莫比烏斯帶看似簡單,，卻蘊含著非常復(fù)雜的數(shù)學原理,。它打破了“任何事物都有兩面”的常規(guī)，展現(xiàn)出兩個特殊的性質(zhì),。

如果用紅筆在莫比烏斯帶的一面沿著它的走向畫一條線(不跨躍帶的邊緣),，當筆尖回到起點的時候，我們會發(fā)現(xiàn)紅線經(jīng)過了紙帶上所有的面,。這說明,，莫比烏斯帶不存在正反兩面，它只有一個面,。

用你的手指貼著莫比烏斯帶的一條邊向任意方向滑動,，你會發(fā)現(xiàn)，無論選擇哪個方向,，你的手指都可以暢通無阻地經(jīng)過莫比烏斯帶的所有邊,，最后回到起點。這說明,，莫比烏斯帶只有一條邊,。

在數(shù)學上，像莫比烏斯帶這樣的圖形有一個專屬的名稱——單側(cè)曲面,。數(shù)學中有一個重要的分支叫拓撲學,，是研究幾何圖形連續(xù)變形時產(chǎn)生的一些新的特征和規(guī)律的學說，莫比烏斯帶就是拓撲學中最有趣的單側(cè)曲面之一,。

什么是單側(cè)曲面,，它又有什么性質(zhì)呢？

簡單來說,，雙側(cè)曲面是可定向曲面,，單側(cè)曲面就是不可定向曲面。

什么意思呢,？我們想象自己行走在一條巨大的莫比烏斯帶上,，朝著一個方向，每走一段固定的距離,，就在腳下畫出指向帶的中心的箭頭,。當我們繞行一圈后,，就到達了出發(fā)點的另一面，此時兩個箭頭可以重疊,，但是方向完全相反,。這個結(jié)果就意味著：莫比烏斯帶這個特定的曲面不能區(qū)分順時針和逆時針，方向概念是沒有意義的,。如果你在圓柱體表面上重復(fù)這個過程,，得到的結(jié)果就完全不一樣了。當你完成一圈繞行回到出發(fā)點時,，箭頭指向仍然與之前相同,。

這個簡單的實驗告訴我們，莫比烏斯帶是單側(cè)曲面（圖1）,，圓柱體的側(cè)表面則是雙側(cè)曲面（圖2）,。

莫比烏斯帶奇異的特性，使得一些在平面上無法解決的問題,，可以在莫比烏斯帶上解決,。

回想一下你坐過或者見過的過山車（圖3）: 有瘋狂的速度，有高分貝的叫喊和歡呼聲,，有極度傾斜的軌道,，還有會把你腳向上、頭向下地顛來倒去的大回環(huán),。其實,，通常來說，過山車的運動模式是這樣的:

仔細觀察,，我們不難發(fā)現(xiàn),，如果在過山車的軌道之間填滿顏色，那么這些顏色并不能形成一個普通的平面,，而是會形成不斷扭曲的曲面,。只有這樣，過山車才能一會兒運行在軌道的內(nèi)側(cè),，一會兒又傾斜向軌道的外側(cè),，帶來驚險和刺激。

朋友們是否想過,，雖然過山車在運行時又轉(zhuǎn)又翻,，但是從不會掉頭啊，那它是怎么回到出發(fā)點的呢,？沒錯,，因為過山車的軌道，也是一條莫比烏斯帶。

圖3

莫比烏斯帶理論雖然誕生于數(shù)學領(lǐng)域,，但它的應(yīng)用遍及建筑,、藝術(shù)和工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域。例如,，工廠里的機械傳送帶如果做成莫比烏斯帶，就兩面都可以利用,，不會只磨損一面,，延長了傳送帶的使用壽命；二十世紀八九十年代流行的盒式磁帶,，其帶基若做成莫比烏斯帶,，則不用翻面也能循環(huán)播放。再如,，很多城市的立交橋也是仿造莫比烏斯帶設(shè)計的,，中國科技館大廳里展出的“三葉扭結(jié)模型”(圖4)，就是幾條莫比烏斯帶的組合,。

在藝術(shù)領(lǐng)域,，以繪畫中的數(shù)學性聞名的荷蘭版畫家莫里茨·埃舍爾，更是將密鋪和莫比烏斯帶與版畫創(chuàng)作完美結(jié)合,，他也因此被稱為三維空間繪畫的鼻祖,。圖5就是他的作品，飛翔的天鵝組成“8”字形,，“8”字中間的連接處,，白色天鵝之間的空隙正好構(gòu)成了三只黑色天鵝，構(gòu)圖中充滿數(shù)學秩序的美和豐富的哲學內(nèi)涵,。

上文說過,，將一條長紙帶的一端旋轉(zhuǎn)180度，再與另一端相接,，就能形成一條莫比烏斯帶,。那么，如果從長紙帶中線剪開莫比烏斯帶,，會有怎樣的結(jié)果呢,？

跟大多數(shù)人想象的不同，這樣剪裁并不會得到兩條更窄的莫比烏斯帶,，而是會形成一個扭轉(zhuǎn)了兩次的圓環(huán)(如圖8),。這是為什么呢？我們可以先嘗試這樣剪裁一個不扭曲的紙環(huán),，會發(fā)現(xiàn)得到兩個分開的紙環(huán),。而莫比烏斯帶的一頭已經(jīng)扭轉(zhuǎn)了180度，所以就變成圖8中的樣子了！

從熟悉的紙帶到陌生的圓環(huán),，我們體驗到了莫比烏斯帶的魅力,。親愛的朋友們，快拿起膠水和剪刀,，制作一條屬于你的莫比烏斯帶吧,！