取 X,，Y， Z 軸 三個(gè)方向的朝向,，分別計(jì)算對(duì)應(yīng)的 環(huán)量面密度：

• 以 Z 軸為 朝向,，以 p 為中心作一個(gè) 大小是 Δx × Δy 的小矩形框，并讓其四邊 a, c 和 b, d 分別 平行于 X 和 Y 軸,，

已知 F 在 p 點(diǎn)處的值為 F(p) = (P, Q, R) ,，而 根據(jù)上面梯度的知識(shí)，我們知道 ?P/?x 和 ?Q/?x 分別是 P 和 Q 在 p 附近 沿著 X 軸方向的 變化率,，由于 矩形框非常小,，所以 F 在 p? 值為，

F(p?) = (P (?P/?x)Δx/2, Q (?Q/?x)Δx/2, R (?R/?x)Δx/2)

同樣由于矩形框非常小,，可以認(rèn)為 a 邊上的每一個(gè)點(diǎn)的 F 值都有一樣,，于是 矩形框a邊的環(huán)量為，

[F(p?)·j]Δy = [(P (?P/?x)Δx/2, Q (?Q/?x)Δx/2, R (?R/?x)Δx/2) · (0, 1, 0)]Δy = (Q (?Q/?x)Δx/2)Δy

類似地,，可計(jì)算出,， F 在 p? 處的值是，

F(p?) = (P - (?P/?x)Δx/2, Q - (?Q/?x)Δx/2, R - (?R/?x)Δx/2)

從而矩形框c邊的環(huán)量為,，

[F(p?)·(-j)]Δy = [(P - (?P/?x)Δx/2, Q - (?Q/?x)Δx/2, R - (?R/?x)Δx/2) · (0, -1, 0)]Δy = (-Q (?Q/?x)Δx/2)Δy

于是矩形框在X軸方向的環(huán)量（即,，a c邊的環(huán)量）就是，

(Q (?Q/?x)Δx/2)Δy (-Q (?Q/?x)Δx/2)Δy = (?Q/?x)ΔxΔy

同理,，可以求得,，矩形框在Y軸方向的環(huán)量（即，b d邊的環(huán)量）是,，

(-?P/?y)ΔxΔy

這樣,，矩形框的環(huán)量就是，

(?Q/?x - ?P/?y)ΔxΔy

而 ΔxΔy 剛好是矩形框的面積,，于是環(huán)量面密度為：

?Q/?x - ?P/?y

• 與上面類似可求得,，X軸 和 Y軸 朝向的環(huán)量面密度 分別為：?Q/?x ?P/?y 和

然后，組成一個(gè)向量，

稱為旋度,，這樣任意朝向 ? 的 環(huán)量面密度 就是,，

還是上面三維場(chǎng) F，我們 稱 場(chǎng) 在 曲面 某一單側(cè) 的 曲面積分 為 通量,，封閉曲面外側(cè)的通量與曲面所圍體積之比為通量密度,，再考慮 p 點(diǎn)處的 通量密度。

為了計(jì)算簡(jiǎn)單,，我們用立方體作 封閉曲面,，以 p 點(diǎn)為中心 作一個(gè) 大小是 Δx × Δy × Δz 的立方體，讓其 過(guò)任意頂點(diǎn)的 三邊分別與 X, Y, Z 軸平行,。

與前面類似,，因?yàn)榱⒎襟w非常小，所以,，

F(p?) = (P (?P/?x)Δx/2, Q (?Q/?x)Δx/2, R (?R/?x)Δx/2)

同樣因?yàn)?l 面非常小,，所以認(rèn)為 F 在 其上的每個(gè)點(diǎn)的 值都是 F(p?) , 而 l 的面積是 Sl = ΔyΔz，于是 F 垂直通過(guò) l 面的通量為,，

[F(p?)·i]Sl = [(P (?P/?x)Δx/2, Q (?Q/?x)Δx/2, R (?R/?x)Δx/2)]·(1, 0, 0)]ΔyΔz = (P (?P/?x)Δx/2)ΔyΔz

類似地,，可計(jì)算出， F 垂直通過(guò) r 面的通量為,，

[F(p?)·(-i)]Sr = [(P - (?P/?x)Δx/2, Q - (?Q/?x)Δx/2, R - (?R/?x)Δx/2)·(-1, 0, 0)]ΔyΔz = (-P (?P/?x)Δx/2)ΔyΔz

以上兩項(xiàng)相加得到,，

(?P/?x)ΔxΔyΔz

這就是 F 在 X 軸方向的通量，同理的計(jì)算出 F 在 Y 和 Z 軸的通量分別為,，

(?Q/?y)ΔxΔyΔz 和 (?P/?z)ΔxΔyΔz

于是,，總的通量就是，

(?P/?x ?Q/?y ?P/?z)ΔxΔyΔz

而 ΔxΔyΔz 剛好是立方體的體積,，于是通量密度就是,，

這稱為散度。

到這樣我們就輕松的引入了概念,，

• 梯度：

grad(f) = (?f/?x, ?f/?y, ?f/?z)

三元函數(shù) f(x, y, z) 在任意一點(diǎn)處,，沿著 X、Y,，Z 軸三個(gè)直線方向上的 變化率,；

• 旋度：

rot(F) = (?R/?y - ?Q/?z, ?P/?z - ?R/?x, ?Q/?x - ?P/?y)

三維場(chǎng) F = (P, Q, R) 在任意一點(diǎn)處，朝向 X,、Y,，Z 軸 三個(gè)方向的 環(huán)量面密度；

• 散度：

div(F) = ?P/?x ?Q/?y ?R/?z

三維場(chǎng) F = (P, Q, R) 在任意一點(diǎn)處的通量密度,；

同時(shí)也解釋它們的幾何意義,。

是不是很簡(jiǎn)單,？！

當(dāng)然,，物理學(xué)上為了方便,，還引入了 拉普拉斯算子▽（讀作 nabla），

這樣,，梯度,、旋度,、散度,，可以分別記為

注：以上后兩種表示，僅僅是形式上的,，而實(shí)際上,，▽ 在數(shù)學(xué)上中是用于表示黎曼聯(lián)絡(luò)，他是 梯度的升級(jí)概念,。

（好了,，以上就是本文的正文內(nèi)容，如果大家還有余力可以看看 副文,，希望大家喜歡?。?/p>

副1：談?wù)勆贤{(diào)

副2： 關(guān)于微分是線性化的說(shuō)明