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(北京大學(xué)哲學(xué)系 北京 100871) 《哲學(xué)動(dòng)態(tài)》 2009年第7期 
康德與哥德爾的哲學(xué)都體現(xiàn)出較明顯的理性主義傾向,。本文試圖通過比較分析兩位理性主義者對(duì)數(shù)學(xué)命題的真的客觀性的看法,以便歸納地看科學(xué)的發(fā)展對(duì)哲學(xué)的形而上學(xué)思辨所產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)的影響,。這部分的工作并不奢求下面的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)對(duì)應(yīng)的概念做出完備的定義,只是希望通過分別展示并比較康德與哥德爾著作中對(duì)幾個(gè)術(shù)語(yǔ)的說明與使用,以減少歧義,使后文更容易理解。(1) 判斷(judgement),、命題(proposition),。康德的著作中多用到“判斷”,而在哥德爾等現(xiàn)代著作家的著作中多用到“命題”作為相應(yīng)的概念。我以為在本文討論的范圍內(nèi)兩者可以混用,或者可以(更精確地)將“判斷”與“斷定的命題”看做同義的術(shù)語(yǔ),。康德在《純粹理性批判》中也確實(shí)出現(xiàn)過將兩者對(duì)等運(yùn)用的情況,。例如, “說一個(gè)物體是有廣延的,這是一個(gè)先天確定的命題,而不是什么經(jīng)驗(yàn)判斷。”[1]分析/綜合,。繼承休謨的用法,康德也將判斷劃分為分析的與綜合的,。康德在以肯定形式的性質(zhì)判斷為例說明分析判斷與綜合判斷的區(qū)別時(shí)說道:分析判斷的謂詞屬于(或包含在)主詞的概念之中;而綜合判斷的謂詞則外在于主詞的概念,。[2]哥德爾認(rèn)為一個(gè)命題可以在兩種意義上被稱為是分析的:第一,它可以具有純形式意義,即出現(xiàn)的詞項(xiàng)能被定義,使得它實(shí)際上成為同一律的特殊形式;第二,它是“由于其中出現(xiàn)的概念的意義”而成立的,而這個(gè)概念的意義可以是不可定義的(當(dāng)然也可以是被定義的),。[3]顯然,第二種意義上的分析的命題的外延要比第一種意義上的更廣。哥德爾認(rèn)為,根據(jù)第一種意義,諸如數(shù)論,、集合論的定理(當(dāng)然不包括一階邏輯定理)都是非分析的(如果我們要求我們的語(yǔ)句和證明必須是有窮的話);而根據(jù)第二種意義,數(shù)論,、集合論的公理大多可被看做是分析的。值得一提的是,哥德爾很少在與“分析的”相對(duì)的意義上用“綜合的”這一術(shù)語(yǔ),這似乎與他的概念實(shí)在主義立場(chǎng)是相應(yīng)的,。因?yàn)?/span>在康德的用法中綜合是生成概念的途徑,。下文將就此問題更具體地闡述。弗雷格也曾對(duì)分析與綜合的區(qū)分做出過較明確的界定,?；蛟S可以幫助我們更好地理解康德與哥德爾用法之間的聯(lián)系。… …在涉及數(shù)學(xué)真的時(shí)候, … …重要的是找到證明并且把它一直追溯到初真,。如果以這種方式只達(dá)到普遍的邏輯定律和一些定義,那么就有分析的真, … …但是如果不利用那些不具有普遍邏輯性質(zhì),、而涉及特殊知識(shí)領(lǐng)域的真就不可能進(jìn)行證明的話,句子就是綜合的。[4]我們大致可以認(rèn)為哥德爾的第一種意義上的分析判斷與弗雷格的是相同的,即只包括純邏輯的(或更具體地說是一階邏輯)定理或有效式(根據(jù)一階邏輯的可靠性與完全性定理,這兩個(gè)概念是可以等價(jià)地使用的[5] ),。康德對(duì)分析判斷的界定字面上更類似于哥德爾的第二種意義,。但不難找到的反例——— “7+ 5= 12” (一個(gè)數(shù)論定理)在康德看來是綜合的,而在哥德爾的第二種意義下是分析的。因此,我認(rèn)為康德的分析判斷可能更接近于哥德爾第一種意義下的分析判斷,。但是,康德對(duì)于邏輯學(xué)的一個(gè)斷言,即邏輯學(xué)至亞里士多德以后就已經(jīng)是完成的了[6],一直為后人所詬病,。由于現(xiàn)代邏輯相對(duì)于亞里士多德邏輯大大擴(kuò)展了有效式的范圍,故嚴(yán)格的康德意義上的分析判斷的外延要小于哥德爾或者弗雷格的。但同時(shí),我們可以說康德的分析判斷的全體就是他以為的邏輯有效式的全體,。因此,不同之處僅在于康德與現(xiàn)代邏輯學(xué)者對(duì)邏輯的范圍的認(rèn)識(shí)差異,。而我以為,以現(xiàn)代一階邏輯無可辯駁的顯明性及一系列完美的性質(zhì),縱使康德也不得不更新其對(duì)純邏輯的范圍理解。如此,我們大概可以將康德,、弗雷格及哥德爾的第一種意義上的分析判斷歸為一類,而將哥德爾的第二種意義作為不同的一類,。這里需要指出的是,在弗雷格的界定中, “邏輯”可能在更廣的意義上被使用,即可能包括我們今天的關(guān)于集合的一些公理,。在這樣的解釋下,弗雷格的界定就更接近于哥德爾的第二種意義了。但這并不妨礙對(duì)兩類界定的區(qū)分,。另外,值得一提的是康德著作中作為動(dòng)詞出現(xiàn)的“分析”與“綜合”,。我們的知識(shí)來自于內(nèi)心的兩個(gè)基本來源,其中第一個(gè)是感受表象的能力(對(duì)印象的接受性),第二個(gè)是通過這些表象來認(rèn)識(shí)一個(gè)對(duì)象的能力(概念的自發(fā)性); … …所以直觀和概念構(gòu)成我們一切知識(shí)的要素, … …我們?nèi)羰窃敢獍盐覀兊膬?nèi)心在以某種方式受到刺激時(shí)感受表象的這種接受性叫作感性的話,那么反過來,那種自己產(chǎn)生表象的能力,或者說認(rèn)識(shí)的自發(fā)性,就是知性。[7]但我所理解的綜合在最廣泛的含義上是指把各種表象相互加在一起并將它們的雜多性在一個(gè)認(rèn)識(shí)中加以把握的行動(dòng),。如果雜多不是經(jīng)驗(yàn)性地,、而是先天地被給予的(如時(shí)間和空間中的雜多),這樣一種綜合就是純粹的。在對(duì)我們的表象進(jìn)行任何分析之前,這些表象必須先已被給予了,并且任何概念按內(nèi)容來說都不可能由分析產(chǎn)生,。[8]一般雜多的聯(lián)結(jié)… …是表象力的一種自發(fā)性行動(dòng), … …不論它是直觀雜多的聯(lián)結(jié)還是各種概念的聯(lián)結(jié),而在前一種聯(lián)結(jié)中也不論它是經(jīng)驗(yàn)性直觀雜多的聯(lián)結(jié)還是非經(jīng)驗(yàn)性直觀雜多的聯(lián)結(jié),都是一個(gè)知性行動(dòng),我們將用綜合這個(gè)普遍名稱來稱呼它,以借此同時(shí)表明,任何我們自己沒有事先聯(lián)結(jié)起來的東西,我們都不能表象為在客體中被聯(lián)結(jié)了的,而且在一切表象之中,聯(lián)結(jié)是唯一的一個(gè)不能通過客體給予,、而只能由主體自己去完成的表象,因?yàn)樗侵黧w的自動(dòng)性的一個(gè)行動(dòng)。[9]從上面三段引文可以看出,綜合所作用其上的是各種表象,表象包括直觀與概念,而綜合活動(dòng)的一種產(chǎn)物就是概念,。分析在一定程度上是綜合的逆活動(dòng),它不產(chǎn)生概念,而是從被給予的表象(如概念)出發(fā),分析所得的是原表象本來就包含的而不是新產(chǎn)生的。如上文所述,康德所謂的概念是對(duì)直觀,、概念等諸表象進(jìn)行綜合的產(chǎn)物。從上面的引文中還能看出,一般綜合中有一類是純粹綜合,。由于完全不涉及經(jīng)驗(yàn)性雜多,該類綜合所產(chǎn)生的概念就是先天概念,。而先天概念又分兩類。“我們現(xiàn)在已經(jīng)有了完全不同種類的兩類概念,他們?cè)陔p方都完全先天地與對(duì)象發(fā)生關(guān)系這點(diǎn)上倒是相互一致的,這就是作為感性形式的空間和時(shí)間的概念以及作為知性概念的范疇,。” [10]與康德字面上類似構(gòu)造主義的對(duì)概念的用法不同,哥德爾甚至是在非常強(qiáng)的實(shí)在主義意義上使用概念這一術(shù)語(yǔ)的,。哥德爾相信鮮明的概念本來就在那里,只是我們對(duì)它們的知覺有所模糊而已。他甚至猜想我們具有某種肉體器官以把握概念等抽象印象,這也正是我們對(duì)把握概念有弱點(diǎn)的原因,。[11]哥德爾采取如此強(qiáng)的實(shí)在主義立場(chǎng)在數(shù)學(xué)實(shí)踐中是有其理由的,。羅素為解決羅素悖論曾提出惡性循環(huán)原則———沒有一個(gè)總體能包含只能用這總體來定義的那些成員,或者牽涉(involving)或預(yù)設(shè)(presuppo-sing)這總體的那些成員。[12]根據(jù)這個(gè)原則非直謂定義(指通過包含對(duì)象α的總體,或必須由α定義的對(duì)象,對(duì)對(duì)象α所做的定義)是不被允許的,。然而取消非直謂定義的系統(tǒng)將無法導(dǎo)出經(jīng)典數(shù)學(xué)的一部分,。這意味著,惡性循環(huán)原則與經(jīng)典數(shù)學(xué)是沖突的。哥德爾選擇站在了經(jīng)典數(shù)學(xué)的立場(chǎng)上,認(rèn)為惡性循環(huán)原則為假,。其根據(jù)就在于,如果概念是由我們構(gòu)造的,我們自然無法在構(gòu)造某概念a之前先構(gòu)造了以a為元素的概念A(yù);但如果那些概念是獨(dú)立于我們的構(gòu)造而本來就在那里,就不存在無法解釋的問題了,。哥德爾的概念實(shí)在主義是相對(duì)于構(gòu)造主義(即概念等所謂抽象實(shí)體是我們主觀構(gòu)造的產(chǎn)物)而言的。康德的概念雖可看做是綜合的產(chǎn)物,但與上述意義上的構(gòu)造主義是否相同還是值得商榷的,后文中也將有進(jìn)一步的涉及,。根據(jù)上文所述,在康德的用法中,直觀與概念都是表象,是構(gòu)成我們知識(shí)的兩種并列的要素,。直觀是我們感性(接收性)提供的表象;概念是知性(自發(fā)性)提供的表象,。從之前及下面這段引文我們大概可以進(jìn)一步理解康德的直觀與概念的關(guān)系:概念可以僅通過自我迭代形成概念(即“派生概念”,這在內(nèi)容上并不帶來新的東西)[13],也可以僅對(duì)直觀的綜合形成新的概念,或由對(duì)直觀與概念綜合而形成概念。這有些類似于我們根據(jù)集合論公理提供的方法構(gòu)造集合的過程,。我們可以由 構(gòu)造“純集合”的結(jié)構(gòu),也可以在引入元素a的前提下構(gòu)造集合{a}或集合{ },。直觀只是在對(duì)象被給予我們時(shí)才發(fā)生… …,。通過我們被對(duì)象所刺激的方式來獲得表象的這種能力(接收能力),就叫做感性。所以,借助于感性,對(duì)象被給予我們,且只有感性才給我們提供出直觀;但這些直觀通過知性而被思維,而從知性產(chǎn)生出概念,。[14]直觀可分為經(jīng)驗(yàn)性直觀及純直觀,。“經(jīng)過感覺與對(duì)象相關(guān)的直觀”叫經(jīng)驗(yàn)性直觀;而“一般感性直觀的純粹形式將會(huì)先天地在內(nèi)心中被找到, … …感性的這種純形式本身也叫做純直觀?！?[15]值得一提的是,直觀的純形式與純直觀是同一個(gè)東西,。前者強(qiáng)調(diào)它是直觀得以產(chǎn)生的前提條件(時(shí)間是一切直觀的形式條件;空間是一切外部直觀的形式條件[16] );后者則隱含著它本身也可以作為不依賴經(jīng)驗(yàn)而先天地產(chǎn)生的表象(以被綜合為概念)。由于沒有現(xiàn)象(即“一個(gè)經(jīng)驗(yàn)性的直觀的未被規(guī)定的對(duì)象” [17] ),所以純直觀的產(chǎn)生必須依靠想象力,?！跋胂罅κ前岩粋€(gè)對(duì)象甚至當(dāng)它不在場(chǎng)時(shí)也在直觀中表象出來的能力?！毕胂罅Φ倪@種活動(dòng)稱為“想象力的先驗(yàn)綜合”,它是知性對(duì)感官的刺激行動(dòng),由此“從內(nèi)部,、就按照感性直觀形式所可能給予它的雜多而言來規(guī)定感性”。[18]而這種純粹的活動(dòng)提供的正是上文提到的“作為感性形式的空間和時(shí)間的概念”,。這種先天的表象正是數(shù)學(xué)知識(shí)的要素,。哥德爾對(duì)直覺的用法(尤其在與概念的關(guān)系上)和康德有很大的不同。哥德爾的(數(shù)學(xué))直覺可能是與我們對(duì)物理對(duì)象的感覺并列的某種能力,。而(數(shù)學(xué))直覺的對(duì)象也是與物理對(duì)象并列的抽象對(duì)象(概念等),。盡管他們遠(yuǎn)離于感官經(jīng)驗(yàn),我們確乎還是具有一種對(duì)集合論對(duì)象的知覺。這可以從那些公理強(qiáng)迫我們認(rèn)為它們是真的這一事實(shí)看出,。我不明白,為什么我們對(duì)這類知覺,即對(duì)數(shù)學(xué)直覺的信心就應(yīng)該比感性知覺(senseperception)的信心小,。這種感性知覺促使我們建立起物理學(xué)理論, … …數(shù)學(xué)直覺并不需要被設(shè)想成一種能給出對(duì)有關(guān)對(duì)象的直接知識(shí)的能力。倒似乎是,像在物理經(jīng)驗(yàn)中的情形那樣,我們也是在被直接給出的別的某種東西的基礎(chǔ)上構(gòu)成我們對(duì)那些對(duì)象的觀念(ideas)的,。[19]值得一提的是,根據(jù)上述引文, (抽象)對(duì)象通過(數(shù)學(xué))直覺形成觀念,。這個(gè)觀念可能與康德所謂的直觀或概念更接近。但與其他實(shí)在主義者一樣,這里遇到了一個(gè)認(rèn)識(shí)論的難題,即如何確?！坝^念”是對(duì)抽象對(duì)象的客觀的反映,。這在哥德爾本人看來也是很難做到的。下一部分將對(duì)此做進(jìn)一步的分析,。本文中所要討論的“客觀性”特指數(shù)學(xué)命題的真的客觀性,。類似“真”,我們很難給出一個(gè)“客觀”的精確定義,因此難以給出諸如“某命題的真是客觀的”之類命題的一個(gè)證明。[20]但我們依然可以試圖對(duì)數(shù)學(xué)命題的真的客觀性做一個(gè)說明或闡釋,。對(duì)此,康德,、哥德爾等著作家常用的說明方式大概可概括如下：給出某類真命題的來源、獲得方式或?qū)δ愁惷}的真的判定的依據(jù)及方式的解釋,并指出通過這些方式只可能得到(某種程度上)唯一確定的真值,。下文將分別簡(jiǎn)述康德與哥德爾對(duì)數(shù)學(xué)真命題的來源或數(shù)學(xué)真的判定方式的說明,并加以比較,。康德認(rèn)為“真正的數(shù)學(xué)命題”是先天綜合判斷。它們的真不能僅僅從對(duì)命題中概念的分析而依據(jù)矛盾律得出,我們還必須借助直觀,但這種直觀不包含任何經(jīng)驗(yàn)性的雜多,即純直觀。[21]時(shí)間和空間是僅有的兩種純直觀,。[22]時(shí)間與空間直觀通過想象力的先驗(yàn)綜合成為純粹感性概念,進(jìn)而形成先天綜合判斷,。純粹感性概念的具體產(chǎn)生過程大致如下:想象力的先天作用(知性對(duì)感性能力的刺激)產(chǎn)生感性概念的圖型,進(jìn)而得出諸如“三角形” (一種空間概念)之類的純粹感性概念。[23]由于一切對(duì)象都僅僅依照感性直觀形式,即時(shí)間空間(空間僅規(guī)定外部對(duì)象),才可能被給予我們[24];而一切感性直觀只有在范疇的條件下才能聚集到我這個(gè)意識(shí)中來[25],。所以我們關(guān)于時(shí)間,、空間的知識(shí)(即數(shù)學(xué)知識(shí))對(duì)于一切經(jīng)驗(yàn)的運(yùn)用具有客觀性。對(duì)此,康德總結(jié)如下:以這樣一種方式,當(dāng)我們把先天直觀的形式條件,把想象力的綜合,以及這種綜合在先驗(yàn)統(tǒng)覺中的必然統(tǒng)一性,與一般可能的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)發(fā)生關(guān)聯(lián),并且說:一般經(jīng)驗(yàn)可能性的諸條件同時(shí)就是經(jīng)驗(yàn)對(duì)象之可能性的諸條件,因而它們?cè)谝粋€(gè)先天綜合判斷中擁有客觀有效性———這時(shí),先天綜合判斷就是可能的,。[26]值得注意的是,康德主張時(shí)間,、空間概念的先驗(yàn)觀念性與經(jīng)驗(yàn)實(shí)在性。[27]同時(shí)范疇在事物的知識(shí)上也只能運(yùn)用于(可能)經(jīng)驗(yàn)的對(duì)象,。[28]所以在康德看來,數(shù)學(xué)的真僅僅在(可能)經(jīng)驗(yàn)的范圍中是客觀的,而在超出經(jīng)驗(yàn)的領(lǐng)域則不再具有客觀性,。由于對(duì)概念采取強(qiáng)的實(shí)在主義立場(chǎng),哥德爾認(rèn)為存在實(shí)在的數(shù)學(xué)真。例如他認(rèn)為對(duì)連續(xù)統(tǒng)假設(shè)關(guān)于現(xiàn)今集合論公理的一致性證明遠(yuǎn)不是這一問題的解決,他認(rèn)為連續(xù)統(tǒng)假設(shè)必須或真或假,。[29]同時(shí),基于概念實(shí)在主義的立場(chǎng),哥德爾本人傾向于在上文所提的在第二種意義上使用“分析”一詞,概念分析可以是決定數(shù)學(xué)公理的一種有效的手段,。在提到數(shù)理邏輯尚未如人們所愿地提供數(shù)學(xué)便利的事實(shí)時(shí),哥德爾曾寫道:因?yàn)槿绻覀兊姆治鲋两襁€不足以建立公理,那么人們?cè)跄芷谕粚?duì)出現(xiàn)的概念做分析就能系統(tǒng)地解決數(shù)學(xué)問題呢?但是無需放棄希望。[30]王浩認(rèn)為戴德金所引進(jìn)的“皮亞諾公理”就是“哥德爾所謂通過概念分析來決定公理的一個(gè)最精彩的例證,。[31]但現(xiàn)實(shí)的情況是,人們對(duì)概念的分析并不如所期望的那樣可以直接把握客觀的數(shù)學(xué)真,。正如上文所提到的,在分析之前我們首先要對(duì)概念有所直覺。在哥德爾看來這種直覺甚至可能是人的某個(gè)肉體器官的功能,因而是有所限制的,。例如,哥德爾認(rèn)為羅素悖論的出現(xiàn)就是因?yàn)槲覀冞€沒有“充分清晰地理解`概念'和`類'的概念”。[32]這樣,在有關(guān)數(shù)學(xué)真的客觀性問題上就遇到了與物理學(xué)等經(jīng)驗(yàn)科學(xué)同樣的認(rèn)識(shí)論難題,即我們?nèi)绾未_保我們對(duì)客觀實(shí)在對(duì)象的認(rèn)識(shí)確實(shí)描繪了該對(duì)象,或至少是收斂于那個(gè)客觀的事實(shí),。因?yàn)槿绻覀兊恼J(rèn)識(shí)是發(fā)散的話,我們假定的客觀實(shí)在的對(duì)象將是毫無意義的,。對(duì)此,哥德爾提出在“數(shù)學(xué)直覺之外,存在數(shù)學(xué)公理真理性的另一(雖然只是或然的)判據(jù),即它們?cè)跀?shù)學(xué)中,或許還可以加上在物理學(xué)中,是富有成果的”。[33]具體的做法是,對(duì)于那些“可驗(yàn)證的”推論,即不使用新公理也能被證明的推論,在運(yùn)用新公理后可以得到簡(jiǎn)單得多的證明或更容易被發(fā)現(xiàn),那么我們就應(yīng)該承認(rèn)該公理的真是“合理地概然的”,。[34]這是一種歸納的方法,即通過歸納新公理在(原有公理)已知領(lǐng)域的“成功”,預(yù)測(cè)它在未知領(lǐng)域也將“成功”,。這種方法在經(jīng)驗(yàn)科學(xué)領(lǐng)域當(dāng)然有普遍的運(yùn)用,但是我們依然很難對(duì)這種方法給出更高級(jí)的合理性證明。（老蟬注：可能后來科恩發(fā)明的“力迫法”可以給出這種證明）正如上文所指出的,康德的數(shù)學(xué)真的客觀性在于一切現(xiàn)象都只能依據(jù)我們的時(shí)空純直觀才能被給予,因而經(jīng)驗(yàn)必須符合數(shù)學(xué)知識(shí),。這就是說,至少相對(duì)于自然科學(xué)(后天的),數(shù)學(xué)真(先天的)是客觀必然的,毋庸置疑的,。自然科學(xué)的理論必須符合數(shù)學(xué)知識(shí)。但對(duì)于任何超出經(jīng)驗(yàn)之外的表象,由于時(shí)空概念是“先驗(yàn)的觀念的”,數(shù)學(xué)知識(shí)就成了完全主觀的東西,而數(shù)學(xué)真不再具有客觀性了,。在那個(gè)時(shí)代,康德可以認(rèn)為他對(duì)“數(shù)學(xué)如何可能”的回答足夠令人滿意了,。然而,數(shù)學(xué)等學(xué)科本身的發(fā)展,帶來了新的嚴(yán)重的問題。首先是非歐幾何的出現(xiàn)以及它與后來物理學(xué)觀測(cè)及理論解釋的吻合,這使得人們更傾向于相信原第五公設(shè)為假,。而這與康德關(guān)于幾何學(xué)是先天綜合的說法是不符的,。對(duì)康德來說,可能的應(yīng)對(duì)方式有兩種:一種是斷言那些物理的經(jīng)驗(yàn)判斷為假,堅(jiān)持數(shù)學(xué)是先天地規(guī)定經(jīng)驗(yàn)的,不接受物理等經(jīng)驗(yàn)判斷的校正;另一種是放棄幾何命題與算術(shù)命題在客觀性上具有同等地位的立場(chǎng),就像之后弗雷格的做法———試圖證明算術(shù)真是分析的,但認(rèn)為幾何真是綜合的。其次是康托爾集合論的出現(xiàn),它以非常令人信服的方式在數(shù)學(xué)中引入可以操作的實(shí)無窮,。雖然遇到了諸如悖論,、連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的不可解性等問題以及一些反對(duì)的意見,但人們?nèi)灾饾u傾向于接受這樣的數(shù)學(xué),并逐一解決遇到的問題。如果我們相信經(jīng)驗(yàn)世界是有窮的話,那么根據(jù)康德的觀點(diǎn),這種數(shù)學(xué)將不具有客觀性。另外,我們似乎也可以從康德的著作中發(fā)現(xiàn)他直接反對(duì)實(shí)無窮的一些蛛絲馬跡,。康德認(rèn)為空間,、時(shí)間作為直觀表象是無限的, “但沒有任何概念本身能夠被設(shè)想為仿佛把無限數(shù)量的表象都包含于其中的”。[35]既然直觀與概念同是知識(shí)的必備要素,那么我們的知識(shí)就不能包括對(duì)無窮的東西認(rèn)識(shí),。與康德避而不談本體論不同,哥德爾認(rèn)為存在抽象對(duì)象,。無論這種存在是在何種意義上的存在,可以明確的是哥德爾的抽象對(duì)象是在與物理對(duì)象相同的(或不弱于的)意義上存在的,是同等程度地(或至少不更弱地)獨(dú)立于我們的主觀構(gòu)造的。與此相應(yīng)的是,我們也有與對(duì)物理對(duì)象的感覺相并列的數(shù)學(xué)直覺,并且我們對(duì)數(shù)學(xué)直覺的信心至少不應(yīng)小于感覺,。這樣,我們所得出的數(shù)學(xué)真命題的客觀性也不會(huì)比物理領(lǐng)域的差,。同時(shí),抽象對(duì)象相對(duì)物理對(duì)象的獨(dú)立(同等意義上的)存在,以及感覺與數(shù)學(xué)直覺相對(duì)獨(dú)立的關(guān)系[36],使得數(shù)學(xué)完全可以超出物理經(jīng)驗(yàn)的有窮領(lǐng)域并且其客觀性不會(huì)有所減弱。哥德爾所提到的對(duì)某個(gè)命題的“成功”的歸納法就是一種數(shù)學(xué)理論不斷開拓前進(jìn)的方法,。當(dāng)然,哥德爾同樣也是在相對(duì)物理學(xué)中的方法并不弱的意義下認(rèn)可它的可靠性的,。綜上,雖然我們?nèi)圆荒芙^對(duì)地?cái)喽档屡c哥德爾所指的數(shù)學(xué)的真的客觀性的意義,但我們大概可以得出如下結(jié)論:康德的數(shù)學(xué)的真的客觀性僅限于有窮數(shù)學(xué),在可能經(jīng)驗(yàn)的領(lǐng)域里數(shù)學(xué)的客觀性是強(qiáng)于自然科學(xué)的客觀性的;哥德爾的數(shù)學(xué)的真的客觀性只是不弱于自然科學(xué)的客觀性的,并且它不限于有窮數(shù)學(xué)。四 通過本例窺探學(xué)科進(jìn)展對(duì)哲學(xué)觀點(diǎn)的影響粗略地看,康德與哥德爾都是他們那個(gè)時(shí)代的理性主義者,。他們都希望能給他們所處時(shí)代的知識(shí)確立一個(gè)理性的堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ),。但是他們對(duì)于數(shù)學(xué)真的客觀性問題卻最終得出了不盡相同的結(jié)論。這是由于數(shù)學(xué)學(xué)科基礎(chǔ)領(lǐng)域研究的進(jìn)展對(duì)哲學(xué)產(chǎn)生了無法回避的影響,。《純粹理性批判》的課題包括“純粹數(shù)學(xué)是如何可能的”及“形而上學(xué)作為科學(xué)是如何可能的”,。[37]但在康德看來,與形而上學(xué)不同,純粹數(shù)學(xué)在他那個(gè)時(shí)代是“現(xiàn)實(shí)的存在”的了。[38]他所需要做的僅僅是對(duì)這一實(shí)現(xiàn)了的可能性做一個(gè)說明,。甚至,仍在黑暗中摸索的形而上學(xué)也需要把數(shù)學(xué)作為范例以走上“一門科學(xué)的可靠道路”,。[39]然而在哥德爾的時(shí)代,由于上文提及的各領(lǐng)域的進(jìn)展,人們對(duì)康德所以為的“純粹數(shù)學(xué)” (尤其在無窮領(lǐng)域)的信心顯然有所減弱。并且,哥德爾第二不完全性定理斷絕了試圖讓數(shù)學(xué)(形式系統(tǒng))自己解決自身的真的合法性的希望,即使在弱的(一致性的)意義上,。[40]而哥德爾希望同時(shí)捍衛(wèi)經(jīng)典數(shù)學(xué)的客觀性以及集合論等領(lǐng)域中一些開放問題的客觀意義,。他必須從諸數(shù)學(xué)之外來尋找客觀性的說明。如上文所述,他所找到的,是相對(duì)于物理學(xué)的客觀性的說明,。當(dāng)然,學(xué)科的進(jìn)步并不能證明或證否某種哲學(xué)觀點(diǎn),。正如,物理學(xué)的研究成果并不能直接看做歐幾里得第五公設(shè)為假的證明。面對(duì)數(shù)學(xué)一些進(jìn)展,哲學(xué)仍可以選擇堅(jiān)持原有觀點(diǎn)并且找出一些理由拒絕承認(rèn)這些進(jìn)展的合法性,。正如畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的虔誠(chéng)成員面對(duì)無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)所做的以及直覺主義者對(duì)實(shí)無窮的拒絕那樣,這一點(diǎn)就理論的一致性要求(因?yàn)槲覀兊拇_不能對(duì)哲學(xué)理論提出過多的要求)來看應(yīng)該沒什么問題,。但現(xiàn)實(shí)是,更多的哲學(xué)觀點(diǎn)會(huì)試圖接納新的東西,甚至不惜弱化自己的立場(chǎng),正像康德與哥德爾對(duì)數(shù)學(xué)真的客觀性的看法的差異所體現(xiàn)的那樣。注 釋 [ 1][ 7][ 8][ 9][ 10][ 14][ 26]引自康德:《純粹理性批判》,鄧曉芒譯,人民出版社, 2004,第9頁(yè),B 11-B 12;第51- 52 頁(yè),B 74-B 75;第69- 70頁(yè),B 103;第87- 88頁(yè),B 129-B 130;第80頁(yè),B 118;第25頁(yè),B 33;第151頁(yè),B 197,。 [ 2][ 6][ 13][ 15][ 16][ 17][ 18][ 21][ 22][ 23][ 24][ 25][ 27][ 28][ 35][ 37][ 38][ 39]參見康德:《純粹理性批判》, 鄧曉芒譯,人民出版社, 2004,第8頁(yè),B 10;第10頁(yè),BVIII;第73- 74頁(yè),B 107-B 108;第26頁(yè),B 34;第37頁(yè),B 50; 第25頁(yè),B 34;第101- 103頁(yè),B 151-B 155;第12- 13頁(yè),B 15-B 16;第41頁(yè),B 58;第101- 103頁(yè),B 151-B 155及 第140- 141頁(yè),B 180- 181;第37頁(yè),B 50-B 51;第95頁(yè),B 95;第32頁(yè),B 44及第38頁(yè),B 52- 53;第97- 98頁(yè), B 146- 147;第29頁(yè),B 39-B 40及第35頁(yè),B 47-B 48;第15- 17頁(yè),B 20-B 23;第86頁(yè),B 127-B 128;序第14- 15 頁(yè),BXV-BXVI,。 [ 3][ 12][ 30][ 32]歌德爾:《羅素的數(shù)理邏輯》,《數(shù)學(xué)哲學(xué)》,保羅·塞拉夫、普特南編,朱水林等譯,商務(wù)印書館, 2003,第540頁(yè);第526頁(yè);第541頁(yè);第540頁(yè),。 [ 4]引自弗雷格:《算術(shù)基礎(chǔ)》,王路譯,商務(wù)印書館, 1998,第13頁(yè),。 [ 5]參見Enderton.H.B.:《數(shù)理邏輯》 (英文版·第2版),人民郵電出版社, 2006,第131- 141頁(yè)。 [ 11][ 31][ 36]參見王浩(康宏逵譯):《哥德爾》,上海世紀(jì)出版集團(tuán), 2002,第238- 239頁(yè);第250頁(yè);第237頁(yè),。 [ 19][ 29][ 33][ 34]歌德爾:《康托爾連續(xù)統(tǒng)問題是什么?》,《數(shù)學(xué)哲學(xué)》,保羅·塞拉夫,、普特南編,朱水林等譯,商務(wù) 印書館, 2003,第560頁(yè);第551頁(yè);第561頁(yè);第552- 553、561頁(yè)。 [ 20]哥德爾提倡“理性主義的樂觀主義”,。他大概相信未來可以得到一種“作為精密理論的哲學(xué)”,。這種哲學(xué)具有一 個(gè)初始概念的完備清單,根據(jù)這些概念可以定義較復(fù)雜的復(fù)合概念,并找出一組公理,由此可推演出其他真命題。 據(jù)哥德爾自己所說,他的想法與萊布尼茨所期望的形而上學(xué)系統(tǒng)相符,?？梢哉f他對(duì)體系哲學(xué)的信心甚至不弱于 康德(康德關(guān)于體系哲學(xué)的看法參見《純粹理性批判》,第25頁(yè),BXXXVI),這在他所處的那個(gè)時(shí)代是較罕見的。 參見《哥德爾》,上海世紀(jì)出版集團(tuán), 2002,第241,、242,、246頁(yè)。 [ 40]哥德爾第二不完全性定理參見《數(shù)理邏輯》 (英文版·第2版),第266- 268頁(yè),。希爾伯特計(jì)劃及哥德爾不完全 性定理對(duì)其的意義參見Shapiro,S.,ThinkingaboutMathematics:ThePhilosophyofMathematics,UnitedStates,Oxford UniversityPressInc., 2000,第165- 167頁(yè),。 (責(zé)任編輯 徐 蘭)
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