數(shù)學(xué)欣賞與發(fā)現(xiàn)

于國海 編著

第一章 厚重悠遠的文化積淀

第一節(jié) 從根號2的產(chǎn)生到理發(fā)師悖論

一、根號2的產(chǎn)生——第一次數(shù)學(xué)危機

十大“美麗定理”：根號2是無理數(shù)這一定理名列第七,，緊隨其后的是“Π為超越數(shù)”、四色定理,、大數(shù)學(xué)家費馬的一個結(jié)論

畢達哥拉斯（約公元前580-前500年）

古希臘幾何學(xué)家歐幾里得證明了根號2是無理數(shù)

畢大哥拉斯：是“哲學(xué)”與“數(shù)學(xué)”的首創(chuàng)者,，前者意為“智力愛好”，后者意為“可以學(xué)到的知識”,。畢大哥拉斯學(xué)派的核心觀點是“萬物皆數(shù)”,，即認為宇宙萬物都是可以追溯到整數(shù)或整數(shù)之比。該學(xué)派發(fā)現(xiàn)了勾股定理,，但也因此引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機,。

二,、無窮小是否為零——第二次數(shù)學(xué)危機

牛頓和萊布尼茨創(chuàng)立的微積分都建立在“無窮小”的基礎(chǔ)上，但無窮小到底有多??？牛頓推導(dǎo)的時候，會把無窮小當做分母,，之后又會把無窮小的數(shù)約掉,，那無窮小到底是不是零，是零就不能當分母,，不是零就不能約掉,。這是微積分中不嚴謹?shù)牡胤健?/p>

1734年，被主觀唯心主義哲學(xué)的開創(chuàng)者喬治.貝克萊質(zhì)疑,，導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機的產(chǎn)生,。

爭論持續(xù)到19世紀，100年后法國著名數(shù)學(xué)家柯西及其后的魏爾斯特拉斯,、戴德金,、康托爾在實數(shù)理論上建立的極限理論為微積分理論奠定了嚴密的邏輯基礎(chǔ)。

三,、理發(fā)師悖論——第三次數(shù)學(xué)危機

19世紀下半葉,，康托創(chuàng)立了著名的集合論，終于使數(shù)學(xué)科學(xué)大廈平穩(wěn)起地,。

可,，英國哲學(xué)家伯特蘭.羅素提出了一個論斷：集合論并非絕對嚴格，是有瑕疵的,。例如理發(fā)師要給“不給自己理發(fā)的人”理發(fā),，那他自己要不要給自己理發(fā)？不給自己理發(fā),，那就滿足條件,，那就應(yīng)該給自己理發(fā)?？山o自己理發(fā),，就不滿足條件，那就不該給自己理發(fā),。

第二節(jié) 從歐幾里得到羅巴契夫斯基

一,、歐幾里得與《幾何原本》

《幾何原本》是公元前3世紀歐幾里得的著作，被譽為“數(shù)學(xué)的圣經(jīng)”,。

古希臘亞歷山大學(xué)派前期的三大數(shù)學(xué)家：歐幾里得,、阿波羅尼斯、阿基米德

高斯（19世紀）被公認為牛頓以后的“數(shù)學(xué)家之王”。發(fā)現(xiàn)了非歐幾何的存在（可證明平行公理）,，但沒提出,。

二、羅巴契夫斯基與非歐幾何

非歐幾何的創(chuàng)建者一般認為是羅巴切夫斯基與波爾約,。

羅氏幾何與歐式幾何的本質(zhì)區(qū)別在于二者的平行公理不同,。

菲歐幾何還包括黎曼幾何。

黎曼為高斯的關(guān)門弟子,。

德國科學(xué)家克萊因?qū)Ψ菤W幾何做出了統(tǒng)一的解釋：把歐式幾何稱為“拋物幾何”,，羅氏幾何稱為“雙曲幾何”（三角形內(nèi)角和小于180度），黎曼幾何稱為“橢圓幾何”（三角形內(nèi)角和大于180度）

康德的唯心論,。

非歐幾何的發(fā)現(xiàn)史實質(zhì)也是唯物主義和唯心主義在幾何學(xué)中的一段斗爭史,。

第三節(jié) 從勾股定理到費馬猜想

勾股定理，也稱畢達哥拉斯定理,，有人稱其為“幾何學(xué)明珠”,，也有人稱其為“千古第一定理”。

畢達哥拉斯,，證明了勾股定理,。

中國西周商高證明勾股定理，比西方早五百多年,。

一,、勾股定理的證明

趙爽證法：

數(shù)學(xué)界的最高獎——菲爾茲獎

二、勾股定理的代數(shù)學(xué)研究

關(guān)于勾股數(shù)的統(tǒng)一表達,，一般采用下列公式：

17世紀,，費馬猜想：

形如x^n+y^n=z^n的方程，當n>2時,，找不到一組正整數(shù)解,。

歐拉證明了n=4、3時,，無正整數(shù)解,。

英國數(shù)學(xué)家安德魯.懷爾斯在1995年最終證明了費馬猜想。

第四節(jié) 從周易八卦到二進制數(shù)

萊布尼茨堪稱是一位百科全書式學(xué)者,，發(fā)明了微積分,，還發(fā)明了二進制。

《周易》有言：太極生兩儀,，兩儀生四象,，四象生八卦。坤,、艮（gen）、坎、巽（xun）,、震,、離、兌,、乾,。“斷態(tài)”用0表示,。

第二章 美輪美奐的數(shù)林奇葩

第一節(jié) 完全數(shù)與親和數(shù)

1903年,，柯西發(fā)表學(xué)術(shù)報告，2^67-1 = 193707721x761838257287,，引起的巨大的轟動,，因為他否定了“2^67-1為素數(shù)”，同時也否定了“2^66x(2^67-1)為完全數(shù)”,。否定了梅森猜想,。

2^p-1（p為素數(shù)）型素數(shù)在數(shù)論中稱為梅森素數(shù)。人們找到的大的素數(shù)基本都屬于梅森素數(shù),。

素數(shù)也稱質(zhì)數(shù)

一,、完全數(shù)

一個數(shù)等于自身全部因數(shù)（不包括自身）之和，就是完全數(shù),。如6=1+2+3,，28也是。（拓展：月球繞地球一周28天,。中國古代王朝有六藝：禮,、 樂、射,、御,、書、數(shù),，秦始皇以六為國數(shù),，天上有二十八星宿。）

“如果2^n-1是一個質(zhì)數(shù),，那么自然數(shù)2^(n-1)x(2^n-1)一定是一個完全數(shù) ”,。歐幾里得證明了該命題，并給出了下面是個完全數(shù),。n=2,、3、5,、7時,。

古希臘數(shù)學(xué)家尼科瑪霍斯將自然數(shù)劃分為完全數(shù),、盈數(shù)與虧數(shù)三類：等于自身所有真因數(shù)之和的自然數(shù)稱為完全數(shù)，大于自身所有真因數(shù)之和的自然數(shù)稱為盈數(shù),，小于自身所有真因數(shù)之和的自然數(shù)稱為虧數(shù),。

偶完全數(shù)與梅森素數(shù)實質(zhì)一一對應(yīng)。

二,、親和數(shù)

220的所有真因數(shù)之和為284,，而284的所有真因數(shù)之和為220。畢達哥拉斯將這兩數(shù)稱為“親和數(shù)”或者叫“朋友數(shù)”,。即兩個自然數(shù)中任何一個數(shù)是另外一個數(shù)的真因數(shù)之和,，則這兩個數(shù)就是親和數(shù)。

1636年,，第二對親和數(shù)17296和18416被費馬找到,。兩年后，笛卡爾找到了第三對親和數(shù)：9437056和9363584,。

1747年,，歐拉直接列出了61對親和數(shù)，雖然有兩對有誤,。

后來陸續(xù)找到了上千對親和數(shù),。

隨著電子計算機的誕生，發(fā)現(xiàn)100萬以下的自然數(shù)只有42對親和數(shù),，10萬以下的僅有13對,。

第二節(jié) 梅森素數(shù)

梅森素數(shù)有無窮多個。

一,、紙筆演算時代的艱辛探索

在紙筆演算時代,，僅找到12個梅森素數(shù)。

二,、機器計算時代的重大突破

因特網(wǎng)梅森素數(shù)大搜索（GIMPS）項目,，于2018年公布第51個梅森素數(shù)（2^82589933-1），是迄今為止人類發(fā)現(xiàn)的最大的素數(shù),。

三,、結(jié)語

尋找大梅森素數(shù)有助于改進傳統(tǒng)計算機加密算法。

第三節(jié) 水仙花數(shù)與卡普列加數(shù)

水仙花數(shù)：傳統(tǒng)名字為“3次回歸數(shù)”或“自冪數(shù)”,。153=1^3+5^3+3^3

若一個n位自然數(shù)等于各位數(shù)字的n次冪之和,，則稱其為n位n次冪回歸數(shù)。

桃花數(shù)：1634=1^4+6^4+3^4+4^4

有人把它統(tǒng)稱為鮮花數(shù)或花朵數(shù),。

1986年,，數(shù)學(xué)教師安東尼.迪拉那證明了使n位數(shù)成為回歸數(shù)最多只可能是60位數(shù)。

二,、卡普列加數(shù)

把數(shù)字劈成兩半（如果是奇數(shù)位,，則高位補0）,，加起來，再平方,，正好是原來的數(shù),，這樣的數(shù)稱為“卡普列加數(shù)”或“雷劈數(shù)”,，也叫“分和平方再現(xiàn)數(shù)”,。這樣的數(shù)有2025、3025,、9801等,。

(x+y)^2 = 100x+y

最小的卡普列加數(shù)為81（(8+1)^2=81）

第四節(jié) 角落里的奇珍異寶

一、最神秘的數(shù)字142857

1/7 = 0.142857...

數(shù)字142857從1乘到6后出現(xiàn)了數(shù)字輪回象限,。

二,、回文數(shù)

從左到右和從又到左讀完全一樣。

12345678987654321倍稱為橄欖數(shù),，也是一個完全平方數(shù),。

三、自守數(shù)

平方的尾數(shù)等于該數(shù)自身,，稱這樣的數(shù)為自守數(shù),，例如：25x25=625

四、最倒霉的數(shù)13

在東方,，13是大吉之數(shù),。佛教傳入中國宗派為十三宗，代表功德圓滿,；布達拉宮13層,、天寧佛塔13層等。

但在西方國家,，大家比較忌諱13這個數(shù),。耶穌的弟子猶大出賣耶穌，參加最后晚餐的是13個人,，晚餐的日期恰逢13日,，13給耶穌帶來了苦難和不幸。因此酒店沒有13層,，飛機場也沒有13號登機口,。

五、奇特的等冪和

以下兩組數(shù)的方冪和相等：

從0次方冪和到8次方冪和都相等,，但9次方冪,，兩組數(shù)的方冪和相等的現(xiàn)象消失了。

第三章 璀璨靚麗的數(shù)學(xué)明珠

1900年,，數(shù)學(xué)家希爾伯特提出了著名的23個未解決的數(shù)學(xué)問題,，稱“希爾伯特問題”,。

2000年，美國克萊數(shù)學(xué)研究所提出了“七個千禧年數(shù)學(xué)難題”（懸賞100萬美元）,。

第一節(jié) 唯美數(shù)學(xué)定理：歐拉公式與巴塞爾級數(shù)

一,、歐拉公式

二、巴塞爾級數(shù)

精確計算所有非零自然數(shù)平方的倒數(shù)的和,。由歐拉論證得到該結(jié)果的,，以歐拉的家鄉(xiāng)瑞士的城市巴塞爾命名。論證用到了麥克勞林級數(shù),。

巴塞爾級數(shù)的推進產(chǎn)生了黎曼猜想：

該函數(shù)的零點,，除了s=-2，-4,，-6...在復(fù)平面上全部分布在s的實部為1/2的直線上,。

第二節(jié) 宇宙演化密碼：黃金分割與斐波那契數(shù)列

一、黃金分割

來源于畢達哥拉斯,，對于任意給定線段AB,，要在其上找一點C，該線段被點C分成長短兩條線段,，并使較長線段長和全線段長的比值等于較短線段長與較長線段長的比值,。該比值為(√5-1)/2，約為0.618,。

二,、無處不在的黃金分割

北緯30°線貫通四大文明古國。

人類賴以生存的四處關(guān)鍵部位：肚臍,、咽喉,、膝蓋、肘關(guān)節(jié)是四個黃金分割點,。

我們在22~24°C時感覺最舒適,，因為人體正常體溫37℃與0.618的乘積為22.9℃。

應(yīng)用于建筑：巴特農(nóng)神廟,、印度泰姬陵,、巴黎圣母院、法國埃菲爾鐵塔,。

達.芬奇的《蒙娜麗莎的微笑》,、《威特魯威人》。

五角星和正五邊形,。

三,、斐波那契數(shù)列

向日葵花的花瓣，有的21枚,，有的34枚,，有的55枚,。這些數(shù)與斐波那契數(shù)列相關(guān)：1,1,2,3,8,13,21,34,55....

“兔子繁殖問題”

斐波那契數(shù)列與黃金分割存在內(nèi)在聯(lián)系，相鄰兩個斐波那契數(shù)列隨著序號的增加逐漸接近黃金分割比例,。

黃金矩形：新的正方形的邊的長度與最近兩個正方形的邊之和一樣,。

第三節(jié) 東方數(shù)學(xué)神作：中國剩余定理

“中國剩余定理”（也稱孫子定理）是數(shù)論的基礎(chǔ)性定理，與威爾遜定理,、歐拉定理,、費馬小定理齊名，并稱數(shù)論四大定理,。

來源于孫子算經(jīng),，即：一個整數(shù)除以3余數(shù)為2，除以5余數(shù)為3,，除以7余數(shù)為2，求這個整數(shù),。（答案是105n+23）

解法：70x2+21x3+15x2-105n

秦九韶的《數(shù)書九章》給出了一般表述,，“大衍求一術(shù)”。

韓信點兵就是類似問題的代表

第四節(jié) 數(shù)學(xué)珠穆朗瑪：哥德巴赫猜想

“自然科學(xué)的皇后是數(shù)學(xué),，數(shù)學(xué)的皇冠是數(shù)論,，哥德巴赫猜想則是皇冠上的明珠?！?/p>

素數(shù)（也叫質(zhì)數(shù)）：只能被1和它本身整除的數(shù),。

“任何一個大于2的偶數(shù)都能表示成兩個素數(shù)之和,?！?/p>

哥德巴赫，德國數(shù)學(xué)家,。

二,、哥德巴赫猜想的艱辛探索

“縮小包圍圈”

1966年,，陳景潤經(jīng)過了7年的努力，證明了“1+2”：每一個充分大的偶數(shù)都是一個素數(shù)加上另外不超過2個素數(shù)的積,。

本章補遺

一,、最美數(shù)學(xué)公式：

印度數(shù)學(xué)鬼才拉馬努金發(fā)現(xiàn)的：

二、“孿生素數(shù)猜想”

“孿生素數(shù)猜想”：存在無窮多個素數(shù)p,，使p+2也是素數(shù),。

陳景潤給出了證明。

三,、四色猜想

美國數(shù)學(xué)家用計算機花了1200個小時,，作了100億次判斷，驗證了該猜想,。

2016年吉林市數(shù)學(xué)協(xié)會于成仁運用數(shù)學(xué)方法證明出世界三大數(shù)學(xué)難題之一的“四色定理”,。

第四章 數(shù)學(xué)解題：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之源

第一節(jié) 數(shù)學(xué)解題的內(nèi)涵,、意義與水平

數(shù)學(xué)解題貫穿于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終。

等差數(shù)列求和公式：

第二節(jié) 為發(fā)現(xiàn)而解題

一,、追求解題方案的多樣化

二,、追求解題方案的最優(yōu)化

三、追求問題的生成性思考

第五章 觀察與實驗：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之門

第一節(jié) 數(shù)林奇葩——金蟬脫殼

一,、金蟬脫殼,，至死不變

兩組數(shù)，和相等,，平方和相等,。同時抹掉從左到右，或從右到左,，性質(zhì)不變,。

兩組數(shù)的方冪和相等

二、構(gòu)造等冪和數(shù)組

可以從已知數(shù)組上生成一個新的數(shù)組,。

第二節(jié) 冰雹游戲

一,、角谷靜夫系列

如果是偶數(shù)，變成m/2,，如果是奇數(shù),，變成3m+1。重復(fù)這樣的操作,，最后一個數(shù)無一例外都是1,。

二、“123”系列

任意寫一個自然數(shù),，寫出偶數(shù),、奇數(shù)與整數(shù)的個數(shù)，重復(fù)這樣的操作,，最終都是123,。

三、“6174”系列

印度數(shù)學(xué)家卡普列加發(fā)現(xiàn)的,，寫出一個四位數(shù),，按從大到小排序得到一個數(shù)，按從小到到排序得到另外一個數(shù),，兩數(shù)相減（大數(shù)減小數(shù)）,，重復(fù)這樣操作，最終的一個數(shù)都是6174,。

第三節(jié) 討論：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的觀察與實驗

一,、科學(xué)觀察與科學(xué)實驗

二、數(shù)學(xué)觀察與數(shù)學(xué)實驗

第六章 歸納與類比：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之匙

第一節(jié) 幻方與等冪和問題

“洛書”

洛書中每個小圓圈都可代表一個1，寫成數(shù)字的形式如下：

這就是三階幻方,，圖中的每一行每一列及對角線上的三數(shù)之和都是15,。

輕松構(gòu)造任意奇數(shù)階幻方的方法（勞伯爾發(fā)明的樓梯法）：

一、內(nèi)涵豐富的三階幻方

幻方與等冪和數(shù)組存在者某種神秘的內(nèi)在聯(lián)系,。圖6-2的第一列和第三列的平方和相等,。

產(chǎn)生新的等冪和數(shù)組方法：

二、妙趣橫生的四階幻方

一個知名度較高的四階幻方是印度太蘇神廟石碑上的幻方：

每行每列對角線之和都為34,，而且隨便畫一個正方形,，四角上的四個數(shù)的和也都為34。更為神奇的是把行（或列）移到另一邊上,，所得正方向排列仍是一個幻方,，如圖6-4。

三,、魅力無窮的n階幻方

第二節(jié) 四面體體積公式的發(fā)現(xiàn)

三角形的公式為

S=(1/2)xaxh

或

S=(1/2)xaxbxsinθ

四面體的體積公式為

V=(1/3)xSxh

那么四面體有沒有類似三角形面積公式的第二個表述方法呢,？

已知三角形的兩條鄰邊a、b,，對邊為c,，則三角形兩條鄰邊的夾角為：

cosθ = （a^2+b^2-c^2）/2ab

第三節(jié) 討論：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的歸納與類比

推理被認為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要元素。

推理一般分為合情推理與演繹推理,。許多數(shù)學(xué)知識的自主構(gòu)建過程往往是“先猜后證”的過程?！安隆奔春锨橥评?，具體表現(xiàn)為歸納、類比等推理方式,?！白C”即演繹推理，也稱論證推理,。

一,、歸納推理、類比推理與演繹推理

歸納推理是從特殊到一般的推理,，歸納一般可以分為不完全歸納和完全歸納,。

類比推理是從特殊指向特殊的推理，也稱“類推”,。

演繹推理是從一般到特殊的推理,。

二、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的歸納推理

一個數(shù)學(xué)問題一旦與質(zhì)數(shù)關(guān)聯(lián),，就可能成為一個有意義的研究對象,。

哥德巴赫猜想：任何一個大于4的偶數(shù)都可以表示成兩個奇素數(shù)之和。

巴切特的“四方定理”：任何一個自然數(shù),，只要用一個,、兩個,、三個或四個的平方數(shù)之和來表示。（除了7=4+1+1+1,，要用四個平方數(shù)之和表示）,。

費馬質(zhì)數(shù)：

費馬是1640年提出該猜想，但在1732年被歐拉給否了,，因為n=5的時候不成立,。

三、數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的類比推理

第七章 一般化與特殊化：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之魂

第一節(jié) 斯坦納——萊默斯定理

《幾何原本》中提到：等腰三角形兩底角的平分線長度相等,。

萊默斯提出來這條命題的逆命題：有兩條內(nèi)角平分線相等的三角形是等腰三角形,。

首先回答這個問題的是瑞士的幾何學(xué)家斯坦納。

第二節(jié) 回平數(shù)

任意給定一個自然數(shù),，進行如下操作：

（1）先算好它的平方數(shù),；

（2）將平方數(shù)拆成兩部分，得到兩個新數(shù),；

（3）將拆成的兩數(shù)相加或相減,。

如果得到的結(jié)果是一個完全平方數(shù)，則稱原數(shù)為回平數(shù),。例如49:49^2=2401-->24+01=25=5^2

如果a位數(shù)N是回平數(shù),，且10^a-N也是回平數(shù)，則稱10^a-N是N的對稱回平數(shù),。例如51和49,。

第三節(jié) 討論：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的一般化與特殊化

“帕斯卡六邊形定理”：如果一個六邊形內(nèi)接于一條二次曲線(圓、橢圓,、雙曲線,、拋物線)，那么它的三對對邊的交點在同一條直線上,。

第八章 為發(fā)現(xiàn)而教：數(shù)學(xué)教學(xué)的本真回歸

第一節(jié) 好教育需要好教師

好教師的四個標準：理想信念,、道德情操、扎實學(xué)識,、仁愛之心,。

求知欲與探索欲是有本質(zhì)區(qū)別的。求知欲是學(xué)習(xí)者對知識學(xué)習(xí)的內(nèi)在需求,，提現(xiàn)的是對前人經(jīng)驗積累的崇拜,；探索欲是渴望理解未知世界的內(nèi)在愿望，提現(xiàn)的則是對未知世界的開拓,。

第二節(jié) 為發(fā)現(xiàn)而教：數(shù)學(xué)知識教學(xué)尋路

誤區(qū)：知識決定一切,，同時也要關(guān)注是否理解，要善于思考。

第三節(jié) 為發(fā)現(xiàn)而教：數(shù)學(xué)解題教學(xué)尋路

附 其他

“理想數(shù)論”這一嶄新的數(shù)學(xué)分支得益于費馬猜想的探索,。

格尼斯堡七橋問題成為圖論的源頭,，梅森素數(shù)的研究也推動了計算機技術(shù)的革命。

悖論與解悖：（1）芝諾無限悖論,；（2）說謊者悖論,；（3）關(guān)于解悖。

被譽為“數(shù)學(xué)皇冠上的明珠”的哥德巴赫猜想,，推導(dǎo)至今未果,。

麥克勞林級數(shù)：

更多數(shù)學(xué)家對黎曼猜想似乎更有興趣。

2是最小的質(zhì)數(shù)（也叫素數(shù)）,，也是唯一的偶質(zhì)數(shù),。

end