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【題記】 政如農(nóng)功,，日夜思之。思其始而成其終,。朝夕而行之,，行無(wú)越思，如農(nóng)之有畔,。其過(guò)鮮矣,。——左丘明《左傳》 “項(xiàng)目學(xué)習(xí)”強(qiáng)調(diào)自主，但是在活動(dòng)的過(guò)程中一定要將教師的主導(dǎo)與學(xué)生的自主探究有機(jī)結(jié)合起來(lái),，無(wú)論是方案的制定,、活動(dòng)過(guò)程的探究，還是活動(dòng)結(jié)果的評(píng)價(jià),，甚至連探究的形式,、方法、伙伴的選擇,，活動(dòng)中出現(xiàn)的問(wèn)題,。教師都要在事先考慮的基礎(chǔ)上予以充分的關(guān)注，并根據(jù)實(shí)際情況及時(shí)給予必要的引導(dǎo),、調(diào)控,、指導(dǎo)。從這個(gè)意義上講,，“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”給數(shù)學(xué)教師提出了更高的要求,。 課程的綜合化要求教師有廣博精深的科學(xué)素養(yǎng)，有一種居高臨下看待復(fù)雜問(wèn)題的能力,，有一種寬容理解的態(tài)度,，有一種持久等待的耐心,，有一種理解孩子的童心……日本教育家左藤學(xué)說(shuō)得好：“在推進(jìn)項(xiàng)目學(xué)習(xí)的教師中，我覺得有很多是具有適應(yīng)此要求的良好素質(zhì)的人,，這種素質(zhì)如果一言以蔽之的話,，既是通用基于‘事實(shí)’進(jìn)行‘探究’的素質(zhì)。我甚至覺得,，這種素質(zhì)與其說(shuō)是存在于那些學(xué)生時(shí)代就一直優(yōu)秀的教師中,，還不如說(shuō)是存在那些學(xué)生時(shí)代不愛學(xué)習(xí)，而在大學(xué)階段或進(jìn)入社會(huì)后才體驗(yàn)到學(xué)習(xí)的樂(lè)趣,，從而大開眼界,、不斷進(jìn)步的教師中”（［日］左藤學(xué)著，李季湄譯．靜悄悄的革命［M］．長(zhǎng)春出版社,，2003：113．） 這種觀點(diǎn)給我的重要啟示是：一個(gè)教師只要懷著一顆“童心”,，在教學(xué)實(shí)踐中不斷善于學(xué)習(xí)，善于探究,，善于反思與調(diào)整,，他（她）就一定能成為一個(gè)出色的“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”的指導(dǎo)老師！學(xué)校的教師應(yīng)該通過(guò)培訓(xùn)和自我學(xué)習(xí)提高下面幾個(gè)方面的素質(zhì)： 1．與時(shí)俱進(jìn)地把握“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”的內(nèi)涵,、特點(diǎn)和理念,，努力變革傳統(tǒng)教學(xué)觀念。 當(dāng)前“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”,，說(shuō)法不一,，名稱各異，但并不影響我們會(huì)理解它和把握它,，并在教學(xué)實(shí)踐活動(dòng)中去踐行它,。但我們一定弄清楚“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”與“學(xué)科學(xué)習(xí)”的本質(zhì)區(qū)別?！?/span>項(xiàng)目學(xué)習(xí)與學(xué)科學(xué)習(xí)的區(qū)別存于把‘知識(shí)’和‘經(jīng)驗(yàn)’組織成單元的方法不同,。項(xiàng)目學(xué)習(xí)是以現(xiàn)實(shí)的‘主題（課題）’為核心，把‘知識(shí)’和‘經(jīng)驗(yàn)’組織成單元的學(xué)習(xí),；而學(xué)科學(xué)習(xí)是以學(xué)科的‘內(nèi)容（題材）’為核心,，把‘知識(shí)’和‘經(jīng)驗(yàn)’組織成單元的學(xué)習(xí)。也就是說(shuō),，項(xiàng)目學(xué)習(xí)和學(xué)科學(xué)習(xí)是兩種把學(xué)習(xí)組織成單元的不同模式,。”因此，兩種學(xué)習(xí)模式并不矛盾,，我們可以從最狹隘的,、學(xué)科的“綜合”走出去，走向更廣泛的學(xué)科綜合，如學(xué)生與地區(qū)的“綜合”,、教室與地區(qū)的“綜合”,、教師與學(xué)生的“綜合”、教師與家長(zhǎng)的“綜合”,。（［日］左藤學(xué)著,，李季湄譯．靜悄悄的革命［M］．長(zhǎng)春出版社，2003：104,，110．） 綜合性學(xué)習(xí)提倡與其他課程結(jié)合,，開展跨領(lǐng)域?qū)W習(xí)，強(qiáng)調(diào)應(yīng)突出學(xué)習(xí)的綜合性,，但如果搞形式主義,，盲目綜合，為"綜合性"而"綜合性學(xué)習(xí)",，拋開自己的學(xué)科特點(diǎn)搞綜合，或者停留在表面的大拼盤,、大雜燴,；或者無(wú)限抬高綜合性學(xué)習(xí)的作用，使綜合性學(xué)習(xí)缺乏主題,，都是錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí),。其實(shí)開展綜合性學(xué)習(xí)，要明確綜合的基礎(chǔ)是本學(xué)科,，綜合的出發(fā)點(diǎn)和歸宿,，也是為了實(shí)現(xiàn)本學(xué)科對(duì)學(xué)生成長(zhǎng)的作用。就學(xué)習(xí)內(nèi)容而言,，雖然可能需要綜合相關(guān)學(xué)科的相關(guān)內(nèi)容,，但要以本學(xué)科的學(xué)習(xí)內(nèi)容為主，并且首先要將本學(xué)科內(nèi)容進(jìn)行綜合融通,。 2．提高“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”教學(xué)的創(chuàng)新性設(shè)計(jì)能力,。 項(xiàng)目學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)過(guò)程的有序和節(jié)奏，強(qiáng)調(diào)在相對(duì)有限的時(shí)間完成學(xué)習(xí)任務(wù),，既照顧本學(xué)科的特點(diǎn)又要為學(xué)生創(chuàng)造更多的可能性,，即在一定程度上進(jìn)行超越線性遞進(jìn)學(xué)習(xí)內(nèi)容，以類似網(wǎng)絡(luò)的超鏈接方式,，使學(xué)習(xí)內(nèi)容綜合為有多個(gè)連接紐結(jié)的整體網(wǎng)絡(luò),。左藤學(xué)的論述同樣給我們以較大的啟示：“創(chuàng)造以學(xué)為中心的課程，從實(shí)踐的角度來(lái)看,，是一種挑戰(zhàn),，因?yàn)樗蟀颜n程的單元放在‘主題·探究·表現(xiàn)’的模式中加以設(shè)計(jì)，而在教室中則要實(shí)現(xiàn)‘活動(dòng)的、合作的,、反思的學(xué)習(xí)’”,、“要搞好項(xiàng)目學(xué)習(xí)，對(duì)主題及內(nèi)容的發(fā)展具有預(yù)見性是決定性的因素,，但更重要的是教師要把設(shè)計(jì)好每一個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)作為自己的責(zé)任,。”（［日］左藤學(xué)著，李季湄譯．靜悄悄的革命［M］．長(zhǎng)春出版社,，2003：101,，123．） 因此，我們要努力對(duì)各種教學(xué)要素進(jìn)行深入的研究,，不斷學(xué)習(xí)新的教學(xué)方法,、策略和教學(xué)組織形式，要十分重視“預(yù)設(shè)”工作,。因?yàn)?/span>預(yù)先的設(shè)計(jì)越細(xì)致,、越嚴(yán)謹(jǐn)，越是對(duì)教學(xué)過(guò)程有充分的把握,，越可能游刃有余,，做到“氣定神閑”的開放，才能及時(shí)挖掘和提升學(xué)習(xí)中生成的問(wèn)題,，從而生發(fā)出項(xiàng)目學(xué)習(xí)中的“精彩”來(lái),。反之，如果只是那種把不同內(nèi)容簡(jiǎn)單地拼湊在一起,，不做細(xì)致而嚴(yán)謹(jǐn)設(shè)計(jì)的做法,，甚至把教學(xué)的成效押在教學(xué)過(guò)程中學(xué)生自發(fā)生成的想法，都是簡(jiǎn)單化,、當(dāng)然法,、理想化的做法，是會(huì)葬送項(xiàng)目學(xué)習(xí)的,。我們現(xiàn)在的教學(xué)形式確實(shí)太單一了,，需要有更多樣化的、綜合的活動(dòng)形式,，帶領(lǐng)學(xué)生到戶外進(jìn)行少量的現(xiàn)場(chǎng)觀察,、調(diào)查，主題活動(dòng)是學(xué)科綜合性應(yīng)該有的重要活動(dòng),，也是我們改造學(xué)科教學(xué)的重要措施,。但是，課堂教學(xué)依然是學(xué)生學(xué)習(xí)和成長(zhǎng)的主要陣地,，是最常態(tài)的,、時(shí)間比例最大的、對(duì)教師的要求最高的一種教學(xué)形式。如果把綜合性學(xué)習(xí)主要作為課堂外的專門活動(dòng),，一是有限的教學(xué)時(shí)間不允許,，更重要的，則可能人為挖掘一條阻隔綜合性學(xué)習(xí)與常態(tài)課堂教學(xué)的溝痕,，這將大大窄化綜合性學(xué)習(xí)的視野,、降低它的價(jià)值。在分科課程背景下,，老師對(duì)幾個(gè)貌似簡(jiǎn)單的問(wèn)題所做的平實(shí)的提問(wèn)和點(diǎn)撥,，可能真正做到了綜合，而形式地加入音樂(lè),、舞蹈,、美術(shù)、手工,、實(shí)驗(yàn),、表演，則可能只能五花八門的熱鬧和給定的外形,，卻背離了綜合的本質(zhì),。因此，結(jié)合學(xué)生的生活,，對(duì)本學(xué)科進(jìn)行融合貫通,，就能將使學(xué)生準(zhǔn)確地領(lǐng)會(huì)本學(xué)科的思想,、方法以及本學(xué)科應(yīng)有的客觀精神,。這樣綜合性學(xué)習(xí)就作為一種常態(tài)的課堂教學(xué)，常態(tài)的學(xué)習(xí)方式,，達(dá)到綜合性學(xué)習(xí)的初衷,。 3．教師要修煉自己的學(xué)習(xí)能力、組織能力以及合作能力,、交流能力,。 項(xiàng)目學(xué)習(xí)是進(jìn)行三個(gè)對(duì)話──“與主題對(duì)話”、“與地區(qū)人們或教室里的同伴對(duì)話”,、“與自己對(duì)話”的實(shí)踐學(xué)習(xí)（參閱［日］左藤學(xué)著,，李季湄譯．靜悄悄的革命［M］．長(zhǎng)春出版社，2003：134．）,。要“對(duì)話”,，必須有人來(lái)引導(dǎo)與組織，這時(shí)老師的學(xué)習(xí)能力,、組織能力,、合作能力與交流溝通能力就顯得尤為重要了。如果利用、整合各種教學(xué)資源,，如何學(xué)習(xí),、模仿其它教師的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，如何提高自己的信息應(yīng)用能力,，以及組織學(xué)生對(duì)信息進(jìn)行搜集,、判斷、整理,、處理和發(fā)表等,，這些教師學(xué)習(xí)能力與組織能力的重要表現(xiàn)。而如何與其他同事,、家長(zhǎng),、社區(qū)及社會(huì)各界人士進(jìn)行良好溝通與合作，如何與學(xué)生進(jìn)行溝通,、評(píng)價(jià),、反饋等，這是教師合作能力及溝通交流能力的重要表現(xiàn),。 ［案例］一堂新穎有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)課（選自繆建平．一堂新穎有趣的數(shù)學(xué)活動(dòng)課［J］．中小學(xué)教材教學(xué)．北京：人民教育報(bào)刊社,，2005.3．) 2004年3月，杭州舉辦大型數(shù)學(xué)公開教學(xué)活動(dòng),，華應(yīng)龍教師應(yīng)邀上課,，他執(zhí)教的是《神奇的莫比烏斯圈》，很多拿到會(huì)議材料的老師（當(dāng)然包括我）都感到詫異：這是一節(jié)什么課,？莫比烏斯圈是什么,？它又神奇在哪兒呢？帶著這樣的心情,，我們一同觀摩了這節(jié)課,。以下是幾個(gè)實(shí)錄片斷： 一、做紙圈 師：同學(xué)們喜歡看魔術(shù)嗎,？今天老師就給大家表演一個(gè)小魔術(shù),。（表演） 師：怎么樣？今天我們也一起來(lái)玩一個(gè)魔術(shù),。請(qǐng)同學(xué)們拿出桌上的一張紙條,，說(shuō)說(shuō)這張紙條有幾個(gè)面？幾條邊,？ 生：有兩個(gè)面,、四條邊。 師：現(xiàn)在,，我們能把它變成兩個(gè)面,，兩條邊嗎,？請(qǐng)?jiān)谛〗M中討論，并嘗試操作一下,。（小組活動(dòng)后交流） 生：我們只要把這張紙條對(duì)接起來(lái),，用膠水粘好，就變成兩個(gè)面,，兩條邊了,。（邊說(shuō)邊比劃，做成了如下圖所示的樣子） 師：請(qǐng)同學(xué)們摸一摸兩條邊和兩個(gè)面……這里的兩條邊有什么特點(diǎn),？?jī)蓚€(gè)面是平面還是曲面呢,？ 生：兩條邊都變成曲線了。 生：兩個(gè)面都是曲面,，一個(gè)在里面,，一個(gè)在外面。 師：（又拿出一張同樣的紙條）現(xiàn)在我這里有一張同樣的紙條,，我先扭一扭,，旋轉(zhuǎn)180°，再對(duì)接粘貼起來(lái)（教師的操作如下圖所示）,。請(qǐng)同學(xué)們想一想,，這里的紙圈會(huì)是幾條邊、幾個(gè)面呢,？
（同學(xué)們思考片刻） 生：還是兩條邊,，兩個(gè)面。 生：我想,，可能是兩條邊,，一個(gè)面。 生：既然老師要我們猜想,，說(shuō)明可能和原來(lái)完全不一樣,。我想可能是一條邊,、一個(gè)面吧,。 （這時(shí)下面聽課的老師也禁不住撕下記錄本上的一頁(yè)紙，做成紙圈,，比劃著,，議論著，場(chǎng)上場(chǎng)下議論紛紛,。） 師：好,，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們跟我做一個(gè)這樣的紙圈，然后沿著它的曲面的中線位置用筆畫一條線,，請(qǐng)大家試試,，你發(fā)現(xiàn)什么啦,？ （同學(xué)們做成莫比烏斯圈，并沿著中線畫線） 生：我發(fā)現(xiàn)這條線一直畫下去,，與起點(diǎn)匯合了,，說(shuō)明它只有一個(gè)面。 生：我還發(fā)現(xiàn)我把這個(gè)紙圈的邊上做了一個(gè)記號(hào),，并從這個(gè)記號(hào)開始一直用手摸下去,，繞了一圈又到了做記號(hào)的地方，說(shuō)明這個(gè)紙圈只有一條邊,。 師：為什么這個(gè)紙圈會(huì)變成一條邊,、一個(gè)面呢？ 生：因?yàn)榘鸭垪l扭轉(zhuǎn)180°后,，兩條邊對(duì)接上了,，正反兩個(gè)面也連在一起了。 師：對(duì)!我們把原來(lái)沒(méi)有扭轉(zhuǎn)而對(duì)接起來(lái)的曲面叫做雙側(cè)面,。而把這種扭轉(zhuǎn)后對(duì)接的曲面叫做單側(cè)面,，這種單側(cè)面的紙圈，叫做“莫比烏斯圈”,，是由法國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯在1858年發(fā)現(xiàn)的,。你可別小瞧這個(gè)紙圈，它的奇妙之處可不少喲,。下面就一起來(lái)研究,。 二、剪紙圈 師：現(xiàn)在,，如果用剪刀沿莫比烏斯圈的中線剪開,，猜一猜將變成什么樣呢？ 生：我想它會(huì)變成兩個(gè)紙圈吧,。 生：可能會(huì)變得一張長(zhǎng)紙條了,。 生：我想也是兩個(gè)紙圈，而且兩個(gè)紙圈套在一起,。 生：是一個(gè)紙圈,。 師：同學(xué)們很積極地進(jìn)行猜想，值得表?yè)P(yáng)?，F(xiàn)在大家一起剪一剪,，看看到底是什么樣子？ （學(xué)生早已躍躍欲試了,，迫不及待地開始剪起來(lái),。下面的聽課老師也饒有興趣地嘗試著。）） 師：發(fā)現(xiàn)了什么,？有什么感受,？ 生：我猜對(duì)了,！原來(lái)真是變成了一個(gè)更大的紙圈！ 生：不可思議,，怎么會(huì)是這樣的呢,？！ …… 師：好玩吧,，還有更奇妙的呢,。大家想不想試一試？ 生：老師,，快說(shuō)吧,，怎么玩呢？ 師：好,，今天我們就來(lái)上一堂瘋狂的數(shù)學(xué)課,！現(xiàn)在同學(xué)們的桌子還有一個(gè)紙條，現(xiàn)在我們把它沿縱向三等分,，并把中間的一格涂上不同的顏色,。（如下圖）然后像剛才一樣，把它做成一個(gè)“莫比烏斯圈”,。如果沿著它的其中一條等分線剪開,，請(qǐng)你們猜一猜，要剪幾次,？結(jié)果會(huì)是怎樣的呢,？
（同學(xué)們又一次被激發(fā)，結(jié)果變成了大小兩個(gè)紙圈,，而且套在一起,！意料之外，匪夷所思?。,。⊥瑢W(xué)們始終沉浸在猜想與探求的快樂(lè)中,，并數(shù)學(xué)的神奇魔力深深吸引著,，不知不覺一堂課就這樣過(guò)去了。） ［評(píng)析與反思］數(shù)學(xué)課原來(lái)可以這樣上,！這是我聽完課的第一感受,。 這是一堂不同尋常的課,！整堂課中,，學(xué)生在“猜想―驗(yàn)證―探究”中一次又一次感受著數(shù)學(xué)的神奇魅力。學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中,，學(xué)生在智力上或美學(xué)上真正理解了數(shù)學(xué),，體驗(yàn)了數(shù)學(xué),，保持對(duì)數(shù)學(xué)的濃烈興趣，不斷增強(qiáng)學(xué)習(xí)探索的內(nèi)驅(qū)力,。整堂課中,，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣被激發(fā)了。 但在同時(shí),，“主題性項(xiàng)目學(xué)習(xí)”對(duì)教師提出了新的要求,。 1．教師要想方設(shè)法去促使學(xué)生自己想學(xué)，就必須精心設(shè)計(jì)令學(xué)生驚奇,、好奇的“項(xiàng)目學(xué)習(xí)”課堂,。 這樣的新課程、新教學(xué),、新課堂要求教師們廣聞博覽,，用文化學(xué)的思想來(lái)觀照數(shù)學(xué)教學(xué)，以心理學(xué)的思想來(lái)把握學(xué)生的學(xué)習(xí)心向,，用“以人為本”的教育理念重視審視課堂,，同時(shí)又要與新課程理念相吻合，這樣才能設(shè)計(jì)出令學(xué)生喜歡,、驚奇的數(shù)學(xué)活動(dòng)課,，讓學(xué)生徜徉其中，收獲多多,。要圍繞新課程標(biāo)準(zhǔn)精心選擇和設(shè)計(jì)高質(zhì)量的“挑戰(zhàn)性”,、“開放性”問(wèn)題；要從學(xué)生年齡特點(diǎn),、知識(shí)背景和生活實(shí)際出發(fā)進(jìn)行設(shè)計(jì),，同時(shí)要對(duì)這種探究性、開放題問(wèn)題可能出現(xiàn)的解答方案進(jìn)行研究,，做到心中有數(shù),。 2．要努力引導(dǎo)、創(chuàng)設(shè)合作與交流的良好氛圍,，并有足夠的耐心來(lái)對(duì)待學(xué)生在課堂上各種“生成”,。 這不是一朝一夕就能完成的事，它要求教師持之以恒來(lái)抓這件事,，要引導(dǎo)學(xué)生尊重,、傾聽別人的發(fā)言，要與別人合作學(xué)習(xí)交流,、討論爭(zhēng)論等等就本課而言,，許多想法已出乎老師設(shè)計(jì)之外。它要求教師在課堂上多關(guān)注的個(gè)人體驗(yàn),，允許學(xué)生以不的速度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),，切不可把某一種方法強(qiáng)加給學(xué)生作為必須使用的方法,；要為學(xué)生的思考與探索留有余地，不要急于告訴學(xué)生答案,，讓學(xué)生有充分的時(shí)間和機(jī)會(huì),，從他們的角度去思考問(wèn)題，最終解決問(wèn)題,，同時(shí)還要注意學(xué)生提出新的問(wèn)題,。只有這樣，才能發(fā)揮最大的教學(xué)效益,。 3．對(duì)于一些好的案例,，我們要努力根據(jù)本校本班學(xué)生的實(shí)際，做到“拿來(lái)主義”,，為我所用,。 由于對(duì)此課比較感興趣，禁不住它的誘惑,，我就華老師的教學(xué)進(jìn)行一些小的變動(dòng)和補(bǔ)充,，并進(jìn)行了教學(xué)嘗試。 （一）開始部分的變動(dòng) ①把那個(gè)長(zhǎng)紙條的兩面分別分成12個(gè)格子,，正面從左到右依次寫上：“從前有座山,，山上有座廟，”,。 ②保持紙條下沿不離開桌面,，手持紙條上沿將它從上面翻下來(lái)，在它的背面依次寫：“廟里有個(gè)老和尚,，他在講：”,。如下圖： 正面： 背面： ③把這張紙條扭轉(zhuǎn)180°，然后首尾對(duì)接,，粘成莫比烏斯圈,。如下圖： ④把紙圈套在右手的食指上，向左邊捋一捋,，念一念,，就成了： “從前有座山，山上有座廟,，廟里有個(gè)老和尚,，他在講：從前有座山，山上有座廟……” 師：請(qǐng)告訴我,你發(fā)現(xiàn)了什么,？ 生：我發(fā)現(xiàn)：順著紙條上的字念下去,，永遠(yuǎn)也念不完。 師：這說(shuō)明什么？ 生：這說(shuō)明原來(lái)紙條的正面和反面連接起來(lái)了,，就成了一個(gè)面,！ 師：對(duì),，以上所做的這個(gè)紙圈,，是數(shù)學(xué)家名字命名的“莫比烏斯圈”?？蓜e小看這個(gè)小小的紙帶,，雖然制作起來(lái)十分簡(jiǎn)單，卻奇特得叫人不可思議,。例如,，放一只螞蟻到紙帶上，讓它沿著圖中紙帶上所寫字的路線爬行（不經(jīng)過(guò)紙的邊沿）,，這只螞蟻就可以一起爬遍紙帶的兩個(gè)面,，而在普遍的沒(méi)有旋轉(zhuǎn)180度而粘貼的紙帶上是不可能做到的。現(xiàn)在卻可以輕而易舉地做到了,。請(qǐng)同學(xué)們重新做一個(gè)“莫比烏斯圈”,，拿起筆，用筆尖代表螞蟻,，先在紙圈上做一個(gè)記號(hào),，再沿著紙圈的中線一直畫下去，畫完后告訴老師,，你發(fā)現(xiàn)了什么,？ 生：（操作后）我發(fā)現(xiàn)螞蟻兜了一圈，又回到了原來(lái)做記號(hào)的地方,，也就是起點(diǎn),。 師：如果沿著這條中線剪下來(lái)，又會(huì)發(fā)現(xiàn)什么奇妙之處呢,？請(qǐng)同學(xué)們先猜想一下,，再剪一剪。 （二）中間部分的補(bǔ)充 中間部分我補(bǔ)充了一個(gè)探究性操作,。 按下圖一在紙上剪下兩個(gè)十字形,，紙帶寬約3厘米，長(zhǎng)可15厘米左右,，再在十字上分別畫上兩條虛線,，并在有陰影的部分涂上膠水。然后,，把兩個(gè)十字形分別粘成圖二,、圖三形狀。注意圖三中有一個(gè)紙圈扭了180°。如果把它們沿虛線剪開,，想想看會(huì)是 什么樣子,，然后再剪剪看。
（三）對(duì)結(jié)束部分的補(bǔ)充 華老師讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)“莫比烏斯圈”在日常生活中有哪些應(yīng)用,，同學(xué)們?cè)谡n堂上說(shuō)了不少,，如有學(xué)生說(shuō)可以利用它來(lái)做過(guò)山車，這樣兜了一圈又會(huì)回到起點(diǎn)了,。在此,，我作了如下補(bǔ)充： 師：現(xiàn)在，這一成果已經(jīng)在科技上得到了應(yīng)用,。例如,，有一種電腦打印機(jī)，用來(lái)打印文稿的色帶就是根據(jù)這一原理做成的,，這種色帶是經(jīng)過(guò)180度旋轉(zhuǎn)后進(jìn)行對(duì)接,，這樣可以使色帶在打印中兩面都得到充分利用，從而成倍地延長(zhǎng)其使用壽命,，大大節(jié)省了耗材（用實(shí)物投影儀展示的內(nèi)部結(jié)構(gòu),，突出顯示扭轉(zhuǎn)對(duì)接的部分）。你看它的設(shè)計(jì)多么巧妙??！ 有興趣的同學(xué)可以自行猜想“莫比烏斯圈”的用途，再大膽設(shè)計(jì),，說(shuō)不定還可以申請(qǐng)到專利呢,。
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