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作者：Kevin Hartnett 量子雜志高級(jí)作家 2021-6-10 譯者：zzllrr小樂(lè) 2021-6-11 
全文7484字,，預(yù)計(jì)閱讀時(shí)間20分鐘,。立即關(guān)注zzllrr小樂(lè)公眾號(hào),，數(shù)學(xué)科普不迷路,。
在過(guò)去的一個(gè)世紀(jì)里,，量子場(chǎng)論（QFT）被證明是有史以來(lái)最廣泛和最成功的物理理論。它是一個(gè)涵蓋許多特定量子場(chǎng)論的總稱(chēng)——“形狀”涵蓋了正方形和圓形等特例,。這些理論中最突出的被稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)模型,，這種物理學(xué)框架取得了如此成功。
“它可以從根本上解釋我們做過(guò)的每一個(gè)實(shí)驗(yàn),，”劍橋大學(xué)的物理學(xué)家David Tong說(shuō),。但是量子場(chǎng)論（QFT）無(wú)疑是不完整的。物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家都不知道是什么使量子場(chǎng)論成為量子場(chǎng)論,。他們已經(jīng)瞥見(jiàn)了全貌,，但他們還不能弄明白。“有各種跡象表明可能有更好的方式來(lái)思考 QFT,，”高級(jí)研究所的物理學(xué)家Nathan Seiberg說(shuō),。“它給你的感覺(jué)是一種你可以從很多地方觸摸到的動(dòng)物,，但你并沒(méi)有完整看到它,。”數(shù)學(xué)這門(mén)語(yǔ)言,，需要內(nèi)部一致性和對(duì)每一個(gè)細(xì)節(jié)的關(guān)注，或許能使 QFT 變得完整,。如果數(shù)學(xué)能夠像描述完善的數(shù)學(xué)對(duì)象那樣嚴(yán)格地描述 QFT,，那么可能會(huì)出現(xiàn)更完整的物理世界圖景。“如果你真正理解量子場(chǎng)論中的一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法,，這將給我們解答許多開(kāi)放物理問(wèn)題,，甚至包括重力的量子化”，高級(jí)研究所長(zhǎng)Robbert Dijkgraaf說(shuō),。這也不是一條單行道,。幾千年來(lái)，物理世界一直是數(shù)學(xué)最偉大的繆斯女神,。古希臘人發(fā)明了三角學(xué)來(lái)研究恒星的運(yùn)動(dòng),。數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)變?yōu)橐婚T(mén)具有定義和規(guī)則的學(xué)科，學(xué)生們現(xiàn)在可以在不參考天體起源主題的情況下學(xué)習(xí)這些規(guī)則,。將近 2000 年后,，艾薩克·牛頓想要了解開(kāi)普勒的行星運(yùn)動(dòng)定律，并試圖找到一種嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃伎紵o(wú)窮小的方法,。這種沖動(dòng)（以及來(lái)自戈特弗里德·萊布尼茨的啟示）催生了微積分領(lǐng)域,，數(shù)學(xué)對(duì)此利用和改進(jìn)——沒(méi)有它就幾乎不可能有今天的數(shù)學(xué),。現(xiàn)在，數(shù)學(xué)家們想對(duì) QFT 做同樣的事情,，將物理學(xué)家為研究基本粒子而發(fā)展的思想,、對(duì)象和技術(shù)納入數(shù)學(xué)的主體。這意味著定義 QFT 的基本特征,，以便未來(lái)的數(shù)學(xué)家不必考慮理論最初出現(xiàn)的物理背景,。回報(bào)可能是巨大的：當(dāng)數(shù)學(xué)找到新的探索對(duì)象，以及刻畫(huà)了一些數(shù)字,、方程和形狀之間最重要的關(guān)系的新結(jié)構(gòu)時(shí),，它就會(huì)成長(zhǎng)。而這兩者QFT皆有提供,。“作為一種結(jié)構(gòu),，物理學(xué)本身非常深刻，而且通常是思考我們已經(jīng)感興趣的數(shù)學(xué)事物的更好方式,。這只是一種更好的組織方式,，”奧斯汀的德克薩斯州立大學(xué)數(shù)學(xué)家 David Ben-Zvi說(shuō)。至少在 40 年里,，QFT 一直吸引著數(shù)學(xué)家各種追求的想法,。近年來(lái)，他們終于開(kāi)始了解 QFT 本身的一些基本對(duì)象——將它們從粒子物理學(xué)世界中抽象出來(lái),，并將它們本身轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)對(duì)象,。然而，這項(xiàng)努力還為時(shí)尚早,。羅格斯大學(xué)的物理學(xué)家Greg Moore說(shuō)：“我們不知何時(shí)到達(dá),，然而我當(dāng)然希望看到的只是冰山一角?！?“如果數(shù)學(xué)家真的了解 [QFT],，那將導(dǎo)致數(shù)學(xué)的深刻進(jìn)步?！?/section>人們普遍認(rèn)為宇宙是由基本粒子構(gòu)成的：電子,、夸克、光子等,。但是物理學(xué)很久以前就超越了這種觀(guān)點(diǎn),。物理學(xué)家現(xiàn)在談?wù)摰牟皇橇Ｗ樱欠Q(chēng)為“量子場(chǎng)”的事物,，它是（編織）現(xiàn)實(shí)的真正經(jīng)緯線(xiàn),。這些場(chǎng)橫跨宇宙的時(shí)空。它們種類(lèi)繁多，像翻滾的海洋一樣波動(dòng),。隨著場(chǎng)的漣漪和相互作用,，粒子從中涌出，然后又消失在里面,，就像波浪的波峰一樣,。“粒子不是永遠(yuǎn)存在的物體，”Tong說(shuō),?！岸菆?chǎng)之間的舞蹈?！?/section>要理解量子場(chǎng),，最容易從一個(gè)普通的或經(jīng)典的場(chǎng)開(kāi)始。例如,，想象一下測(cè)量地球表面每個(gè)點(diǎn)的溫度,。將可以進(jìn)行這些測(cè)量的無(wú)限多點(diǎn)組合在一起形成一個(gè)幾何對(duì)象，稱(chēng)為場(chǎng),，它將所有這些溫度信息打包在一起,。 一般而言，只要你有一些可以在空間中以無(wú)限精細(xì)分辨率唯一測(cè)量的量,，就會(huì)出現(xiàn)場(chǎng),。加拿大滑鐵盧的Perimeter理論物理研究所的物理學(xué)家Davide Gaiotto說(shuō)：“你可以就每個(gè)時(shí)空點(diǎn)提出獨(dú)立的問(wèn)題，比如這里和那里的電場(chǎng)是什么,?！?/section>當(dāng)你在空間和時(shí)間的每個(gè)點(diǎn)觀(guān)察量子現(xiàn)象（例如電子的能量）時(shí)，就會(huì)產(chǎn)生量子場(chǎng),。但是量子場(chǎng)與經(jīng)典場(chǎng)有著根本的不同,。地球上某個(gè)點(diǎn)的溫度就是它的溫度，不管你是否測(cè)量它,，然而電子在你觀(guān)察到它們之前卻都沒(méi)有確定的位置。在此之前,，它們的位置只能通過(guò)概率來(lái)描述,，通過(guò)為量子場(chǎng)中的每個(gè)點(diǎn)分配值來(lái)捕捉你在那里與其他地方找到電子的可能性。在觀(guān)察之前,，電子基本上處處都不在,，并且處處都在。“物理學(xué)中的大多數(shù)事物不僅僅是物體,；而是存在于空間和時(shí)間的每一個(gè)點(diǎn)上的事物,。”Dijkgraaf 說(shuō)。量子場(chǎng)論附帶了一組稱(chēng)為相關(guān)函數(shù)的規(guī)則,，這些規(guī)則解釋了場(chǎng)中某個(gè)點(diǎn)的測(cè)量如何與另一點(diǎn)相關(guān),。每種量子場(chǎng)論都在特定數(shù)量的維度上描述物理學(xué)。二維量子場(chǎng)論通?？捎糜诿枋霾牧系男袨?，如絕緣體；六維量子場(chǎng)論與弦論特別相關(guān),；四維量子場(chǎng)論描述了我們實(shí)際四維宇宙中的物理學(xué),。標(biāo)準(zhǔn)模型就是其中之一；它是唯一最重要的量子場(chǎng)論,，因?yàn)樗钅苊枋鲇钪妗?/section>有 12 種已知的基本粒子構(gòu)成了宇宙,。每個(gè)都有自己獨(dú)特的量子場(chǎng)。標(biāo)準(zhǔn)模型為這 12 個(gè)粒子場(chǎng)添加了四種力場(chǎng),，代表四種基本力：重力,、電磁力、強(qiáng)核力和弱核力,。它將這 16 種場(chǎng)組合在一個(gè)方程中,，描述了它們?nèi)绾蜗嗷プ饔谩Ｍㄟ^(guò)這些相互作用,，基本粒子被理解為各自量子場(chǎng)的波動(dòng),，物理世界就出現(xiàn)在我們眼前。這聽(tīng)起來(lái)可能很奇怪,，但物理學(xué)家在 1930 年代意識(shí)到基于場(chǎng)而不是粒子的物理學(xué)解決了一些最緊迫的不一致性問(wèn)題,，比如因果關(guān)系問(wèn)題，粒子不會(huì)永遠(yuǎn)存在的事實(shí)等等,。它還解釋了在物理世界中看似不可能的一致性,。Tong說(shuō)：“宇宙中所有同類(lèi)型的粒子都是一樣的?！?“如果我們?nèi)ゴ笮蛷?qiáng)子對(duì)撞機(jī)并制造一個(gè)新鑄造的質(zhì)子,，它與已經(jīng)旅行了 100 億年的質(zhì)子完全相同。這值得作一些解釋,?！?QFT 就提供了解釋?zhuān)核匈|(zhì)子都只是同一底層的質(zhì)子場(chǎng)（或者，如果你可以更仔細(xì)地觀(guān)察,，底層的夸克場(chǎng)）中的波動(dòng),。但是 QFT 的解釋能力需要付出高昂的數(shù)學(xué)代價(jià)。“量子場(chǎng)論是迄今為止數(shù)學(xué)中最復(fù)雜的對(duì)象,，以至于數(shù)學(xué)家不知道如何理解它們,，”Tong說(shuō)。“量子場(chǎng)論是尚未被數(shù)學(xué)家發(fā)明的數(shù)學(xué),?！?/section>是什么讓數(shù)學(xué)家如此復(fù)雜？簡(jiǎn)言之,，無(wú)限,。當(dāng)你在一個(gè)點(diǎn)測(cè)量量子場(chǎng)時(shí)，結(jié)果不是坐標(biāo)和溫度等幾個(gè)數(shù)字,。而是一個(gè)矩陣,，即一個(gè)數(shù)字?jǐn)?shù)組。也不是任意矩陣——是一個(gè)很大的矩陣,，稱(chēng)為算子（operator）,，具有無(wú)限多的列和行。這反映了量子場(chǎng)怎樣包含從場(chǎng)中出現(xiàn)的粒子的所有可能性,。約克大學(xué)的Kasia Rejzner說(shuō)：“一個(gè)粒子可以有無(wú)數(shù)個(gè)位置,，這導(dǎo)致描述位置和動(dòng)量的度量的矩陣也必須是無(wú)限維的?！?/section>理論產(chǎn)生無(wú)窮大時(shí),，會(huì)產(chǎn)生物理相關(guān)性的質(zhì)疑，因?yàn)闊o(wú)窮大作為一個(gè)概念存在,，而不是任何實(shí)驗(yàn)可以測(cè)量的東西,。它還使理論難以在數(shù)學(xué)上使用。“我們不喜歡有一個(gè)說(shuō)明無(wú)窮大的框架,。這就是為什么你開(kāi)始意識(shí)到需要對(duì)正在發(fā)生的事情有更好的數(shù)學(xué)理解,，”阿姆斯特丹大學(xué)的物理學(xué)家Alejandra Castro說(shuō)。當(dāng)物理學(xué)家開(kāi)始思考兩個(gè)量子場(chǎng)如何相互作用時(shí),，無(wú)窮大的問(wèn)題變得更糟,，例如，當(dāng)在日內(nèi)瓦郊外的大型強(qiáng)子對(duì)撞機(jī)上模擬粒子碰撞時(shí),。在經(jīng)典力學(xué)中,，這種類(lèi)型的計(jì)算很容易：要模擬兩個(gè)臺(tái)球碰撞時(shí)會(huì)發(fā)生什么，只需使用指定每個(gè)球在碰撞點(diǎn)處的動(dòng)量的數(shù)字即可,。當(dāng)兩個(gè)量子場(chǎng)相互作用時(shí),，你想做類(lèi)似的事情：在時(shí)空中恰好相遇的點(diǎn)處，將一個(gè)場(chǎng)的無(wú)限維算子乘以另一個(gè)場(chǎng)的無(wú)限維算子,。但是這個(gè)計(jì)算——將兩個(gè)無(wú)限靠近的無(wú)限維對(duì)象相乘——是困難的,。“此乃事情變得非常糟糕所在,，”Rejzner 說(shuō),。物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家無(wú)法使用無(wú)窮大進(jìn)行計(jì)算，但他們已經(jīng)開(kāi)發(fā)出了變通方法——近似數(shù)量的方法來(lái)避免問(wèn)題。這些變通方法產(chǎn)生近似預(yù)測(cè),，這已經(jīng)足夠好了,，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)也不是無(wú)限精確的。“我們可以進(jìn)行實(shí)驗(yàn)并測(cè)量到小數(shù)點(diǎn)后 13 位,，他們同意所有 13 位小數(shù),。這是所有科學(xué)中最令人驚訝的事情，”Tong說(shuō),。一種解決方法是先想象你有一個(gè)沒(méi)有發(fā)生任何事情的量子場(chǎng),。在這種情況下——被稱(chēng)為“自由”理論，因?yàn)樗鼪](méi)有相互作用——你不必?fù)?dān)心乘以無(wú)限維矩陣,，因?yàn)闆](méi)有任何東西在運(yùn)動(dòng),，也沒(méi)有任何東西發(fā)生碰撞。這種情況很容易用完整的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)來(lái)描述,，盡管這種描述不值一提,。“這很無(wú)聊，因?yàn)槟忝枋隽艘粋€(gè)沒(méi)有任何互動(dòng)的孤獨(dú)場(chǎng),，所以這有點(diǎn)像學(xué)術(shù)練習(xí),，”Rejzner 說(shuō)。但是你可以讓它更有趣,。物理學(xué)家撥弄相互作用,，試圖保持對(duì)圖像的數(shù)學(xué)控制，因?yàn)樗麄兪瓜嗷プ饔酶鼜?qiáng),。這種方法稱(chēng)為微擾 QFT,，因?yàn)槟阍试S自由場(chǎng)中的微小變化或擾動(dòng)。你可以將微擾視角應(yīng)用于類(lèi)似于自由理論的量子場(chǎng)論,。它對(duì)于驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)也非常有用,。“你獲得了驚人的準(zhǔn)確性,，驚人的實(shí)驗(yàn)一致性,，”Rejzner 說(shuō)。但是,，如果你不斷增強(qiáng)相互作用,，微擾方法最終會(huì)過(guò)熱。它沒(méi)有產(chǎn)生接近真實(shí)物理宇宙的越來(lái)越準(zhǔn)確的計(jì)算,，而是變得越來(lái)越不準(zhǔn)確,。這表明，雖然微擾方法是實(shí)驗(yàn)的有用指引,，但最終它不是嘗試和描述宇宙的正確方法：它實(shí)際上很有用,，但在理論上卻很不穩(wěn)定,。Gaiotto 說(shuō)：“我們不知道如何把所有事情加起來(lái)，得到一些合理的東西,?！?/section>另一種近似方案試圖通過(guò)其他方式悄悄靠近成熟的量子場(chǎng)論。理論上,，量子場(chǎng)包含無(wú)限細(xì)粒度的信息,。為了構(gòu)建這些場(chǎng)，物理學(xué)家從網(wǎng)格或格柵開(kāi)始,，并將測(cè)量限制在格子線(xiàn)相互交叉的地方,。因此，你不能在任何地方測(cè)量量子場(chǎng),，而是只能在相距固定距離的選定位置進(jìn)行測(cè)量,。從那里，物理學(xué)家提高了格柵的分辨率,，將線(xiàn)拉得更近,，以形成越來(lái)越精細(xì)的編織。隨著它變緊,，你可以進(jìn)行測(cè)量的點(diǎn)數(shù)量會(huì)增加,，接近理想化的概念，即你可以在任何地方進(jìn)行測(cè)量,。“點(diǎn)之間的距離變得非常小,，這樣的東西就變成了一個(gè)連續(xù)的場(chǎng)，”Seiberg說(shuō),。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō),，他們說(shuō)連續(xù)量子場(chǎng)是緊縮格柵的極限。數(shù)學(xué)家習(xí)慣于處理極限,，并且知道如何確定某些極限確實(shí)存在,。例如，他們證明了無(wú)限序列 1/2 + 1/4 +1/8 + 1/16 + ... = 1. 物理學(xué)家想證明量子場(chǎng)是這個(gè)格化過(guò)程的極限,。只是不知道如何做,。“目前還不清楚如何達(dá)到這個(gè)極限以及它在數(shù)學(xué)上的意義，”Moore說(shuō),。物理學(xué)家并不懷疑緊縮格柵正在朝著量子場(chǎng)的理想化概念發(fā)展,。QFT 的預(yù)測(cè)與實(shí)驗(yàn)結(jié)果之間的密切擬合強(qiáng)烈表明情況確實(shí)如此。“毫無(wú)疑問(wèn),，所有這些極限都確實(shí)存在,，因?yàn)榱孔訄?chǎng)論的成功確實(shí)令人驚嘆，”Seiberg說(shuō),。但是有強(qiáng)有力的證據(jù)表明某件事是正確的,，與最終證明它是正確的,，是兩件不同的事情。這是某種程度上的不精確性,，與 QFT 想要取代的其他偉大的物理理論不一致。艾薩克·牛頓的運(yùn)動(dòng)定律,、量子力學(xué),、阿爾伯特·愛(ài)因斯坦的狹義和廣義相對(duì)論——它們都只是 QFT 想要講述的更大故事的一部分，但與 QFT 不同的是,，它們都可以用精確的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)寫(xiě)下來(lái),。“量子場(chǎng)論作為一種幾乎通用的物理現(xiàn)象語(yǔ)言出現(xiàn)，但它的數(shù)學(xué)形式很糟糕,，”Dijkgraaf 說(shuō),。對(duì)于一些物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，這是暫停的原因,。“如果整個(gè)房子的人都依賴(lài)于這個(gè)本身無(wú)法以數(shù)學(xué)方式理解的核心概念,，那么你憑啥如此自信認(rèn)為它能描述世界？這加劇了整個(gè)問(wèn)題,，”Dijkgraaf 說(shuō),。即使在這種不完整的狀態(tài)下，QFT 也促成了許多重要的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),。相互作用的一般模式是,，使用 QFT 的物理學(xué)家偶然發(fā)現(xiàn)了令人驚訝的計(jì)算，然后數(shù)學(xué)家試圖解釋這些計(jì)算,。“這是一臺(tái)產(chǎn)生創(chuàng)意的機(jī)器,，”Tong 說(shuō)。在基本層面上,，物理現(xiàn)象與幾何有著密切的關(guān)系,。舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，如果你讓一個(gè)球在光滑的表面上運(yùn)動(dòng),，它的軌跡將指明任意兩點(diǎn)之間的最短路徑,，這個(gè)屬性被稱(chēng)為測(cè)地線(xiàn)。通過(guò)這種方式,，物理現(xiàn)象可以檢測(cè)形狀的幾何特征,。現(xiàn)在用電子代替臺(tái)球。電子概率性地存在于一個(gè)表面的任何地方,。通過(guò)研究捕獲這些概率的量子場(chǎng),，你可以了解該表面（或流形，用數(shù)學(xué)家的術(shù)語(yǔ)）的整體性質(zhì),，例如它有多少個(gè)孔,。這是幾何學(xué)和拓?fù)鋵W(xué)相關(guān)領(lǐng)域的數(shù)學(xué)家想要回答的一個(gè)基本問(wèn)題,。“一個(gè)即使坐在那里，什么都不做的粒子,，也會(huì)開(kāi)始知道流形的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),，”Tong說(shuō)。1970 年代后期,，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家開(kāi)始應(yīng)用這種觀(guān)點(diǎn)來(lái)解決幾何中的基本問(wèn)題,。到 1990 年代初，Seiberg 和他的合作者Edward Witten（愛(ài)德華·威滕）想出了如何使用它來(lái)創(chuàng)建一種新的數(shù)學(xué)工具——現(xiàn)在稱(chēng)為 Seiberg-Witten 不變量——將量子現(xiàn)象變成一個(gè)形狀的純數(shù)學(xué)特征的指數(shù)：計(jì)算量子粒子某種方式行為的次數(shù),，而你已經(jīng)有效地計(jì)算了形狀中的孔數(shù),。牛津大學(xué)數(shù)學(xué)家 Graeme Segal說(shuō)：“威滕表明，量子場(chǎng)論對(duì)幾何問(wèn)題給出了完全出乎意料但又完全準(zhǔn)確的見(jiàn)解,，使棘手的問(wèn)題變得可以解決,。”這種交流的另一個(gè)例子也發(fā)生在 1990 年代初期,，當(dāng)時(shí)物理學(xué)家正在進(jìn)行與弦理論相關(guān)的計(jì)算,。他們根據(jù)根本不同的數(shù)學(xué)規(guī)則在兩個(gè)不同的幾何空間中執(zhí)行它們，并不斷產(chǎn)生相互精確匹配的長(zhǎng)組數(shù)字,。數(shù)學(xué)家們繼續(xù)發(fā)力,，將其詳細(xì)闡述為一個(gè)全新的研究領(lǐng)域，稱(chēng)為鏡像對(duì)稱(chēng),，研究并發(fā)性以及許多其他類(lèi)似性質(zhì),。Ben-Zvi 說(shuō)：“物理學(xué)會(huì)提出這些驚人的預(yù)測(cè)，數(shù)學(xué)家會(huì)嘗試用自己的方法來(lái)證明它們,?！?“這些預(yù)測(cè)既奇怪又精彩，結(jié)果證明它們幾乎總是正確的,?！?/section>但是，盡管 QFT 成功地為數(shù)學(xué)提供了線(xiàn)索,，但其核心思想仍然幾乎完全存在于數(shù)學(xué)之外,。量子場(chǎng)論并不是數(shù)學(xué)家能夠很好地理解以使用他們可以使用多項(xiàng)式、群,、流形和其他學(xué)科支柱（其中許多也起源于物理學(xué)）的方式的對(duì)象,。對(duì)于物理學(xué)家來(lái)說(shuō)，與數(shù)學(xué)的這種疏遠(yuǎn)關(guān)系表明他們需要了解更多關(guān)于他們誕生的理論,?！斑^(guò)去幾個(gè)世紀(jì)以來(lái)物理學(xué)中使用的所有其他想法在數(shù)學(xué)中都有其自然的地位，”Seiberg說(shuō),?！斑@顯然不是量子場(chǎng)論的情況,。”而對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō),，似乎 QFT 和數(shù)學(xué)之間的關(guān)系應(yīng)該比偶爾的互動(dòng)更深入,。這是因?yàn)榱孔訄?chǎng)論包含許多對(duì)稱(chēng)性或基本結(jié)構(gòu)，它們決定了場(chǎng)不同部分中的點(diǎn)如何相互關(guān)聯(lián),。這些對(duì)稱(chēng)性具有物理意義——它們體現(xiàn)了正如量子場(chǎng)隨時(shí)間演變,，能量等物理量是如何守恒的。而它們本身也是數(shù)學(xué)上有趣的對(duì)象,。“數(shù)學(xué)家可能關(guān)心某種對(duì)稱(chēng)性，我們可以把它放在物理環(huán)境中,。它在這兩個(gè)領(lǐng)域之間建立了這座美麗的橋梁,，”Castro說(shuō)。數(shù)學(xué)家已經(jīng)使用對(duì)稱(chēng)性和幾何的其他方面來(lái)研究從不同類(lèi)型方程的解到素?cái)?shù)分布的所有內(nèi)容,。通常,，幾何對(duì)有關(guān)數(shù)字的問(wèn)題的答案進(jìn)行編碼。QFT 為數(shù)學(xué)家們提供了一種豐富的新型幾何對(duì)象——如果他們能直接用到它,，他們將能做出許多無(wú)法預(yù)知的事,。“在某種程度上，我們?cè)谕?QFT,，”德克薩斯大學(xué)奧斯汀分校的數(shù)學(xué)家Dan Freed說(shuō),。“我們一直在使用 QFT 作為外部刺激,，但如果它是內(nèi)部刺激就好了,。”數(shù)學(xué)不會(huì)輕易接受新科目,。許多基本概念都經(jīng)過(guò)了長(zhǎng)期的試驗(yàn),，然后才在該領(lǐng)域找到了合適的、規(guī)范的位置,。譬如,，實(shí)數(shù) - 數(shù)軸上的所有無(wú)限多個(gè)刻度標(biāo)志。數(shù)學(xué)需要近 2000 年的實(shí)踐才能就定義它們的方式達(dá)成一致,。最后,，在 1850 年代，數(shù)學(xué)家確定了一個(gè)精確的三詞陳述,，將實(shí)數(shù)描述為“完備有序域”,。它們是完備的，因?yàn)樗鼈儾话g隙,；它們是有序的,，因?yàn)榭傆幸环N方法可以確定一個(gè)實(shí)數(shù)是否大于或小于另一個(gè)實(shí)數(shù),，并且它們形成了一個(gè)“域”，對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō),，這意味著它們遵循算術(shù)規(guī)則,。Freed說(shuō)：“這三個(gè)詞在歷史上是被強(qiáng)烈爭(zhēng)論的?！?/section>為了將 QFT 變成一種內(nèi)部刺激——一種他們可以用于自己目的的工具——數(shù)學(xué)家們希望對(duì) QFT 進(jìn)行與他們對(duì)實(shí)數(shù)相同的處理：任何特定量子場(chǎng)論都需要滿(mǎn)足一個(gè)清晰的特征列表,。許多將 QFT 部分翻譯成數(shù)學(xué)的工作來(lái)自Perimeter研究所的一位名叫Kevin Costello的數(shù)學(xué)家。2016 年,，他與他人合著了一本教科書(shū),，將微擾 QFT 置于牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，包括對(duì)隨著交互次數(shù)增加而出現(xiàn)的無(wú)限量形式化處理,。這項(xiàng)工作是在 2000 年代早期的一項(xiàng)名為代數(shù)量子場(chǎng)論的工作之后進(jìn)行的,，該工作尋求類(lèi)似的目標(biāo)，Rejzner在 2016 年的一本書(shū)中對(duì)其進(jìn)行了評(píng)論,。所以現(xiàn)在,，雖然微擾 QFT 仍然不能真正描述宇宙，但數(shù)學(xué)家知道如何處理它產(chǎn)生的物理上無(wú)意義的無(wú)窮大,。“他的貢獻(xiàn)非常巧妙和有見(jiàn)地,。他將 [微擾] 理論置于一個(gè)適用于嚴(yán)格數(shù)學(xué)的良好的新框架中，”Moore說(shuō),。Costello 解釋說(shuō),，他寫(xiě)這本書(shū)是為了讓微擾量子場(chǎng)論更加自洽?！拔抑皇前l(fā)現(xiàn)某些物理學(xué)家的方法沒(méi)有動(dòng)機(jī)和針對(duì)性,。我想要數(shù)學(xué)家可以使用的更獨(dú)立的東西，”他說(shuō),。通過(guò)準(zhǔn)確說(shuō)明微擾理論的工作原理,，Costello創(chuàng)造了一個(gè)基礎(chǔ)，物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家可以在此基礎(chǔ)上構(gòu)建滿(mǎn)足其微擾方法要求的新型量子場(chǎng)論,。它很快被該領(lǐng)域的其他人所接受,。“當(dāng)然有很多年輕人在這個(gè)框架下工作。[他的書(shū)]產(chǎn)生了影響,，”Freed說(shuō),。Costello還一直致力于定義量子場(chǎng)論是什么。在精簡(jiǎn)的形式中,，量子場(chǎng)論需要一個(gè)幾何空間,，你可以在其中對(duì)每個(gè)點(diǎn)進(jìn)行觀(guān)察，并結(jié)合相關(guān)函數(shù)來(lái)表達(dá)不同點(diǎn)的觀(guān)察結(jié)果如何相互關(guān)聯(lián)。Costello 的工作描述了一組相關(guān)函數(shù)需要具有的屬性,，以便作為量子場(chǎng)論的可行基礎(chǔ),。最熟悉的量子場(chǎng)論，如標(biāo)準(zhǔn)模型,，包含可能并非在所有量子場(chǎng)論中都存在的附加特征,。缺乏這些特征的量子場(chǎng)論可能描述了其他尚未發(fā)現(xiàn)的特性，這些特性可以幫助物理學(xué)家解釋標(biāo)準(zhǔn)模型無(wú)法解釋的物理現(xiàn)象,。如果你對(duì)量子場(chǎng)論的想法過(guò)于接近我們已經(jīng)知道的版本,，你甚至很難想象其他必要的可能性。“有一個(gè)很大的燈桿,，你可以在它下面找到場(chǎng)理論（比如標(biāo)準(zhǔn)模型）,，它周?chē)瞧岷谝黄孔訄?chǎng)論），我們不知道如何定義,，但我們知道它們就在那里,，”Gaiotto說(shuō)。Costello用他對(duì)量子場(chǎng)的定義照亮了一些黑暗的空間,。從這些定義中,，他發(fā)現(xiàn)了兩個(gè)令人驚訝的 新量子場(chǎng)論,。兩者都沒(méi)有描述我們的四維宇宙,，但它們確實(shí)滿(mǎn)足了配備相關(guān)函數(shù)的幾何空間的核心需求。他們純粹思考的發(fā)現(xiàn)非常類(lèi)似于你可能會(huì)發(fā)現(xiàn)的物理世界中存在的第一個(gè)形狀,，但是一旦你對(duì)形狀有了一般定義,，你就可以思考與物理無(wú)關(guān)的例子。如果數(shù)學(xué)可以確定量子場(chǎng)論的全部可能性空間——滿(mǎn)足涉及相關(guān)函數(shù)的一般定義的所有不同可能性——物理學(xué)家可以使用它來(lái)找到解釋他們最關(guān)心的重要物理問(wèn)題的特定理論的方法,。“我想知道所有 QFT 的空間,，因?yàn)槲蚁胫懒孔右κ鞘裁矗盋astro說(shuō),。有很長(zhǎng)的路要走,。到目前為止，所有用完整數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)描述的量子場(chǎng)論都依賴(lài)于各種簡(jiǎn)化,，這使得它們?cè)跀?shù)學(xué)上更容易使用,。幾十年前，簡(jiǎn)化問(wèn)題的一種方法是研究更簡(jiǎn)單的二維 QFT,，而不是四維 QFT,。法國(guó)的一個(gè)團(tuán)隊(duì)最近確定了一個(gè)著名的二維 QFT 的所有數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)。其他簡(jiǎn)化會(huì)假設(shè)量子場(chǎng)以與物理現(xiàn)實(shí)不匹配的方式對(duì)稱(chēng),，但這使它們從數(shù)學(xué)角度更易于處理,。這些包括“超對(duì)稱(chēng)”和“拓?fù)洹盦FT。下一個(gè)更困難的步驟將是去除拐杖并提供更適合物理學(xué)家最想描述的物理世界的量子場(chǎng)論的數(shù)學(xué)描述：四維連續(xù)宇宙，其中所有相互作用都是可能立刻發(fā)生,。“這是（一件）非常尷尬的事情,，我們沒(méi)有一個(gè)單一的量子場(chǎng)論，使我們可以在四個(gè)維度上無(wú)擾動(dòng)地描述,，”Rejzner 說(shuō),。“這是一個(gè)難題,，顯然需要一兩代以上的數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家來(lái)解決,?！?/section>但這并不能阻止數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家貪婪地盯著它,。對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，QFT 是他們所希望的豐富的對(duì)象類(lèi)型,。定義所有量子場(chǎng)論共有的特性幾乎肯定需要合并數(shù)學(xué)的兩個(gè)支柱：分析,，它解釋了如何控制無(wú)窮大；幾何,，它提供了一種談?wù)搶?duì)稱(chēng)性的語(yǔ)言,。“就數(shù)學(xué)本身而言，這是一個(gè)引人入勝的問(wèn)題,，因?yàn)樗Y(jié)合了兩個(gè)偉大的想法,，”Dijkgraaf 說(shuō)。如果數(shù)學(xué)家能夠理解 QFT,，那么就無(wú)法知道在解鎖過(guò)程中會(huì)等來(lái)什么數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn),。數(shù)學(xué)家很久以前就定義了其他對(duì)象的特征屬性，如流形和群,，而這些對(duì)象現(xiàn)在幾乎滲透到數(shù)學(xué)的每個(gè)角落,。當(dāng)它們第一次被定義時(shí)，不可能預(yù)料到它們的所有數(shù)學(xué)后果,。QFT 對(duì)數(shù)學(xué)至少有同樣的希望,。“我喜歡說(shuō)物理學(xué)家不一定知道一切,，但物理學(xué)知道,，”Ben-Zvi說(shuō),?！叭绻銌?wèn)對(duì)了問(wèn)題,，它已經(jīng)有了數(shù)學(xué)家正在尋找的現(xiàn)象,。”對(duì)于物理學(xué)家來(lái)說(shuō),，對(duì) QFT 的完整數(shù)學(xué)描述是他們領(lǐng)域首要目標(biāo)的另一面：對(duì)物理現(xiàn)實(shí)的完整描述,。“我覺(jué)得有一個(gè)知識(shí)結(jié)構(gòu)涵蓋了所有這些,，也許它會(huì)涵蓋所有物理學(xué),，”Seiberg說(shuō)。現(xiàn)在數(shù)學(xué)家只需要揭開(kāi)它,。
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