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秩序理論 是的一個(gè)分支 數(shù)學(xué) 它調(diào)查了使用的直觀的訂單概念 二元關(guān)系,。它提供了一個(gè)正式的框架來(lái)描述諸如“小于此數(shù)量”或“此數(shù)量之前”之類的語(yǔ)句。本文介紹了該領(lǐng)域并提供了基本定義,。訂單理論術(shù)語(yǔ)的列表可以在 秩序理論詞匯.

背景和動(dòng)機(jī)

在數(shù)學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中無(wú)處不在,，例如 計(jì)算機(jī)科學(xué)。一階常在 小學(xué) 是訂單上的標(biāo)準(zhǔn)訂單 自然數(shù) 例如“ 2小于3”,，“ 10大于5”或“ Tom的cookie是否少于Sally,？”。這種直觀的概念可以擴(kuò)展到其他訂單集上的訂單 數(shù)字,， 如那個(gè) 整數(shù) 和 實(shí)數(shù),。大于或小于另一個(gè)數(shù)字的想法是 數(shù)字系統(tǒng) （與之比較 數(shù)字系統(tǒng)）（通常也對(duì)實(shí)際 區(qū)別 兩個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，這不是按順序給出的）,。其他常見(jiàn)的訂購(gòu)示例是 按字母順序 詞典中的單詞和 家系的 的財(cái)產(chǎn) 線性下降 在一群人中,。

順序的概念非常籠統(tǒng),，超出了具有直接,，直觀的順序或相對(duì)數(shù)量感覺(jué)的上下文。在其他情況下,，訂單可能包含遏制或?qū)I(yè)化的概念,。抽象地，這種類型的訂單等于 子集關(guān)系,，例如“兒科醫(yī)生 是 醫(yī)師,，“ 和 ”界 只是特殊情況 橢圓.'

某些順序（例如自然數(shù)上的“小于”和單詞上的字母順序）具有特殊的屬性：每個(gè)元素都可以是 比較的 對(duì)于任何其他元素，即小于（早于）,，大于（晚于）或與之相同,。但是，許多其他命令則沒(méi)有,?？紤]例如一個(gè)集合的子集順序 套：盡管鳥(niǎo)和狗都是動(dòng)物的子集,，但鳥(niǎo)和狗都不構(gòu)成彼此的子集。那些像“子集”關(guān)系那樣存在的命令 無(wú)與倫比 元素被稱為 部分訂單;每對(duì)元素可比的訂單是 總訂單.

順序理論反映了從一般情況下此類示例產(chǎn)生的順序的直覺(jué),。這是通過(guò)指定關(guān)系≤必須為數(shù)學(xué)順序的屬性來(lái)實(shí)現(xiàn)的,。這種更抽象的方法很有道理，因?yàn)槿藗兛梢栽谝话闱闆r下得出許多定理,，而不必關(guān)注任何特定順序的細(xì)節(jié),。然后，這些見(jiàn)解可以輕松地轉(zhuǎn)移到許多不太抽象的應(yīng)用程序中,。

在訂單的廣泛實(shí)際使用的推動(dòng)下,，已定義了許多特殊種類的有序集，其中一些已成長(zhǎng)為自己的數(shù)學(xué)領(lǐng)域,。另外,，訂購(gòu)理論并不將自己局限于各種訂購(gòu)關(guān)系，而是認(rèn)為是適當(dāng)?shù)摹?職能 它們之間,。函數(shù)階數(shù)理論性質(zhì)的一個(gè)簡(jiǎn)單示例來(lái)自 分析 在哪里 單調(diào) 功能經(jīng)常被發(fā)現(xiàn),。

基本定義

本節(jié)將基于以下概念介紹有序集 集合論, 算術(shù)， 和 二元關(guān)系.

部分訂購(gòu)的套裝

訂單是特殊的二進(jìn)制關(guān)系,。假設(shè) P 是一個(gè)集合,，而≤是關(guān)于 P。那么≤是一個(gè) 偏序,， 要不就 命令 如果預(yù)期的意思是明確的,，如果是 反身的, 反對(duì)稱， 和 及物,，即所有人 一種, b 和 C 在 P,，我們有：

一種 ≤ 一種 （反射性）

如果 一種 ≤ b 和 b ≤ 一種 然后 一種 = b （反對(duì)稱）

如果 一種 ≤ b 和 b ≤ C 然后 一種 ≤ C （傳遞性）。

一套 偏序 在它上被稱為 部分有序集, 姿勢(shì),， 要不就 有序集 如果預(yù)期含義清楚,。通過(guò)檢查這些屬性，可以立即看到眾所周知的訂單 自然數(shù), 整數(shù), 有理數(shù) 和 實(shí)數(shù) 都是以上意義上的命令,。但是,，這些示例還具有以下附加特性： 連接體，即所有人 一種 和 b 在 P,，我們有：

一種 ≤ b 或者 b ≤ 一種 （連接性）,。

連接部分偏序稱為 總訂單。這些命令也可以稱為 線性訂單 或者 鏈條,。盡管許多經(jīng)典訂單是線性的,，但 子集 集合中的訂單提供了一個(gè)示例，但實(shí)際情況并非如此,。另一個(gè)例子是可除性（或“是-因素-of“）關(guān)系|,。對(duì)于兩個(gè)自然數(shù) ? 和 米,， 我們寫(xiě) ?|米 如果 ? 分界 米 沒(méi)有剩余?？梢院苋菀椎乜闯鲞@產(chǎn)生了偏序,。在任何集合上的恒等關(guān)系=也是偏序，其中每?jī)蓚€(gè)不同的元素都是不可比的,。它也是唯一的關(guān)系，既是偏序又是 等價(jià)關(guān)系,。姿勢(shì)的許多高級(jí)屬性主要是針對(duì)非線性階的,。

可視化擺放器

哈斯圖 60個(gè)除數(shù)的集合中的一個(gè)，按除數(shù)進(jìn)行部分排序

哈斯圖 可以直觀地表示部分排序的元素和關(guān)系,。這些都是 繪圖圖 在哪里 頂點(diǎn) 是位姿的元素,，排序關(guān)系由兩個(gè) 邊緣 以及頂點(diǎn)的相對(duì)位置。訂單是自下而上繪制的：如果是元素 X 小于（大于） ? 然后存在一條從 X 至 ? 那是向上的,。通常,，連接元件的邊緣必須相互交叉，但必須決不能將元件放置在邊緣內(nèi),。一個(gè)有啟發(fā)性的練習(xí)是繪制小于或等于13的自然數(shù)集的Hasse圖,。 （這 分界 關(guān)系）。

甚至一些無(wú)限集也可以通過(guò)疊加一個(gè) 省略 （...）在有限子階上,。這對(duì)于自然數(shù)效果很好,，但對(duì)于實(shí)數(shù)卻無(wú)效，因?yàn)閷?shí)數(shù)不存在大于0的立即數(shù),。然而,，很多時(shí)候人們可以得到與類似圖表有關(guān)的直覺(jué)^[模糊的].

訂單中的特殊元素

在部分排序的集合中,，可能會(huì)有一些元素扮演特殊角色,。最基本的示例由 最小元素 的 姿勢(shì)。例如1是 最小元素 正整數(shù)和 空集 是子集順序下的最小集合,。正式地,，一個(gè)元素 米 是最小元素，如果：

米 ≤ 一種,，對(duì)于所有元素 一種 的順序,。

即使不考慮數(shù)字，也經(jīng)常在最小元素中找到符號(hào)0,。但是,，在數(shù)字集的順序中，此表示法可能不合適或模棱兩可,，因?yàn)閿?shù)字0并不總是最小的,。上面的除數(shù)順序|給出了一個(gè)示例,，其中1是最小元素，因?yàn)樗运衅渌麛?shù)字,。相反,，0是除以所有其他數(shù)字的數(shù)字。因此,，這是 最大的要素 的順序,。最小和最大元素的其他常用術(shù)語(yǔ)是 底部 和 最佳 或者 零 和 單元.

最少和 最重要的元素 可能不存在，如實(shí)數(shù)示例所示,。但是,，如果它們存在，它們總是唯一的,。相反,，考慮除數(shù)關(guān)系|在集合{2,3,4,5,6}上。盡管此集合既沒(méi)有頂部也沒(méi)有底部,，但是元素2,、3和5在它們下面都沒(méi)有元素，而元素4,、5和6在上面都沒(méi)有元素,。這樣的元素稱為 最小的 和 最大的， 分別,。正式地,，一個(gè)元素 米 是 最小的 如果：

一種 ≤ 米 暗示 一種 = 米，對(duì)于所有元素 一種 的順序,。

用≤交換≤的定義 最大的,。如示例所示，可以有許多最大元素,，并且某些元素可以是最大和最?。ɡ缟厦娴?）。但是,，如果存在最小元素,，則它是訂單中唯一的最小元素。同樣,，在無(wú)限的姿勢(shì)中,，最大元素并不總是存在-所有元素的集合 有限 給定無(wú)限集的子集（按子集包含排序）提供了許多反例之一。確保在某些條件下存在最大元素的重要工具是 佐恩的引理.

部分排序集的子集繼承了該順序,。我們已經(jīng)通過(guò)考慮自然數(shù)的子集{2,3,4,5,6}并使用誘導(dǎo)除數(shù)排序來(lái)應(yīng)用了此方法?，F(xiàn)在，關(guān)于該訂單的某些子集，坐姿元素中也有一些特殊元素,。這導(dǎo)致了對(duì) 上限,。給定一個(gè)子集 小號(hào) 一些姿勢(shì) P，上限 小號(hào) 是一個(gè)元素 b 的 P 高于所有要素 小號(hào),。正式地,，這意味著

s ≤ b， 對(duì)所有人 s 在 小號(hào).

下界再次通過(guò)顛倒順序來(lái)定義,。例如,，-5是作為整數(shù)子集的自然數(shù)的下限。給定一組集合,，這些集合在子集排序下的上限由它們的 聯(lián)盟,。實(shí)際上，這個(gè)上限非常特殊：它是包含所有集合的最小集合,。因此，我們發(fā)現(xiàn)了 最小上限 套的集合,。這個(gè)概念也稱為 至高無(wú)上的 或者 加入,，并為一組 小號(hào) 一個(gè)寫(xiě)sup（小號(hào)） 或者 ${ displaystyle bigvee S}$ 其最小上限。相反,， 最大下限 被稱為 極少 或者 遇見(jiàn) 并表示為inf（小號(hào)） 或者 ${ displaystyle bigwedge S}$,。這些概念在訂單理論的許多應(yīng)用中起著重要作用。對(duì)于兩個(gè)元素 X 和 ?,，其中一位還寫(xiě)道 ${ displaystyle x vee y}$ 和 ${ displaystyle x wedge y}$ 為sup（{X,?}）和inf（{X,?}）,， 分別。

例如,，1是作為整數(shù)子集的正整數(shù)的最小值,。

再舉一個(gè)例子，再次考慮以下關(guān)系：在自然數(shù)上,。兩個(gè)數(shù)字的最小上限是被兩個(gè)數(shù)字除以的最小數(shù)字,，即 最小公倍數(shù) 的數(shù)字。最大的下限由 最大公約數(shù).

二元性

在先前的定義中,，我們經(jīng)常注意到,，僅通過(guò)顛倒先前定義中的順序就可以定義一個(gè)概念。 “最小”和“最大”,，“最小”和“最大”,，“上限”和“下限”，等等都是這種情況,。這是順序理論中的一般情況：給定的順序可以通過(guò)交換其方向來(lái)反轉(zhuǎn),，即從上至下以圖形方式翻轉(zhuǎn)Hasse圖。這產(chǎn)生了所謂的 雙, 逆， 或者 相反的順序.

每個(gè)順序理論定義都有其對(duì)偶關(guān)系：它是通過(guò)將定義應(yīng)用于逆序而獲得的概念,。由于所有概念都是對(duì)稱的,，因此此運(yùn)算保留了偏序定理。對(duì)于給定的數(shù)學(xué)結(jié)果,，只需顛倒順序并將所有定義替換為對(duì)偶即可獲得另一個(gè)有效定理,。這是重要和有用的，因?yàn)橐粋€(gè)人以一個(gè)人的價(jià)格獲得了兩個(gè)定理,。有關(guān)更多詳細(xì)信息和示例,，請(qǐng)參見(jiàn)以下文章。 秩序論二重性.

建立新訂單

有多種方法可以根據(jù)給定訂單構(gòu)造訂單,。雙重順序就是一個(gè)例子,。另一個(gè)重要的結(jié)構(gòu)是 笛卡爾積 兩個(gè)部分排序的集合，與 產(chǎn)品訂單 對(duì)元素,。順序由（一種, X) ≤ (b, ?）當(dāng)（且僅當(dāng)） 一種 ≤ b 和 X ≤ ?,。 （請(qǐng)注意，在此定義中,，關(guān)系符號(hào)≤具有三種不同的含義,。） 脫節(jié)聯(lián)合 兩個(gè)位姿中的一個(gè)是訂單構(gòu)建的另一個(gè)典型示例，其中訂單只是原始訂單的（不相交）聯(lián)合,。

每個(gè)偏階≤都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)所謂的 嚴(yán)格的秩序 <,，通過(guò)定義 一種 < b 如果 一種 ≤ b 并不是 b ≤ 一種?？梢酝ㄟ^(guò)設(shè)置反轉(zhuǎn)此轉(zhuǎn)換 一種 ≤ b 如果 一種 < b 或者 一種 = b,。這兩個(gè)概念是等效的，盡管在某些情況下,，一個(gè)可能比另一個(gè)更方便使用,。

訂單之間的功能

合理地考慮部分有序集之間的功能，這些有序集具有與兩個(gè)集的排序關(guān)系有關(guān)的某些附加屬性,。在這種情況下發(fā)生的最基本條件是 單調(diào)性,。一個(gè)功能 F 從一個(gè)姿勢(shì) P 到一個(gè)姿勢(shì) 問(wèn) 是 單調(diào)， 或者 保持訂單,， 如果 一種 ≤ b 在 P 暗示 F(一種) ≤ F(b） 在 問(wèn) （請(qǐng)注意,，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，這兩個(gè)關(guān)系是不同的,，因?yàn)樗鼈冞m用于不同的集合,。）與此相反的含義導(dǎo)致函數(shù) 反映秩序，即功能 F 如上 F(一種) ≤ F(b） 暗示 一種 ≤ b,。另一方面,，功能也可能是 倒序 或者 反音,， 如果 一種 ≤ b 暗示 F(一種) ≥ F(b).

一個(gè) 訂單嵌入 是一個(gè)功能 F 在既保持訂單又反映訂單的訂單之間。這些定義的示例很容易找到,。例如,，將自然數(shù)映射到其后繼的函數(shù)在自然順序方面顯然是單調(diào)的。來(lái)自離散順序（即,，以標(biāo)識(shí)順序“ =”排序的集合的任何功能）也是單調(diào)的,。將每個(gè)自然數(shù)映射到相應(yīng)的實(shí)數(shù)給出了訂單嵌入的示例。這 設(shè)置補(bǔ)語(yǔ) 在一個(gè) 功率集 是反調(diào)功能的一個(gè)示例,。

一個(gè)重要的問(wèn)題是兩個(gè)命令何時(shí)“基本相等”,，即在重命名元素時(shí)它們是相同的。 階同構(gòu) 是定義此類重命名的函數(shù),。有序同構(gòu)是單調(diào) 雙射的 具有單調(diào)逆的函數(shù),。這相當(dāng)于成為一個(gè) 形容詞 訂單嵌入。因此,，圖像 F(P）的順序嵌入始終與 P,，這證明了“嵌入”一詞的合理性。

更為復(fù)雜的功能類型由所謂的 Galois連接,。單調(diào)Galois連接可以看作是順序同構(gòu)的概括,，因?yàn)樗鼈冇上喾捶较蛏系膬蓚€(gè)函數(shù)對(duì)組成，這兩個(gè)函數(shù)彼此“不是很完全”相反,，但是仍然具有緊密的關(guān)系。

擺拍上的另一種特殊類型的自映射是 閉包運(yùn)算符,，不僅單調(diào),，而且 冪等， IE,。 F(X) = F(F(X））,， 和 廣泛的 （或者 通貨膨脹的）， IE,。 X ≤ F(X）,。這些在數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的各種“閉包”中都有許多應(yīng)用。

除了與單純的順序關(guān)系兼容之外,，擺式樣之間的功能在特殊元素和構(gòu)造方面也可能表現(xiàn)良好,。例如，當(dāng)討論具有最少元素的姿勢(shì)時(shí),，似乎僅考慮保留該元素的單調(diào)函數(shù),，即將最少元素映射到最少元素似乎是合理的。如果存在二進(jìn)制infima ,,，那么一個(gè)合理的屬性可能是要求 F(X ∧ ?) = F(X) ∧ F(?）,， 對(duì)所有人 X 和 ?。所有這些屬性，甚至還有更多其他屬性,，都可以在以下標(biāo)簽下進(jìn)行編譯： 極限保持功能.

最后,，可以反轉(zhuǎn)視圖，從 訂單功能 至 功能順序,。確實(shí),，兩個(gè)坐姿之間的功能 P 和 問(wèn) 可以通過(guò)訂購(gòu) 點(diǎn)順序。對(duì)于兩個(gè)功能 F 和 G,， 我們有 F ≤ G 如果 F(X) ≤ G(X）的所有元素 X 的 P,。例如，這發(fā)生在 領(lǐng)域理論,， 在哪里 功能空間 扮演一個(gè)重要角色,。

特殊類型的訂單

在順序理論中研究的許多結(jié)構(gòu)都采用具有其他屬性的順序關(guān)系。實(shí)際上,，即使某些不是部分訂單的關(guān)系也具有特殊的意義,。主要是一個(gè)概念 預(yù)購(gòu) 必須提到。前置關(guān)系是自反和傳遞的關(guān)系,，但不一定是反對(duì)稱的,。每個(gè)預(yù)購(gòu)商品都會(huì)產(chǎn)生一個(gè) 等價(jià)關(guān)系 元素之間，在哪里 一種 相當(dāng)于 b,， 如果 一種 ≤ b 和 b ≤ 一種,。通過(guò)識(shí)別與此關(guān)系等效的所有元素，可以將預(yù)購(gòu)訂單轉(zhuǎn)換為訂單,。

可以根據(jù)訂單項(xiàng)上的數(shù)值數(shù)據(jù)定義幾種類型的訂單： 總訂單 將不同的實(shí)數(shù)附加到每個(gè)項(xiàng)目并使用數(shù)值比較對(duì)項(xiàng)目進(jìn)行排序得到的結(jié)果,；相反，如果允許不同的項(xiàng)目具有相等的數(shù)字分?jǐn)?shù),，則獲得一個(gè) 嚴(yán)格的弱排序,。在比較之前，要求將兩個(gè)分?jǐn)?shù)用固定的閾值分隔開(kāi),，這導(dǎo)致了一個(gè)概念,。 半階，同時(shí)允許每個(gè)項(xiàng)目更改閾值會(huì)產(chǎn)生一個(gè) 間隔順序.

附加的簡(jiǎn)單但有用的屬性導(dǎo)致所謂的 有根據(jù)的,，其所有非空子集都有一個(gè)最小元素,。概括從線性階到部分階的井階，一個(gè)集合是 井井有條 如果其所有非空子集都具有有限數(shù)量的最小元素,。

當(dāng)存在以下情況時(shí),，會(huì)產(chǎn)生許多其他類型的訂單 虛假信息 和 至上 某些套是有保證的。專注于這方面,，通常稱為 完整性 的訂單,，可獲得：

• 有限的姿勢(shì),，即帶有 至少 和 最大的要素 （這僅僅是 空子集),
• 格子，其中每個(gè)非空有限集都有一個(gè)極值和一個(gè)極值,，
• 完整的格子,，其中每組都有一個(gè)最大值和一個(gè)最小值，并且
• 指示完成部分訂單 （dcpos）,，保證所有人的至上存在 有向子集 并且在 領(lǐng)域理論.
• 帶有補(bǔ)碼的部分訂單,，或 POC集,^[1] 是具有唯一底部元素0以及倒序?qū)系淖?${ displaystyle *}$ 這樣 ${ displaystyle a leq a ^ {*} implies a = 0。}$

但是,，甚至可以走得更遠(yuǎn)：如果存在所有有限的非空信息，則∧可以看作是從 通用代數(shù),。因此,，在一個(gè)晶格中，兩個(gè)操作∧和∨可用,，并且一個(gè)操作可以通過(guò)給出標(biāo)識(shí)來(lái)定義新屬性,，例如

X ∧ (? ∨ ?)  =  (X ∧ ?) ∨ (X ∧ ?）， 對(duì)所有人 X, ?,， 和 ?.

這種情況稱為 分配性 并引起 分布晶格,。有關(guān)以下內(nèi)容的文章中還討論了其他一些重要的分布規(guī)律： 秩序理論中的分布性。通常通過(guò)代數(shù)運(yùn)算和定義恒等式指定的一些其他階結(jié)構(gòu)是

• Heyting代數(shù) 和
• 布爾代數(shù),

兩者都引入了一個(gè)新的操作?稱為 否定,。兩種結(jié)構(gòu)都在 數(shù)學(xué)邏輯 特別是布爾代數(shù)在 計(jì)算機(jī)科學(xué)最后,，數(shù)學(xué)中的各種結(jié)構(gòu)將階次與更多的代數(shù)運(yùn)算結(jié)合在一起，例如 量子,，用于定義加法運(yùn)算,。

姿勢(shì)的許多其他重要屬性也存在。例如,，一個(gè)坐姿是 局部有限 如果每個(gè)關(guān)閉 間隔 [一種, b]在里面 有限。局部有限的位姿會(huì)引起 入射代數(shù) 反過(guò)來(lái)可以用來(lái)定義 歐拉特征 有限有界球的集合,。

有序集的子集

在有序集合中,，可以根據(jù)給定的順序定義許多類型的特殊子集。一個(gè)簡(jiǎn)單的例子是 上套;即包含按順序位于其上方的所有元素的集合,。正式地,， 上封口 一套 小號(hào) 在一個(gè)姿勢(shì) P 由集合{X 在 P |有一些 ? 在 小號(hào) 和 ? ≤ X}。等于其上閉包的集合稱為上集合,。 下套 被雙重定義,。

更復(fù)雜的較低子集是 理想，它具有附加的屬性,，即每個(gè)元素的兩個(gè)元素在理想值內(nèi)都有一個(gè)上限,。他們的對(duì)偶由 過(guò)濾器,。一個(gè)相關(guān)的概念是 有向子集，它像理想情況一樣,，包含有限子集的上限,，但不一定是下限。此外,，它通常被推廣到預(yù)定集,。

作為子姿勢(shì)線性排序的子集稱為 鏈。相反的概念 反鏈是不包含兩個(gè)可比較元素的子集,；即這是一個(gè)離散的順序,。

相關(guān)數(shù)學(xué)領(lǐng)域

雖然大多數(shù)數(shù)學(xué)領(lǐng)域 用 以一種或另一種方式進(jìn)行訂購(gòu)，也有一些理論具有遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出單純應(yīng)用的關(guān)系,。連同它們與順序理論的主要聯(lián)系點(diǎn),，下面將介紹其中一些。

通用代數(shù)

如前所述,，方法和形式主義 通用代數(shù) 是許多階理論考慮的重要工具,。除了形式化訂單外， 代數(shù)結(jié)構(gòu) 滿足某些身份的人,，也可以建立與代數(shù)的其他聯(lián)系,。兩者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系給出了一個(gè)例子 布爾代數(shù) 和 布爾環(huán)。其他問(wèn)題與是否存在 自由建筑,， 如 自由晶格 基于給定的一組發(fā)電機(jī),。此外，閉包算子在通用代數(shù)的研究中很重要,。

拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

在 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),，訂單起著非常突出的作用。其實(shí)收藏 開(kāi)放集 提供了一個(gè)完整格的經(jīng)典示例,，更確切地說(shuō)是一個(gè)完整的格 Heyting代數(shù) （或者 ”框架“ 或者 ”地區(qū)'). 篩選器 和 網(wǎng) 這些概念與秩序理論和 集的閉包運(yùn)算符 可用于定義拓?fù)?。除這些關(guān)系外，拓?fù)溥€可以僅根據(jù)開(kāi)放集格來(lái)查看,，這導(dǎo)致了對(duì)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的研究,。 專業(yè)化順序,，如果拓?fù)涫??₀.

相反，在順序理論中,，經(jīng)常使用拓?fù)浣Y(jié)果,。有多種方法可以定義訂單的子集，這些子集可以視為拓?fù)涞拈_(kāi)放集,?？紤]姿勢(shì)上的拓?fù)洌?i>X,，≤），從而將≤作為其專業(yè)化順序,， 最好的 這樣的拓?fù)涫?最粗糙的 導(dǎo)致專業(yè)化順序的拓?fù)涫?主要理想 （即{? 在 X | ? ≤ X} 對(duì)于一些 X） 作為一個(gè) 底基。此外,，具有專門化順序≤的拓?fù)淇赡苁?順序一致,，表示其開(kāi)放集“無(wú)法通過(guò)有針對(duì)性的極值訪問(wèn)”（相對(duì)于≤）。最佳順序一致的拓?fù)涫?斯科特連續(xù)性).

范疇論

訂單的可視化 哈斯圖 具有簡(jiǎn)單明了的概括：而不是顯示較少的元素 以下 較大的方向,，也可以通過(guò)將方向指定給圖形的邊緣來(lái)描述順序的方向。這樣,，每個(gè)訂單被視為等效于 有向無(wú)環(huán)圖,，其中節(jié)點(diǎn)是擺放器的元素，并且有一條從 一種 至 b 當(dāng)且僅當(dāng) 一種 ≤ b,。除去無(wú)循環(huán)的要求,，還可以獲得所有預(yù)購(gòu)訂單。

當(dāng)配備了所有可傳遞邊緣時(shí),，這些圖反過(guò)來(lái)又很特殊 類別,，其中元素是對(duì)象，并且兩個(gè)元素之間的每個(gè)態(tài)射集最多為單例,。訂單之間的功能成為類別之間的函子,。序論的許多思想只是范疇論的概念。例如,，一個(gè)無(wú)限量只是一個(gè) 分類產(chǎn)品。更籠統(tǒng)地說(shuō),，一個(gè)人可以用一個(gè)抽象的概念來(lái)捕捉圖像和上清,。 分類極限 （或者 共限， 分別）,。出現(xiàn)分類觀念的另一個(gè)地方是（單調(diào)）的概念 伽羅瓦連接,，與一對(duì) 伴隨函子.

但是范疇論在更大程度上也對(duì)順序論產(chǎn)生了影響,。如上所述的具有適當(dāng)功能的坐姿類形成有趣的類別。通常,，您還可以說(shuō)明訂單的結(jié)構(gòu),，例如 產(chǎn)品訂單，就類別而言,。找到訂單類別時(shí),，會(huì)得到更多的見(jiàn)解 絕對(duì)等價(jià) 其他類別，例如拓?fù)淇臻g,。這方面的研究導(dǎo)致各種 表征定理,，通常以“ 石對(duì)偶.

歷史

如前所述，階數(shù)在數(shù)學(xué)中無(wú)處不在,。但是,，最早的關(guān)于局部秩序的提法可能是在19世紀(jì)之前發(fā)現(xiàn)的。在這種情況下,， 喬治·布爾 非常重要,。此外， 查爾斯·桑德斯·皮爾斯, 理查德·德金（Richard Dedekind）,， 和 恩斯特·施羅德（ErnstSchr?der） 還考慮順序理論的概念,。當(dāng)然，在這種情況下還有其他名稱,，當(dāng)然在定序理論的歷史上還會(huì)有更詳細(xì)的資料,。

術(shù)語(yǔ) 姿勢(shì) 因?yàn)椴糠钟嗁?gòu)集的縮寫(xiě)是由 加勒特·伯克霍夫（Garrett Birkhoff） 在他的有影響力的書(shū)的第二版中 晶格理論.^[2][3]

也可以看看

• 循環(huán)順序
• 等級(jí)制度
• 發(fā)生代數(shù)
• 因果集

筆記

參考

• 加勒特伯克霍夫 (1940). 晶格理論. 25 （第3修訂版）,。美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì),。 書(shū)號(hào) 978-0-8218-1025-5.CS1維護(hù)：ref = harv（關(guān)聯(lián))
• 伯里斯（美國(guó)） Sankappanavar,，H.P,。（1981）。 通用代數(shù)課程,。施普林格,。 書(shū)號(hào) 978-0-387-90578-5.
• 戴維,，BA。 Priestley,，H. A. (2002). 格和序簡(jiǎn)介 （第二版）,。劍橋大學(xué)出版社。 書(shū)號(hào) 0-521-78451-4.
• Gierz,，G .,；霍夫曼，K,。 Keimel,，K .;米洛斯洛夫（M.斯科特·D·S（2003）。 連續(xù)格和域,。數(shù)學(xué)及其應(yīng)用百科全書(shū),。 93。劍橋大學(xué)出版社,。 書(shū)號(hào) 978-0-521-80338-0.

外部鏈接

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• ProvenMath上的訂單 偏序,，線性階,，井階，初始段集合論公理中的形式定義和證明,。
• 內(nèi)格爾·費(fèi)利克斯（Felix）（2013）,。 設(shè)置理論和拓?fù)洹７治龌A(chǔ)簡(jiǎn)介