自發(fā)明解析幾何以后,，變量就登上了數(shù)學(xué)的舞臺(tái)。函數(shù)概念提出以后,，描述物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律便有了相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法,。然而在處理變量規(guī)律這個(gè)問題上,，當(dāng)時(shí)的科學(xué)家并沒有找到強(qiáng)有力的方法，這極大地阻礙了科學(xué)研究,。然而自牛頓和萊布尼茨兩位科學(xué)大師創(chuàng)立微積分這一強(qiáng)有力的工具之后,，這些問題都迎刃而解，一場屬于數(shù)學(xué)的盛宴便開始了,。

背景

關(guān)于“無窮”的思想,，無論在古代西方還是中國，都有萌芽,?！案顖A術(shù)”就是這一思想的提現(xiàn)，阿基米德利用圓內(nèi)正96變形得到圓周率π的值在223/71到22/7之間,，而我國魏晉時(shí)期的著名數(shù)學(xué)家更是以驚人的圓內(nèi)正3072邊形將π的值精確到了3.1416,。這些方法都體現(xiàn)了“無限分割之后再無限求和”的微積分?jǐn)?shù)學(xué)思想。然而限于低下的生產(chǎn)實(shí)踐水平,，這些思想難以進(jìn)一步發(fā)展完善,。

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時(shí)間很快到了16世紀(jì)，社會(huì)生產(chǎn)實(shí)踐活動(dòng)水平已經(jīng)上了一個(gè)新臺(tái)階,。天文學(xué)和物理學(xué)的快速發(fā)展帶來了許多數(shù)學(xué)問題,，例如如何求時(shí)候瞬時(shí)速度和加速度，如何計(jì)算曲邊三角形的面積,。進(jìn)入17世紀(jì)之后,，科學(xué)家們的注意力逐漸聚焦到了四大類問題上:1.已知物體的位移-時(shí)間關(guān)系函數(shù)，求其在任意時(shí)刻的速度與加速度,；反過來,，已知物體的加速度-時(shí)間函數(shù)，求速度與位移,。2.求已知曲線的切線,。3.求已知函數(shù)的最大值與最小值。4.求曲線長,、曲線圍成的面積,、曲面圍成的體積、物體的重心位置,、物體（比如行星）作用于另一物體上的引力等,。在這些問題的探索中，笛卡爾,、巴羅(牛頓在劍橋大學(xué)的老師,，微積分早期先驅(qū)之一)、開普勒,、卡瓦列里(意大利數(shù)學(xué)家,，“祖暅原理”的西方發(fā)現(xiàn)者)等科學(xué)家做出了開創(chuàng)性貢獻(xiàn),。然而仍然沒有形成完整的理論。在大量知識(shí)和方法的積累下,，一門嶄新的學(xué)科已經(jīng)呼之欲出了,。

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巨人與大師:牛頓和萊布尼茨

牛頓(1642-1727）出生于一個(gè)純粹的農(nóng)民家庭，父親早亡之后母親又迫于生計(jì)改嫁給一個(gè)牧師,，之后牛頓便和祖母一起生活,。殘酷的家庭處境造成了牛頓沉默寡言又倔強(qiáng)的性格。中學(xué)時(shí)代的牛頓成績并不出眾但好奇心和求知欲都相當(dāng)旺盛,，慧眼識(shí)人的中學(xué)校長和牛頓的叔父都十分鼓勵(lì)牛頓去讀大學(xué),，于是牛頓便以減費(fèi)生的身份進(jìn)入了劍橋大學(xué)三一學(xué)院，開始了他的科學(xué)巨人之路,。

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根據(jù)記載,，牛頓對(duì)微積分問題的研究開始于1664年，此時(shí)他十分認(rèn)真地研讀了笛卡爾的巨著《幾何學(xué)》,，并且對(duì)書中求曲線切線的方法十分著迷,，求知欲旺盛的牛頓迫切尋求一種更有效更一般的方法來解決這一問題。

思索了兩年之后,，在1666年10月,，牛頓撰寫了數(shù)學(xué)史上第一遍微積分論文《流數(shù)短論》，歷史性地提出了“流數(shù)”這一概念,。牛頓將“流數(shù)”對(duì)應(yīng)與速度,，即位移函數(shù)對(duì)時(shí)間的微商，然后又以速度對(duì)時(shí)間的微商來作為加速度,。深思熟慮三年之后,，牛頓又完成了第二篇論文《運(yùn)用無窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)》，此文給出了因變量對(duì)自變量求瞬時(shí)變化率的一般方法,，而且還證明了面積可以通過求變化率的逆過程得到,，這實(shí)際上已經(jīng)非常接近微積分基本定理(即牛頓-萊布尼茨公式)。1671年,，牛頓在第三篇論文《流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)》中完善了第一篇論文的內(nèi)容,，使得論述與方法都更加清晰。又過了5年,，牛頓寫出了他最成熟的微積分論文《曲線求積論》,，進(jìn)一步完善了對(duì)流數(shù)的理解并清晰敘述了微積分基本定理，還給出了他自己發(fā)明的一系列記號(hào),。

至此，一代巨人完成了創(chuàng)立微積分的偉大壯舉,。然而由于自己保守內(nèi)斂的性格,，牛頓長期沒有公開發(fā)表自己的論文,，僅為他少數(shù)好友所知。直到1687年,，在好友哈雷的鼓勵(lì)與要求之下,，牛頓才出版了巨著《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》，直到這時(shí),，牛頓關(guān)于微積分的工作才公諸于世,。正是牛頓的遲疑，引發(fā)了牛頓和萊布尼茨誰才是“微積分之父”的百年之爭,，更是造成了英國科學(xué)界和歐洲大陸科學(xué)界的長期分隔,。

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萊布尼茨(1646-1716)出生于德國萊比錫，他的研究領(lǐng)域遍及數(shù)學(xué),、物理,、哲學(xué)、歷史,、生物學(xué),、機(jī)械、神學(xué)等,，是人類歷史上罕見的天才和全才,。同時(shí)，萊布尼茨也是中國文化的狂熱信徒,。在萊布尼茨的時(shí)代,，德國相對(duì)于英國，無論是科學(xué)教育還是科學(xué)發(fā)展水平,，都很落后,。

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1672年，萊布尼茨來到了巴黎,，在惠更斯的鼓勵(lì)下開始研究起了數(shù)學(xué),。一年之后，萊布尼茨訪問了倫敦,，得到了一本巴羅的《幾何講義》,，并從一些數(shù)學(xué)家那里聽聞了牛頓的一些工作?；氐桨屠柚?，若有所思的萊布尼茨大量研究了帕斯卡、笛卡爾,、卡瓦列里等人的著作,。早于牛頓三年，他公開發(fā)表了歷史上第一篇微積分論文,，仿佛為了印證論文的劃時(shí)代意義,，萊布尼茨取了一個(gè)非常長的名字:《一種求極大極小和切線的新方法,，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計(jì)算》,。在這篇論文中,，萊布尼茨給出了接近于現(xiàn)代的微分符號(hào)和法則。在1677年的一篇手稿中,，萊布尼茨也粗略地給出了微積分基本定理的表述,。9年之后，萊布尼茨又發(fā)表了《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無限的分析》一文,，再次論述了積分和微分的關(guān)系,。

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同時(shí)，萊布尼茨非常熱衷于尋求簡單的記號(hào)符號(hào)以便于簡化計(jì)算,，如今的微積分符號(hào)大部分出自萊布尼茨之手,。

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牛頓對(duì)微積分的研究更早，但萊布尼茨發(fā)表成果更早,，但一場爭論已經(jīng)不可避免,。孤懸海外的英國為此在相當(dāng)長一段時(shí)間幾乎斷絕了和歐洲大陸的來往，造成了英國數(shù)學(xué)乃至科學(xué)落后的局面,。

然而無論是牛頓還是萊布尼茨,，對(duì)“無窮小”這一概念的描述和使用都是含糊不清的，時(shí)而看做不確定量,，時(shí)而又當(dāng)成定性的“0”,，所以在很長的一段時(shí)間內(nèi)，微積分理論都飽受批評(píng)和質(zhì)疑,。

分析的嚴(yán)格化

微積分的橫空出世,，迅速催生了一系列嶄新的數(shù)學(xué)分支，如微分方程,，微分幾何,，函數(shù)論，變分分析等,。數(shù)學(xué)界屬于分析的時(shí)代悄然來臨,，然而微積分理論的嚴(yán)格化仍是擺在無數(shù)數(shù)學(xué)家面前的一大難題。

第一個(gè)在這方面做出大膽嘗試的數(shù)學(xué)家是波爾查諾(1781-1848),，他給出了連續(xù)函數(shù)定義的現(xiàn)代表述,，同時(shí)他也指出:dy/dx只是一個(gè)記號(hào)，并不應(yīng)理解為比值,。

而貢獻(xiàn)最大的當(dāng)屬柯西(1789-1857)無疑,。1821年，柯西連續(xù)出版了《分析教程》、《無窮小計(jì)算講義》,、《無窮小計(jì)算在幾何中的應(yīng)用》這三本重要著作,，給出了微積分的一系列嚴(yán)格定義。首先,，他把無窮小量看做極限為0的變量，從而一舉解決了長期以來無窮小量“似0又非0”的模糊狀況,。在此基礎(chǔ)上,，他給出了連續(xù)、微分,、積分,、導(dǎo)數(shù)等一系列概念的嚴(yán)格定義。然而他對(duì)極限定義的描述仍使用大量文字性的東西,，這是不符合數(shù)學(xué)家的追求的,。

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如今我們熟知的關(guān)于極限的“ε-δ”語言是由半個(gè)世紀(jì)之后的德國數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯(1815-1897)提出的。19世紀(jì)后,，實(shí)數(shù)理論和集合論得到了空前發(fā)展,，魏爾斯特拉斯、戴德金(1831-1916,，高斯學(xué)生)和康托(1845-1918,，魏爾斯特拉斯學(xué)生)等人看到了終結(jié)對(duì)微積分理論質(zhì)疑的機(jī)會(huì)。經(jīng)過幾十年的努力,，分析學(xué)嚴(yán)格化的歷史任務(wù)終于畫上了圓滿的句號(hào),，終結(jié)了長達(dá)三百年的“各方混戰(zhàn)”，使得分析學(xué)成為了像歐式幾何一樣是擁有堅(jiān)實(shí)牢固基礎(chǔ)的嚴(yán)密科學(xué),。分析的時(shí)代也達(dá)到了空前的高潮,，各分支的發(fā)展也愈加繁榮。

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