作者：Patrick Honner專欄作家 2021-3-15 譯者：zzllrr小樂 2021-3-21

蒙娜麗莎的微笑,，Mary Lou Retton（美國女運動員,，1984年收獲5項奧林匹克獎牌，譯者注）的跳高,，瑪麗亞·凱莉（Mariah Carey）的音高,，都堪稱完美。而數(shù)字6和28也是如此,。

所謂“情人眼里出西施”,，觀者通過藝術(shù)性和運動天賦看出完美。而數(shù)字的完美是通過數(shù)學(xué)定義的,?！巴昝罃?shù)”等于其所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和。例如,，6 = 3 + 2 + 1,，以及28 = 14 + 7 + 4 + 2 +1。這些數(shù)學(xué)上的奇珍異寶,，就像做一個扭轉(zhuǎn)后空翻,，也像使盧浮宮墻壁生輝的珍品，確實給人提供了不可抗拒的東西：一個完美的神秘物,。

歐幾里德（Euclid）在2000年前提出了完美數(shù)的基礎(chǔ),，他知道前四個完美數(shù)是6、28,、496和8128,。從那時起，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了更多的完美數(shù),。但奇怪的是,，它們都是偶數(shù)。經(jīng)過數(shù)千年的不成功的搜索,，沒有人能夠找到奇數(shù)完美數(shù),，人們可能會得出結(jié)論，認(rèn)為奇完美數(shù)不存在,。但是數(shù)學(xué)家還無法證明這一點,。我們怎么能知道那么多偶完美數(shù)而又無法回答關(guān)于奇完美數(shù)的最簡單的問題呢？現(xiàn)代數(shù)學(xué)家如何嘗試解決這個古老的問題呢,？

我們對數(shù)學(xué)完美性的探索始于因數(shù),。我們知道6是12的因數(shù)，因為12÷6=2,，并且我們知道25是100的因數(shù),，因為100÷25=4。正如我們所說,，一個等于其真因數(shù)之和的數(shù)是完美的（那些因數(shù)都小于該數(shù)字本身）,。我們還可以將完美數(shù)定義為因數(shù)（真或不真）和等于它兩倍的數(shù)。這是因為一個數(shù)字的唯一不真的因數(shù)就是這個數(shù)字本身,。我們看到28依此定義仍然是完美的：它的真因數(shù)為1,、2、4,、7和14,，不真的因數(shù)為28，所有因數(shù)之和為1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 =56,，即2×28,。求和時包含不真因數(shù)，便于我們進(jìn)行完美數(shù)的某些代數(shù)操作,，接下來會介紹,。

當(dāng)使用整數(shù)進(jìn)行運算時，我們最終會說“數(shù)字的因數(shù)之和”,，因此數(shù)學(xué)家通過將其轉(zhuǎn)化為函數(shù)使事情變得更容易,。我們將σ（n）或“ n的sigma”定義為n的因數(shù)之和。我們已經(jīng)知道 σ（28）=56,。另外一些示例：σ（1）= 1,，σ（6）= 1 + 2 + 3 + 6 = 12，并且σ（10）= 1 + 2 + 5 + 10 =18,。請注意6是一個完美數(shù),，因為σ（6）= 2×6，但1和10不是,。如我們所見,，此σ函數(shù)具有一些特殊的屬性,，非常適合用來研究完美數(shù)。

因此,，我們有了完美數(shù)的基本定義,，并且有了一個新的數(shù)學(xué)工具來幫助我們找到它們。我們應(yīng)該從哪里開始尋找,？我們將從數(shù)學(xué)家在研究數(shù)字及其模式時總是從那里開始的地方開始：素數(shù)（也叫質(zhì)數(shù)）,。

根據(jù)定義，質(zhì)數(shù)只能被其自身和1整除,。這使得計算質(zhì)數(shù)的σ非常容易：σ（2）= 1 + 2 = 3,，σ（3）= 1 + 3 = 4，σ（ 5）= 1 + 5 = 6,，并且σ（7）= 1 + 7 =8,。一般地，對于任何質(zhì)數(shù)p,，有σ（p）= 1 + p,。

質(zhì)數(shù)可以是完美數(shù)嗎？當(dāng)且僅當(dāng)σ（p）= 1 + p = 2p時,。一點點代數(shù)告訴我們,，只要p = 1，這都是正確的,，但是由于質(zhì)數(shù)在定義上大于1,，所以沒有質(zhì)數(shù)是完美的。因此,，我們知道素數(shù)不可能是完美的,。我們下一步應(yīng)該去哪里看？

質(zhì)數(shù)的冪（如2?,、53或113?之類的數(shù)字）是下一步的不錯選擇,，因為它們的因數(shù)易于組織?？紤]一個像16即2?這樣的素數(shù)冪,。2?的因數(shù)是2的冪直到2?：2? = 1、21 = 2,、22 = 4,、23 = 8、2? =16,。因此σ（2? ）可以 計算如下：

σ(2?) = 1 + 2 + 22  + 23 + 2? = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31

這是可以推廣的,。對于任何素數(shù)冪p?

σ(p?) = 1 + p + p2 + p3 + ? + p?

如果我們使用代數(shù)類的公式，這將變得更加容易。注意,，在σ（p?）中相加的每個項是前一項的p倍,。這使它成為所謂的幾何級數(shù)，并且對于幾何級數(shù)的總和有一個很好的公式：

多虧了幾何級數(shù)公式,，我們不必列出p?的所有因數(shù)即可計算σ（p?）,。我們可以使用以下公式：

例如，我們已經(jīng)看到

我們可以計算其他素數(shù)冪的因數(shù)和,，只需將它們插入公式即可：

請注意,，這些素數(shù)均不滿足完美條件：σ（2?）≠2×2?,，σ（33）≠2×33和σ（112）≠2×112,。實際上，沒有素數(shù)可以滿足 完美的,。為了得到一個完美數(shù),，我們需要σ（p?）= 2p?，這意味著：

1 + p + p2 + p3 + ? + p??1+ p?=2p?

我們可以從等式兩邊減去p?來得出：

1 + p + p2 + p3 + ? + p??1 = p?

現(xiàn)在,，我們在此等式的左側(cè)使用幾何級數(shù)公式,，得到

為了使p?完美，我們需要滿足這一點,。但是請注意,，p? – 1小于p?，并且將p? – 1除以p – 1會使其更小,，因此

因此,，沒有任何素數(shù)冪p?是完美的。

所以沒有完美的素數(shù),，也沒有完美的素數(shù)冪,。有什么可以完美的？好吧,，我們知道28是完美的,，它是兩個不同的素數(shù)冪的乘積：28 = 22 × 7

任何不是素數(shù)或素數(shù)冪的數(shù)字都可以寫成這樣的不同素數(shù)冪的乘積。這些因數(shù)分解以及σ函數(shù)的一個特殊性質(zhì)可以幫助我們確定一個數(shù)是否是完美的,。

我們已經(jīng)知道 σ（28）= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28,，但是讓我們仔細(xì)看一下這個總和。請注意,，后三個數(shù)字中的每個數(shù)字都是7的倍數(shù)：

σ（28）

= 1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28

= 1 + 2 + 4 + 7×1 + 7×2+ 7×4

我們可以將這7分解出來,，以揭示一些隱藏的結(jié)構(gòu)：

σ(28) = (1 + 2 + 4) + 7 × (1 + 2 + 4)

通過分配率進(jìn)行更聰明的分解，我們可以寫成

σ(28) = (1 + 2 + 4)(1 + 7)

這并沒有告訴我們我們所不知道的任何事情：σ（28）=(1 + 2 + 4)(1 + 7)= 7×8 = 56,，這證實了28是完美的,。但是乘法里面隱藏著一些重要的東西：

σ(28)

=(1+2+4)(1+7)

=(1+21+22)(1+71)

括號中的這些表達(dá)式看起來很熟悉：1 + 21 + 22 =σ（22），而1 + 71 =σ（7）。這意味著我們實際上可以寫成

σ(28) = σ(22)σ(7)

要計算σ（28）=σ（22×7）,，我們可以實際計算σ（22）和σ（7）并將它們相乘,。令人驚訝的是，總的來說,，這是對的：每當(dāng)你將數(shù)字分解為質(zhì)數(shù)時,，都可以使用此快捷方式來計算σ。例如,，因為100 = 22×52,，我們可以像這樣計算σ（100）：

σ(100) = σ(22)σ(52) = (1 + 2 + 4)(1 + 5 + 25) = 7 × 31 = 217

這比列出100的所有9個因數(shù)并將它們加起來要容易一些。

為什么這樣做,？好吧,，一個數(shù)的因數(shù)都來自其素因子。再次考慮28,，它是22和7的乘積,，并考慮下面的乘法表：

沿著頂部的是2的冪，可以整除28,，而下面的是7的冪,，可以整除28。請注意當(dāng)我們填寫此乘法表時會發(fā)生什么,。

我們得到28的所有因數(shù),。這是因為28的每個因數(shù)都是22和7（28的因數(shù)分解中出現(xiàn)的素數(shù)冪）的因數(shù)的組合。

現(xiàn)在將乘法表與表達(dá)式(1 + 2 + 4)(1 + 7)進(jìn)行比較,。

當(dāng)我們使用分配律將其相乘時,，這也將產(chǎn)生28的所有因數(shù)，然后將它們相加：

(1 + 2 + 4)(1 + 7) = 1 × 1 + 2 × 1 + 4 × 1 + 7 × 1 + 7 × 2 + 7 × 4

換句話說,，(1 + 2 + 4)(1 + 7)恰好是σ（28）,。但是(1 + 2 + 4)(1 + 7)也是σ（22）σ（7）。所以σ（22）σ（7）=σ（28）,。此示例說明了有關(guān)σ的一個非常有用的事實：在數(shù)論語言中,，此函數(shù)是積性的（“可乘的”）。這意味著每當(dāng)數(shù)字a和b為“相對素數(shù)”（沒有共同的素因數(shù)）時,，σ（ab）=σ（a）σ（b）,。

這是σ的特性，非常適合幫助我們研究完美數(shù),。歐幾里得（Euclid）在2000年前就利用這一事實,，借用一類特殊的質(zhì)數(shù)以及一個關(guān)于乘積和因數(shù)的巧妙論證，創(chuàng)建了一個求完美數(shù)的公式,。為此,，他邁出了第一步，即確定每個偶完美數(shù)都是什么樣子。讓我們看看他是如何做到的,。

首先,，請注意，對于2的任何冪,，我們有

這是我們前面討論的幾何級數(shù)公式的結(jié)果?，F(xiàn)在考慮以下思想實驗：如果2??1 – 1是素數(shù)怎么辦？

好吧,，由于任何素數(shù)有σ（p）= 1 + p,，我們知道σ（2??1  – 1）= 1 + 2??1  – 1 = 2??1 。并注意2??1 正好是2?的兩倍,，因為指數(shù)定律說2×2?= 2??1 ,。因此，在數(shù)字2?和2??1 – 1之間有以下兩個有趣的關(guān)系：

σ(2?) = 2??1  – 1

以及

σ(2??1– 1) = 2??1 = 2 × 2?

歐幾里得注意到了一種巧妙的方式來利用這些關(guān)系：他將兩個數(shù)字放在一起,，使數(shù)字M = 2? ×（2??1-1）,，并且只要（2??1-1）是質(zhì)數(shù),，這個數(shù)字就是完美的 ,！要看到這一點，我們將計算σ（M）并表明它等于2M,。

首先,，請注意2??1 – 1比偶數(shù)小1，因此它必須是奇數(shù),。這意味著2??1 – 1不能被2整除,，但是2?只能被2的冪整除。因此2?和2??1 – 1沒有公因數(shù),，因此是相對質(zhì)數(shù),。這使我們可以使用σ的乘法性質(zhì)：

σ(M)=σ(2? × (2??1– 1))=σ(2?) σ(2??1– 1)

我們已經(jīng)知道σ（2?）= 2??1 – 1和σ（2??1 – 1）= 2??1 = 2×2?，所以我們可以找到σ（M）：

因此,，M = 2?×（2??1-1）是完美的,。

請記住，這取決于數(shù)字2??1 – 1為質(zhì)數(shù)的假設(shè),。這些數(shù)字稱為梅森素數(shù)（Mersenne primes）,，你可能聽說過它們的原因是GIMPS，這是一種協(xié)作式在線計算工作,，用于查找巨大的梅森素數(shù),。每當(dāng)你聽到關(guān)于發(fā)現(xiàn)新的最大質(zhì)數(shù)的消息時，可能就是GIMPS的結(jié)果,。而且,，借助歐幾里得的證明，每當(dāng)發(fā)現(xiàn)新的梅森素數(shù)時，也會發(fā)現(xiàn)新的完美數(shù),。

例如,，2? – 1 = 31是梅森素數(shù)，因此2?（2?-1）= 16×31 = 496是一個完美數(shù),。另外,，22 – 1 = 3是梅森素數(shù)，因此21（22 – 1）= 2×3 = 6是完美的,。23 – 1 = 7是梅森素數(shù),，因此22（23 – 1）= 4×7 = 28是完美的。

你可能已經(jīng)注意到,，所有這些完美數(shù)都是偶數(shù),。這是有道理的，因為只要k> 0,，則數(shù)字2?×（2??1– 1）將是偶數(shù),。（如果k = 0，則2??1 – 1為1,，這不是素數(shù),。）

你可能還注意到，到目前為止,，我們討論的所有完美數(shù)似乎都包含梅森素數(shù),。這絕非巧合：歐幾里得證明該公式產(chǎn)生完美數(shù)，2000年以后,，萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）證明了這是獲得完美數(shù)的唯一方法,。但是關(guān)于奇數(shù)完美數(shù)可能是什么樣子的問題（如果存在）的問題仍然懸而未決。

這個問題今天仍然開放,。盡管找不到一個,，但是數(shù)學(xué)家掌握了許多有關(guān)假設(shè)的奇完美數(shù)的信息。不能被105整除,。它必須至少具有9個不同的素因數(shù),，其中第二大素因數(shù)必須大于10,000。如果除以12,，則余數(shù)必須為1,；如果除以36，則余數(shù)必須為9,。

證明關(guān)于甚至可能不存在的數(shù)字的結(jié)果似乎很奇怪,。但是，每條新規(guī)則都會進(jìn)一步縮小搜索范圍,。而且,，如果幸運的話,，數(shù)學(xué)家可能只證明出奇數(shù)完美數(shù)必須滿足兩個不相容的標(biāo)準(zhǔn)，這將一勞永逸地證明不存在奇數(shù)完美數(shù),。

在尋找不相容的標(biāo)準(zhǔn)時,，數(shù)學(xué)家甚至開始尋找不太完美的數(shù)字。如果你假認(rèn)為其非素數(shù)因數(shù)之一實際上是素數(shù),，那么“仿完美數(shù)”就是看起來很完美的數(shù)字,。例如，可以將3,、4和5的乘積60視為“仿完美”：如果你假認(rèn)為它因數(shù)分解中的4是質(zhì)數(shù),，那么我們?yōu)棣议_發(fā)的捷徑將告訴我們

(1+3)(1+4)(1+5) = 4 × 5 × 6 = 120

如果σ（60）等于120，那么60將是完美的,。當(dāng)然,，σ（60）實際上并不等于120，但是如果我們假裝4是素數(shù),，它看起來就好像是120,。這就是所謂的“仿完美”。

這些仿造就像是對完美數(shù)的推廣,，因此,，關(guān)于仿完美數(shù)的所有成立結(jié)論也必須對完美數(shù)也正確。了解奇數(shù)仿完美數(shù)將特別有用,，因為可以將針對奇數(shù)仿完美數(shù)發(fā)現(xiàn)的任何規(guī)則添加到奇數(shù)完美數(shù)的現(xiàn)有規(guī)則中,，從而增加查找矛盾準(zhǔn)則的機(jī)會,，并縮小總體搜索空間,。

雷內(nèi)·笛卡爾（René Descartes），又是一位被完美數(shù)之謎深深吸引的著名數(shù)學(xué)家,，發(fā)現(xiàn)了第一個奇數(shù)仿完美數(shù),，并向數(shù)學(xué)家發(fā)起挑戰(zhàn)，要求其他數(shù)學(xué)家找到另外的,。在應(yīng)對這一挑戰(zhàn)時,，數(shù)學(xué)家擴(kuò)大了仿完美數(shù)的概念，并發(fā)現(xiàn)了一類新的數(shù)字需要研究,。在大多數(shù)情況下,，僅出于數(shù)學(xué)探索的樂趣而對這些仿完美數(shù)進(jìn)行了研究。但是,，也許我們從仿完美數(shù)中學(xué)到的東西可以幫助我們證明實際的奇數(shù)完美數(shù)是不存在的,，或者可以讓我們找到一個。

花數(shù)千年的時間尋找具有奇特性質(zhì)的數(shù)字,，證明關(guān)于甚至不存在的事物的定理,，并發(fā)明新的甚至更陌生的數(shù)字世界來探索,，這似乎很奇怪。但是對于數(shù)學(xué)家來說,，這是完全合理的,。