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迄今，人們對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一大疑慮是,，它是難以解釋的黑盒,。本文則主要從理論上理解為什么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)模式識(shí)別、分類效果這么好,，其本質(zhì)是通過一層層仿射變換和非線性變換把原始輸入做扭曲和變形,，直至可以非常容易被區(qū)分不同的類別。實(shí)際上,，反向傳播算法（BP) 其實(shí)就是根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)不斷地微調(diào)這個(gè)扭曲的效果,。本文用多張動(dòng)圖非常形象地解釋了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的工作原理，相關(guān)內(nèi)容也可參考知乎網(wǎng)友的討論：https://www.zhihu.com/question/65403482/answer/2490040491作者 | Christopher Olah 來源 | Datawhale 翻譯 | 劉洋 校對(duì) | 胡燕君（OneFlow） 大約十年前開始,，深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在計(jì)算機(jī)視覺等領(lǐng)域取得了突破性成果,，引起了極大的興趣和關(guān)注。 然而,，仍有一些人對(duì)此表示憂慮,。原因之一是，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)黑匣子：如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練得很好,，可以獲得高質(zhì)量的結(jié)果,，但很難理解它的工作原理。如果神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)出現(xiàn)故障,，也很難找出問題所在,。 雖然要整體理解深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)很難，但可以從低維深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)入手,，也就是每層只有幾個(gè)神經(jīng)元的網(wǎng)絡(luò),，它們理解起來要容易得多。我們可以通過可視化方法來理解低維深層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的行為和訓(xùn)練,?？梢暬椒茏屛覀兏庇^地了解神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的行為,，并觀察到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和拓?fù)?/span>學(xué)之間的聯(lián)系,。 接下來我會(huì)談及許多有趣的事情,，包括能夠?qū)μ囟〝?shù)據(jù)集進(jìn)行分類的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的復(fù)雜性下限。 讓我們從一個(gè)非常簡單的數(shù)據(jù)集開始,。下圖中,，平面上的兩條曲線由無數(shù)的點(diǎn)組成。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)將試著區(qū)分這些點(diǎn)分別屬于哪一條線,。要觀察神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（或任何分類算法）的行為,，最直接的方法就是看看它是如何對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行分類的。我們從最簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)開始觀察,，它只有一個(gè)輸入層和一個(gè)輸出層,。這樣的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)只是用一條直線將兩類數(shù)據(jù)點(diǎn)分開。這樣的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)太簡單粗暴了?，F(xiàn)代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)通常在輸入層和輸出層之間有多個(gè)層,，稱為隱藏層。再簡單的現(xiàn)代神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)起碼有一個(gè)隱藏層,。一個(gè)簡單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),，圖源維基百科同樣地，我們觀察神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)所做的操作,?？梢姡@個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用一條曲線而不是直線來分離數(shù)據(jù)點(diǎn),。顯然,，曲線比直線更復(fù)雜。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的每一層都會(huì)用一個(gè)新的表示形式來表示數(shù)據(jù),。我們可以觀察數(shù)據(jù)如何轉(zhuǎn)化成新的表示形式以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如何對(duì)它們進(jìn)行分類,。在最后一層的表示形式中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)會(huì)在兩類數(shù)據(jù)之間畫一條線來區(qū)分（如果在更高的維度中,，就會(huì)畫一個(gè)超平面）,。在前面的可視化圖形中，我們看到了數(shù)據(jù)的原始表示形式,。你可以把它視為數(shù)據(jù)在「輸入層」的樣子?，F(xiàn)在我們看看數(shù)據(jù)被轉(zhuǎn)化之后的樣子，你可以把它視為數(shù)據(jù)在「隱藏層」中的樣子,。數(shù)據(jù)的每一個(gè)維度都對(duì)應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層中一個(gè)神經(jīng)元的激活,。隱藏層用如上方法表示數(shù)據(jù)，使數(shù)據(jù)可以被一條直線分離（即線性可分）在上一節(jié)的方法中,，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的每一層用不同表示形式來表示數(shù)據(jù),。這樣一來,，每層的表示形式之間是離散的，并不連續(xù),。這就給我們的理解造成困難,，從一種表示形式到另一種表示形式，中間是如何轉(zhuǎn)換的呢,？好在,，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層的特性讓這方面的理解變得非常容易。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中有各種不同的層,。下面我們將以tanh層作為具體例子討論,。一個(gè)tanh層，包括：用“權(quán)重”矩陣 W 作線性變換 用向量 b 作平移 用 tanh 逐點(diǎn)表示
我們可以將其視為一個(gè)連續(xù)的轉(zhuǎn)換,，如下所示：
其他標(biāo)準(zhǔn)層的情況大致相同,，由仿射變換和單調(diào)激活函數(shù)的逐點(diǎn)應(yīng)用組成。我們可以用這種方法來理解更復(fù)雜的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),。例如,，下面的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)使用四個(gè)隱藏層對(duì)兩條略有互纏的螺旋線進(jìn)行分類?？梢钥吹?，為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類，數(shù)據(jù)的表示方式被不斷轉(zhuǎn)換,。兩條螺旋線最初是糾纏在一起的,，但到最后它們可以被一條直線分離（線性可分）。另一方面,，下面的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),，雖然也使用多個(gè)隱藏層，卻無法劃分兩條互纏程度更深的螺旋線,。需要明確指出的是,，以上兩個(gè)螺旋線分類任務(wù)有一些挑戰(zhàn)，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在使用的只是低維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),。如果我們使用寬度更大的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),，一切都會(huì)很容易很多。（Andrej Karpathy基于ConvnetJS制作了一個(gè)很好的demo,，讓人可以通過這種可視化的訓(xùn)練交互式地探索神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),。）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的每一層都會(huì)拉伸和擠壓空間，但它不會(huì)剪切,、割裂或折疊空間,。直觀上看，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)破壞數(shù)據(jù)的拓?fù)湫再|(zhì),。例如,，如果一組數(shù)據(jù)是連續(xù)的,，那么它被轉(zhuǎn)換表示形式之后也是連續(xù)的（反之亦然）。像這樣不影響拓?fù)湫再|(zhì)的變換稱為同胚（homeomorphisms）,。形式上,，它們是雙向連續(xù)函數(shù)的雙射。定理：如果權(quán)重矩陣 W 是非奇異的（non-singular）,，而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的一層有N個(gè)輸入和N個(gè)輸出,，那么這層的映射是同胚（對(duì)于特定的定義域和值域而言）,。1. 假設(shè) W 存在非零行列式,。那么它是一個(gè)具有線性逆的雙射線性函數(shù)。線性函數(shù)是連續(xù)的,。那么“乘以 W ”這樣的變換就是同胚,；3. tanh（還有sigmoid和softplus,，但不包括ReLU）是具有連續(xù)逆（continuous inverses）的連續(xù)函數(shù),。（對(duì)于特定的定義域和值域而言），它們就是雙射,，對(duì)它們的逐點(diǎn)應(yīng)用就是同胚,。因此，如果 W 存在一個(gè)非零行列式,，這一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層就是同胚,。如果我們將這樣的層隨意組合在一起，這個(gè)結(jié)果仍然成立,。我們來看一個(gè)二維數(shù)據(jù)集,，它包含兩類數(shù)據(jù)A和B：說明：要對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行分類,，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（不管深度如何）必須有一個(gè)包含3個(gè)或以上隱藏單元的層,。如前所述，使用sigmoid單元或softmax層進(jìn)行分類,，相當(dāng)于在最后一層的表示形式中找到一個(gè)超平面（在本例中則是直線）來分隔 A 和 B,。如果只有兩個(gè)隱藏單元，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在拓?fù)渖暇蜔o法以這種方式分離數(shù)據(jù),，也就無法對(duì)上述數(shù)據(jù)集進(jìn)行分類,。在下面的可視化中，隱藏層轉(zhuǎn)換對(duì)數(shù)據(jù)的表示形式,，直線為分割線,。可見,，分割線不斷旋轉(zhuǎn),、移動(dòng),，卻始終無法很好地分隔A和B兩類數(shù)據(jù)。這樣的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)再怎么訓(xùn)練也無法很好地完成分類任務(wù)
最后它只能勉強(qiáng)實(shí)現(xiàn)一個(gè)局部最小值,，達(dá)到80%的分類精度,。上述例子只有一個(gè)隱藏層，由于只有兩個(gè)隱藏單元,，所以無論如何它都會(huì)分類失敗,。證明：如果只有兩個(gè)隱藏單元，要么這層的轉(zhuǎn)換是同胚,，要么層的權(quán)重矩陣有行列式0,。如果是同胚的話，A仍然被B包圍,，不能用一條直線把A和B分開,。如果有行列式0，那么數(shù)據(jù)集將在某個(gè)軸上發(fā)生折疊,。因?yàn)锳被B包圍,，所以A在任何軸上折疊都會(huì)導(dǎo)致部分A數(shù)據(jù)點(diǎn)與B混合，致使無法區(qū)分A和B,。但如果我們添加第三個(gè)隱藏單元,，問題就迎刃而解了。此時(shí),，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成如下表示形式：這時(shí)就可以用一個(gè)超平面來分隔A和B了,。為了更好地解釋其原理，此處用一個(gè)更簡單的一維數(shù)據(jù)集舉例：要對(duì)這個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行分類,，必須使用由兩個(gè)或以上隱藏單元組成的層,。如果使用兩個(gè)隱藏單元，就可以用一條漂亮的曲線來表示數(shù)據(jù),，這樣就可以用一條直線來分隔A和B：這是怎么做到的呢,？當(dāng) 時(shí)，其中一個(gè)隱藏單元被激活,；當(dāng)時(shí),，另一個(gè)隱藏單元被激活。當(dāng)前一個(gè)隱藏單元被激活而后一個(gè)隱藏單元未被激活時(shí),，就可以判斷出這是屬于A的數(shù)據(jù)點(diǎn),。流形假說對(duì)處理真實(shí)世界的數(shù)據(jù)集（比如圖像數(shù)據(jù)）有意義嗎？我認(rèn)為有意義,。流形假設(shè)是指自然數(shù)據(jù)在其嵌入空間中形成低維流形,。這一假設(shè)具備理論和實(shí)驗(yàn)支撐。如果你相信流形假設(shè)，那么分類算法的任務(wù)就可以歸結(jié)為分離一組互相糾纏的流形,。在前面的示例中,，一個(gè)類完全包圍了另一個(gè)類。然而,，在真實(shí)世界的數(shù)據(jù)中,，狗的圖像流形不太可能被貓的圖像流形完全包圍。但是,，其他更合理的拓?fù)淝闆r依然可能會(huì)引發(fā)問題,，下一節(jié)將會(huì)詳談。下面我將談?wù)劻硪环N有趣的數(shù)據(jù)集：兩個(gè)互相鏈接的圓環(huán)面（tori）,，A 和 B,。與我們之前談到的數(shù)據(jù)集情況類似，如果不使用n+1維度,，就不能分離一個(gè)n維的數(shù)據(jù)集（n+1維度在本例中即為第4維度）,。
鏈接問題屬于拓?fù)鋵W(xué)中的紐結(jié)理論。有時(shí)候,，我們看到一個(gè)鏈接，并不能立馬判斷它是否是一個(gè)斷鏈（unlink斷鏈的意思是,，雖然它們互相糾纏,，但可以通過連續(xù)變形將其分離）。如果隱藏層只有3個(gè)隱藏單元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以對(duì)一個(gè)數(shù)據(jù)集進(jìn)行分類,，那么這個(gè)數(shù)據(jù)集就是一個(gè)斷鏈（問題來了：從理論上講,，所有斷鏈都可以被只有3個(gè)隱藏單元的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)分類嗎？）,。從紐結(jié)理論的角度來看,，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)表示形式的連續(xù)可視化不僅僅是一個(gè)很好的動(dòng)畫，也是一個(gè)解開鏈接的過程,。在拓?fù)鋵W(xué)中,，我們稱之為原始鏈接和分離后的鏈接之間的環(huán)繞同痕（ambient isotopy）。流形A和流形B之間的環(huán)繞同痕是一個(gè)連續(xù)函數(shù)：每個(gè)是X的同胚,。是特征函數(shù),，將A映射到B。也就是說,，不斷從將A映射到自身過渡到將A映射到B,。定理：如果同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：(1)W為非奇異；(2)可以手動(dòng)排列隱藏層中神經(jīng)元的順序,；(3)隱藏單元的數(shù)量大于1,，那么神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸入和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層產(chǎn)生的表示形式之間有一個(gè)環(huán)繞同痕。
1. 最難的部分是線性轉(zhuǎn)換。為了實(shí)現(xiàn)線性轉(zhuǎn)換,，我們需要W有一個(gè)正行列式,。我們的前提是行列式為非零，如果行列式為負(fù),，我們可以通過調(diào)換兩個(gè)隱藏神經(jīng)元將其轉(zhuǎn)化為正,。正行列式矩陣的空間是路徑連接的（path-connected），這就有,，因此,，，,。通過函數(shù),，我們可以連續(xù)地將特征函數(shù)過渡到W轉(zhuǎn)換，在時(shí)間t在每個(gè)點(diǎn)將x與連續(xù)過渡的矩陣相乘,。2. 可以通過函數(shù)從特征函數(shù)過渡到b平移,。3. 可以通過函數(shù)從特征函數(shù)過渡到的逐點(diǎn)應(yīng)用。我猜可能有人會(huì)對(duì)下面這個(gè)問題感興趣：能不能研發(fā)出可自動(dòng)發(fā)現(xiàn)這種環(huán)繞同痕（ambient isotopy）的程序,，還能自動(dòng)證明某些不同鏈接的等效性或某些鏈接的可分離性,。我也很想知道神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在這方面能不能打敗目前的SOTA技術(shù)。
雖然我們現(xiàn)在所談的鏈接形式很可能不會(huì)在現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)據(jù)中出現(xiàn),，但現(xiàn)實(shí)的數(shù)據(jù)可能存在更高維度的泛化,。鏈接和紐結(jié)都是1維的流形，但需要4個(gè)維度才能將它們分離,。同樣,，要分離n維的流形，就需要更高維度的空間,。所有的n維流形都可以用2n+2個(gè)維度分離,。對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來說，最簡單的方法就是將互纏的流形直接拉開,，而且將那些纏結(jié)在一起的部分拉得越細(xì)越好,。雖然這不是我們追求的根本性解決方案，但它可以實(shí)現(xiàn)相對(duì)較高的分類精度,，達(dá)到一個(gè)相對(duì)理想的局部最小值,。這種方法會(huì)導(dǎo)致試圖拉伸的區(qū)域出現(xiàn)非常高的導(dǎo)數(shù)。應(yīng)對(duì)這一點(diǎn)需要采用收縮懲罰,，也就是懲罰數(shù)據(jù)點(diǎn)的層的導(dǎo)數(shù),。局部極小值對(duì)解決拓?fù)鋯栴}并無用處，不過拓?fù)鋯栴}或許可以為探索解決上述問題提供好的思路,。另一方面,，如果我們只關(guān)心取得好的分類結(jié)果，那么假如流形有一小部分與另一個(gè)流形互相纏繞，這對(duì)我們來說是個(gè)問題嗎,？如果我們只在乎分類結(jié)果,，那么這似乎不成問題。（我的直覺認(rèn)為,，像這樣走捷徑的方法并不好,，容易走進(jìn)死胡同。特別是,，在優(yōu)化問題中,，尋求局部極小值并不能真正解決問題，而如果選擇一個(gè)不能真正解決問題的方案,，就終將不能取得良好的性能,。）選取更適合操縱流形的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層？
我認(rèn)為標(biāo)準(zhǔn)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層并不適合操縱流形,，因?yàn)樗鼈兪褂玫氖欠律渥儞Q和逐點(diǎn)激活函數(shù),。或許我們可以使用一種完全不同的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層？我腦海中浮現(xiàn)的一個(gè)想法是,，首先,，讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)一個(gè)向量場，向量場的方向是我們想要移動(dòng)流形的方向：我們可以在固定點(diǎn)學(xué)習(xí)向量場（只需從訓(xùn)練集中選取一些固定點(diǎn)作為錨）,，并以某種方式進(jìn)行插值,。上面的向量場的形式如下：其中和是向量，和是n維高斯函數(shù),。這一想法受到徑向基函數(shù)的啟發(fā)。我的另一觀點(diǎn)是,，對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)而言,，線性可分性可能是一個(gè)過高且不合理的要求，或許使用k近鄰（k-NN）會(huì)更好,。然而,，k-NN算法很大程度上依賴數(shù)據(jù)的表示形式，因此,，需要有良好的數(shù)據(jù)表示形式才能讓k-NN算法取得好結(jié)果,。在第一個(gè)實(shí)驗(yàn)中，我訓(xùn)練了一些MNIST神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（兩層CNN,，無dropout）,，錯(cuò)誤率低于1%。然后,，我丟棄了最后的softmax層,，使用了k-NN算法，多次結(jié)果顯示，錯(cuò)誤率降低了0.1-0.2%,。不過,，我感覺這種做法依然不對(duì)。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)仍然在嘗試線性分類,，只不過由于使用了k-NN算法,，所以能夠略微修正一些它所犯的錯(cuò)誤，從而降低錯(cuò)誤率,。由于（1/distance）的加權(quán),，k-NN對(duì)于它所作用的數(shù)據(jù)表示形式是可微的。因此,，我們可以直接訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行k-NN分類,。這可以視為一種“最近鄰”層，它的作用與softmax層類似,。我們不想為每個(gè)小批量反饋整個(gè)訓(xùn)練集,，因?yàn)檫@樣計(jì)算成本太高。我認(rèn)為一個(gè)很好的方法是,，根據(jù)小批量中其他元素的類別對(duì)小批量中的每個(gè)元素進(jìn)行分類,，給每個(gè)元素賦予（1/(與分類目標(biāo)的距離)）的權(quán)重。遺憾的是,，即使使用復(fù)雜的架構(gòu),，使用k-NN算法也只能把錯(cuò)誤率降低至4-5%，而使用簡單的架構(gòu)錯(cuò)誤率則更高,。不過,，我并未在超參數(shù)方面下太多工夫。但我還是很喜歡k-NN算法,，因?yàn)樗m合神經(jīng)網(wǎng)絡(luò),。我們希望同一流形的點(diǎn)彼此更靠近，而不是執(zhí)著于用超平面把流形分開,。這相當(dāng)于使單個(gè)流形收縮,，同時(shí)使不同類別的流形之間的空間變大。這樣就把問題簡化了,。數(shù)據(jù)的某些拓?fù)涮匦钥赡軐?dǎo)致這些數(shù)據(jù)不能使用低維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來進(jìn)行線性分離（無論神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)深度如何）,。即使在技術(shù)可行的情況下，例如螺旋,，用低維神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)也非常難以實(shí)現(xiàn)分離,。為了對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行精確分類，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有時(shí)需要更寬的層,。此外,，傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層不適合操縱流形,；即使人工設(shè)置權(quán)重，也很難得到理想的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換表示形式,。新的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層或許能起到很好的輔助作用,，特別是從流形角度理解機(jī)器學(xué)習(xí)啟發(fā)得出的新神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)層。（原譯文：https://mp.weixin.qq.com/s/Ph2DADMGzi-HC4lIuU5Byw,；原文：http://colah./posts/2014-03-NN-Manifolds-Topology/）
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