|
數(shù)學(xué)經(jīng)緯網(wǎng),，縱覽數(shù)學(xué)歷史和文化，橫貫數(shù)學(xué)大家故事,、數(shù)學(xué)哲學(xué),、數(shù)學(xué)科普，追蹤數(shù)學(xué)前沿發(fā)展,，適合于數(shù)學(xué)愛好者,、數(shù)學(xué)專業(yè)者。 萊布尼茨是一位興趣廣泛,、博學(xué)多才的大家,，除哲學(xué)和數(shù)學(xué)外，他在歷史,、法學(xué),、語言、神學(xué),、邏輯學(xué)和外交等方面都有杰出的成就,。下面我們簡要回顧萊布尼茨的一生,。  圖1 萊布尼茨 1 才華橫溢 1661年，萊布尼茨15歲,，在萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律,。直接讀大二，三年獲得學(xué)士學(xué)位,，次年1月獲得碩士學(xué)位,。1666年20歲時(shí)，萊布尼茨已經(jīng)為取得法律博士學(xué)位作好了充分準(zhǔn)備,。萊比錫大學(xué)的教師們由于嫉妒而惱怒,，拒絕授予萊布尼茨博士學(xué)位，公開的理由是他太年輕,，實(shí)際原因是他知道的法律知識(shí)比他們這些遲鈍的家伙所知的加在一起還要多,。他一氣之下離開萊比錫赴紐侖堡附近的阿爾特多夫（Altdorf）大學(xué)。1666年11月,，他憑借一篇講授法律的新方法（歷史方法）的論文（實(shí)際上是在從萊比錫赴紐侖堡旅途中寫出來的）獲得了阿爾特多夫大學(xué)的法學(xué)博士學(xué)位,。但他謝絕了這所大學(xué)對(duì)他的聘請(qǐng)，參加了當(dāng)?shù)氐囊粋€(gè)團(tuán)體（據(jù)稱是煉金術(shù)士團(tuán)體）,，并通過該團(tuán)體結(jié)識(shí)了一些政界人物,，從此萊布尼茨開始投身政治。他的第一份任命就是被選帝侯指定去訂正法典,。 2 熱衷政治 萊布尼茨一生余下的40年是在為不倫瑞克家族毫無價(jià)值的服務(wù)中度過的,。他作為這個(gè)家族的圖書管理人、歷史學(xué)家和家族的總智囊,，總共為三任主人服務(wù)過,。對(duì)于這樣一個(gè)家族，有一部光輝詳實(shí)的家族史乃是極其重要的事情,。萊布尼茨作為家族圖書管理人,，不僅是作為書籍的編目人，同時(shí)也是家系學(xué)專家和發(fā)霉的檔案的搜集者,。他的職責(zé)是確證他的雇主對(duì)歐洲半數(shù)王位的權(quán)利要求,，如果不能確證，就通過審慎的篡改來炮制證據(jù),。為了進(jìn)行細(xì)致的歷史研究,，他在1687-1690年跑遍了整個(gè)德意志，然后又去了奧地利和意大利,。 3 馬車學(xué)術(shù) 萊布尼茨一生的特點(diǎn)之一：他具有在任何時(shí)候,、任何地點(diǎn)、任何條件下工作的能力,。他不停地讀著,、寫著,、思考著。他的大部分?jǐn)?shù)學(xué)著作,，更不用說其他關(guān)于一切事物的來世今生的作品,，都是在既顛簸又四處透風(fēng)的破馬車?yán)飳懗鰜淼摹．?dāng)他在雇主反復(fù)無常的吩咐下東奔西跑時(shí),，就是這樣的破馬車載著他在17世紀(jì)歐洲的崎嶇小路上奔波,。 4 晚景凄涼 萊布尼茨在終身為王公貴族們效勞以后，收到的報(bào)酬卻是：疾病,，迅速地衰老,，被爭吵搞得筋疲力盡，最后被踢了出去,。1714年喬治到英國當(dāng)國王沒有帶萊布尼茨。1716年,，在經(jīng)受了膽結(jié)石與痛風(fēng)癥的折磨之后,，萊布尼茨離開了人世，據(jù)說只有忠實(shí)的秘書參加了他的葬禮,。 5 活法啟示 萊布尼茨的動(dòng)力來源是什么,？一是對(duì)世俗功名的追求（熱衷），二是對(duì)學(xué)問的求真精神（有抱負(fù)）,。萊布尼茨是一個(gè)非常聰明的人,，既獲得了一些世俗的成功，學(xué)問也搞得非常出色,。 萊布尼茨的成才之路令人神往,，但政治上的失意（淪為棄子）也令人唏噓。如果萊布尼茨不執(zhí)著于追求名利,，或許他可以在數(shù)學(xué)上做出更大的貢獻(xiàn),，抑或者收獲更多實(shí)現(xiàn)人生價(jià)值的幸福感。當(dāng)然作為數(shù)學(xué)家,，萊布尼茨已然是非常成功的,。 萊布尼茨的一生及其治學(xué)精神值得我們反復(fù)回味和思考。一個(gè)人,，他具有在任何時(shí)候,、任何地點(diǎn)、任何條件下工作的能力,，他不停地讀著,、寫著、思考著,，他的很多學(xué)術(shù)成果是在馬車上完成的,。于個(gè)人,，可見成才不是看環(huán)境如何，而是有無堅(jiān)定的理想抱負(fù),、有無甘愿坐冷板凳的決心,。 早在1666年，萊布尼茨在《論組合的藝術(shù)》一書中討論過數(shù)列問題并得到許多重要結(jié)論,，這時(shí)還沒有研究微積分問題,。 從1672年大約開始，萊布尼茨將他對(duì)數(shù)列研究的結(jié)果與微積分運(yùn)算聯(lián)系起來,。萊布尼茨后來在致洛必達(dá)的一封信中總結(jié)說：這使他發(fā)現(xiàn),，“求切線不過是求差，求積不過是求和”,！ 1673年,，萊布尼茨提出自己的特征三角形概念，并應(yīng)用它確實(shí)很快地發(fā)現(xiàn)了后來才“在巴羅和格列高里的著作中見到的幾乎所有定理”,。萊布尼茨還在關(guān)于特征三角形的研究中認(rèn)識(shí)到：求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值當(dāng)這些差值變成無限小時(shí)之比,；而求曲線下的面積則依賴于無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和（縱坐標(biāo)之和在這里是指縱坐標(biāo)乘以無限小區(qū)間的長度再相加，因而也相當(dāng)于寬度為無限小的矩形面積之和）,。萊布尼茨還看出了這兩類問題的互逆關(guān)系,。 自此之后，萊布尼茨在微積分方法的建立和應(yīng)用上又做了很多開拓性工作（見圖2）,。  圖2 萊布尼茨的微積分建立過程 早期,，萊布尼茨的這些研究都隨手記錄，故他的手稿散亂且難懂,。大約到17世紀(jì)80年代初,，萊布尼茨開始總結(jié)自己陸續(xù)獲得的結(jié)果，并將它們整理成文,，公諸于眾,。 萊布尼茨的微積分建立過程，呈現(xiàn)什么樣的階段特點(diǎn),？這是一個(gè)值得琢磨的問題,。 我們可以發(fā)現(xiàn)，萊布尼茨關(guān)于微積分的原理思想在1672-1673年的時(shí)間內(nèi)已經(jīng)基本形成,。而在1674-1680年,，萊布尼茨的精力主要放在微積分理論體系的建立和微積分方法的開拓上。大約80年代初,，開始后期的整理,。 萊布尼茨早期的微積分思想有哪些？這些思想是怎么形成的,？萊布尼茨早期的微積分思想主要包含三個(gè)方面：從離散到連續(xù),；以直代曲,；積分是微分的逆過程。當(dāng)然這些思想形成的基礎(chǔ)是無窮?。ú豢煞至浚?。這些思想的形成，一部分是受前人成果的影響,，如巴羅和帕斯卡早在萊布尼茨之前就已經(jīng)開始使用特征三角形,。還有一部分是出于萊布尼茨天才般的直覺和善用類比方法。 1 從離散到連續(xù) 萊布尼茨的微積分思想發(fā)源于其對(duì)數(shù)列的研究,，進(jìn)一步由離散類比到連續(xù)情形,。
想象眼前鋪成一條臺(tái)階，每一階相對(duì)于地面的高度為 v_1,v_2,…,v_(n+1),，而階差高度為u_1,u_2,…u_n,，那么從v_1登到v_(n+1)共升高u_1+u_2+?u_n=∑_(k=1)^n?u_k。  圖3 差和分定義：設(shè)v=(v_n )為一個(gè)數(shù)列,，令數(shù)列Δv為(Δv)_n=v_(n+1)-v_n（簡記為Δv_n）,。我們稱Δv為數(shù)列v的（第一階）差分。∑_(n=a)^b?v_n叫做定積分（簡稱和分）,。我們可以得到差和分基本定理。（我們這里只是為了方便描述,，事實(shí)上萊布尼茨也沒有明確給出過這樣的定理,。） 定理1：（差和分基本定理）對(duì)于給定的一個(gè)數(shù)列u=(u_n )，如果可以找到另一個(gè)數(shù)列v=(v_n ),，使得u_n=v_(n+1)-v_n,，那么就有∑_(n=a)^b?u_n=v_(b+1)-v_a，其中a,b∈N且a<b,。  圖4 定理1引出兩個(gè)基本問題： 1. 研究差分在運(yùn)算上的基本性質(zhì),。 2. 已知一個(gè)數(shù)列u=(u_n )，求另一個(gè)數(shù)列v=(v_n ),，使得u=Δv ,，我們稱v為u的原數(shù)列或不定積分。 差和分的學(xué)習(xí)對(duì)于微積分的了解非常有幫助,，因?yàn)閮烧卟贿^是離散與連續(xù)之間的類推與觀照而已,。離散的差和分簡單明了，再連續(xù)化就得到了微積分,。
首先考慮面積函數(shù)y=F(x),x∈[a,b],。作[a,b]的有限分割：a=x_1<x_2<?<x_n<x_(n+1)=b, 由差和分基本定理知：   圖5
現(xiàn)在想象將[a,b]分割成無窮多個(gè)的無窮小段dx（即微分）,，把它想成是差分Δx_k=x_(k+1)-x_k的極致,，然后考慮無窮小矩形的面積f(x)dx,，從x=a連續(xù)地累積到x=b。這樣的求和跟和分有關(guān)但卻不同,，為了區(qū)別起見,，Leibniz在1686年首度將記號(hào)S改為∫。理由是：S表示求和Sum的第一個(gè)字母,，將S稍微拉伸變成 ∫,，表示連續(xù)地求和。 因此,，就用美妙的記號(hào)f(x)dx來表示圖中黃色區(qū)域的面積,，將∫_a^b?f(x)dx說成 在 上的積分。換言之,，陰影部分的面積就是無窮多個(gè)無窮小矩形面積的連續(xù)求和,，即定積分（definite integral）。  圖6
 圖7 微積分基本定理的一般描述：  圖8 萊布尼茨從離散到連續(xù)的微積分思想,，從差和分基本定理到微積分基本定理,，這里采用的就是類比思想。萊布尼茨天才地發(fā)現(xiàn),，“求切線不過是求差,，求面積不過是求和”。數(shù)列和曲線下的面積函數(shù)（通過分割自變量區(qū)間）都具有求差和求和的特點(diǎn),。那么通過數(shù)列的離散版本的差和分基本原理,，再借助無窮小，我們就得到了函數(shù)的連續(xù)版本的微積分基本定理,。這里,，無窮小dx作為區(qū)間長度的承擔(dān)者，而f(x)dx也成為了面積微元,。 2 以直代曲 萊布尼茨的特征三角形,，切線替代弧線，背后體現(xiàn)的是以直代曲的思想,。這里先有切線,，后定義dx，再利用比式定義dy,，其中dy:dx=f^' (x)=切線的斜率,。萊布尼茨已經(jīng)先默認(rèn)切線已有定義，但他本人后來對(duì)切線的定義不能做到令人滿意,，比如我們由下圖能發(fā)現(xiàn)切線I與曲線切于兩點(diǎn)P,、Q。 這里特征三角形的基本概念是無窮小，即微分,，通過微商的形式刻畫切線斜率,。這里從運(yùn)動(dòng)角度來說，微商就是瞬時(shí)變化率,。萊布尼茨對(duì)很多曲線應(yīng)用特征三角形,，得到了很多定理。萊布尼茨微積分理論的弊端在于講不清楚無窮小究竟是什么,。現(xiàn)代化的圖示,，微分不再是無窮小，而是關(guān)于增量Δx的線性函數(shù),，而導(dǎo)數(shù)也變成增量比的極限,，本質(zhì)上是平均變化率的極限。（盡管導(dǎo)數(shù)這里也能寫成微商的形式,，但更多只是一種符號(hào)表示）新的變化背后體現(xiàn)的是兩種不同的數(shù)學(xué)模型,。這里做個(gè)對(duì)比，大家可以思考,。  圖9 3 積分是微分的逆過程 萊布尼茲假設(shè)可以求出一條曲線（稱為割圓曲線）,，縱坐標(biāo)為Z，使得dz:dx=y即ydx=dz,于是曲線下的面積為∫ydx=∫dz=z,求積問題化成了反切線問題,。有限區(qū)間[a,b]上的面積,，∫(a~b)ydx=z(b)-z(a) 。 通過對(duì)積分進(jìn)行微分和對(duì)微分進(jìn)行積分,，我們?nèi)菀昨?yàn)證積分是微分的逆過程,。但是需要區(qū)分萊布尼茨和牛頓微積分思想的不同： 在萊布尼茨的微積分體系中，核心概念是微分,，導(dǎo)數(shù)是微商，而積分是微分的逆過程,；在牛頓的微積分體系中,，導(dǎo)數(shù)是核心概念，積分是導(dǎo)數(shù)的逆過程,。 然而萊布尼茨的微分存在比較大的爭議,，因?yàn)橛袝r(shí)把它當(dāng)作是不可分量或者稱作相鄰兩點(diǎn)之差，有時(shí)又把它當(dāng)作要多小就有多小的量,；同時(shí)牛頓的導(dǎo)數(shù)定義存在邏輯上的漏洞而一度受到貝克萊的責(zé)難,。二人所建立的微積分體系都有難以說清的不足，后面才出現(xiàn)以極限理論為核心的微積分體系完成嚴(yán)格化這一工作,。  圖10 [1]貝爾著,，徐源譯.數(shù)學(xué)大師：從芝諾到龐加萊[M],上海科技教育出版社,107-138. [2]李文林.數(shù)學(xué)史概論[M]. 高等教育出版社(第三版),2010:166-174. [3]蔡聰明. 萊布尼茲如何想出微積分.公眾號(hào)數(shù)學(xué)縱貫線. END |
|
|
