1 虛數(shù)的肇始

虛數(shù)的誕生起源于對(duì)負(fù)數(shù)平方根的研究,，第一位將看似無(wú)意義的負(fù)數(shù)平方根引入的人是16世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾.當(dāng)時(shí)他試圖將數(shù)字10拆成兩個(gè)部分,，使兩者的乘積等于40.

從方程的角度來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，我們可設(shè)其中一個(gè)數(shù)是,，則可列出方程

顯然,，該二次方程判別式小于0，無(wú)實(shí)數(shù)解.

卡爾達(dá)諾指出,，盡管這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有合理的解,，但從數(shù)學(xué)上說(shuō)，它的答案可以寫(xiě)成兩個(gè)看似不可能的表達(dá)式：和.

這是因?yàn)椋?/p>

并且

真是太奇怪了,！如果真的存在這樣的數(shù),，其加和和乘積均滿足題意！這使得卡爾達(dá)諾感到非常疑惑,，盡管卡爾達(dá)諾認(rèn)為這兩個(gè)“數(shù)”沒(méi)有意義,，完全出于幻想和虛構(gòu)，但他還是將信將疑地把它們寫(xiě)了下來(lái),，他在著作《大術(shù)》中寫(xiě)道：

“

顯然,，該問(wèn)題是不可能的.不過(guò)我們可以用這樣的方式來(lái)求解：平分10，得5,，自乘,，得25.減去乘積自身（即40），得負(fù)15.從5中減去和加上該數(shù)的平方根,，得到和,，拋開(kāi)精神之苦，將和相乘,，得40,，這一結(jié)果既精妙又無(wú)用.

卡爾達(dá)諾因此成了數(shù)學(xué)史上第一個(gè)使用負(fù)數(shù)平方根的人，但他顯然并不能充分理解這種數(shù).之后負(fù)數(shù)平方根便困惑了數(shù)學(xué)家們很多年,，大數(shù)學(xué)家笛卡爾在其著作《幾何學(xué)》中為“負(fù)數(shù)的平方根”取了一個(gè)很消極的名字——“虛數(shù)”,，使其更加蒙上了一層神秘的面紗.

自從虛數(shù)誕生以后，數(shù)學(xué)家們也開(kāi)始越來(lái)越頻繁地使用這個(gè)概念,，雖然在用的時(shí)候他們常常表現(xiàn)得疑慮重重.大數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉在著作《代數(shù)基礎(chǔ)》中留下了這樣的附言：

“

由于一切可以想象的數(shù)要么大于零，要么小于零,，要么等于零,，因此，我們顯然不能將一個(gè)負(fù)數(shù)的平方根歸入可能的數(shù)之中,，我們必須說(shuō),，它是一個(gè)不可能的量.由此我們產(chǎn)生了本質(zhì)上不可能的數(shù)的思想，它們通常被稱為虛量,，因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谙胂螅╥magination）之中,，是一種想象中的數(shù)（imaginary number）.

直到1777年,，歐拉在遞交給彼得堡科學(xué)院的論文《微分方程》中首次使用了符號(hào)（取自imaginary的首字母）來(lái)表示的一個(gè)平方根，稱為虛數(shù)單位,，并據(jù)此系統(tǒng)地建立了虛數(shù)理論.

因此,，我們可以這樣說(shuō)，虛數(shù)就好似正常數(shù)字（即實(shí)數(shù)）的虛幻鏡像,，所有實(shí)數(shù)都以1為基礎(chǔ),，而所有虛數(shù)都以為基本單位，從而構(gòu)造出所有的（純）虛數(shù).

不難看出,，每個(gè)實(shí)數(shù)都對(duì)應(yīng)了一個(gè)虛數(shù),，比如說(shuō)

將實(shí)數(shù)和虛數(shù)進(jìn)行結(jié)合，便形成了復(fù)數(shù),，在卡爾達(dá)諾的問(wèn)題中,，我們可以這樣表示這兩個(gè)復(fù)數(shù)解：

自此，人類對(duì)于“數(shù)”的認(rèn)識(shí)才算完整了,，回顧從自然數(shù)0,，1，2,，3……開(kāi)始,，加上負(fù)數(shù)、分?jǐn)?shù),、無(wú)理數(shù),、虛數(shù)，最終成為復(fù)數(shù)的發(fā)展過(guò)程,，可以說(shuō)它很像是許多涓涓細(xì)流匯成一條大河.

我們將復(fù)數(shù)集記為,，結(jié)合我們之前學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)集，有

如果說(shuō)數(shù)字是一支華麗的交響樂(lè),，那么復(fù)數(shù)便是它最后的樂(lè)章,！

2 復(fù)平面

闖入數(shù)學(xué)王國(guó)后的兩百多年里，復(fù)數(shù)一直沒(méi)有一個(gè)直觀的解釋,，直到兩位業(yè)余數(shù)學(xué)家賦予了它簡(jiǎn)單的幾何意義,，復(fù)數(shù)才算被人們充分理解.這兩位先行者分別是挪威的測(cè)繪員韋塞爾和巴黎的會(huì)計(jì)師羅伯特·阿爾岡.

按照這兩位數(shù)學(xué)家的解釋，復(fù)數(shù)可以表達(dá)為下圖所示的形式,，這也是最早的復(fù)平面的由來(lái),，下圖表示復(fù)平面中的兩個(gè)復(fù)數(shù)和.

我們發(fā)現(xiàn)，對(duì)于上述兩個(gè)復(fù)數(shù),，實(shí)際上存在如下關(guān)系：

因此,，從幾何角度來(lái)說(shuō)，用一個(gè)復(fù)數(shù)乘以虛數(shù)單位,，相當(dāng)于讓它在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn).

這樣一來(lái),，“”或者說(shuō)“”從幾何角度就很好理解了：這相當(dāng)于使得原來(lái)在復(fù)平面實(shí)軸上的點(diǎn)連續(xù)繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)兩次,，最終，它落在了點(diǎn)上.同樣地,，一個(gè)數(shù)乘以就相當(dāng)于順時(shí)針旋轉(zhuǎn).

所以我們可以把

看作是復(fù)平面上點(diǎn)的周期性旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)0次,，1次，2次,，3次,，…），由此我們可以歸納得出一般結(jié)論：

3 尋找寶藏

我們不妨嘗試用復(fù)數(shù)來(lái)解決一個(gè)有實(shí)際意義的簡(jiǎn)單問(wèn)題.

有位愛(ài)冒險(xiǎn)的年輕人從曾祖父的文件里找到了一張羊皮紙藏寶圖,，圖上是這樣描述的：

“

航行至北緯XX,，西經(jīng)XX，有一座荒島.荒島北面是一大片沒(méi)有圍欄的草地,，上面聳立著一棵孤零零的橡樹(shù)和一棵孤零零的松樹(shù).你還會(huì)看到一座古老的絞架,，我們用它吊死叛徒.從絞架出發(fā)，走到橡樹(shù)底下,，記下步數(shù),；然后向右轉(zhuǎn)，走同樣的步數(shù),，在這個(gè)位置打下一根樁子.現(xiàn)在,，回到絞架旁，走到松樹(shù)底下,，記下步數(shù),；然后向左轉(zhuǎn)，走同樣的步數(shù),，打下第二根樁子.財(cái)寶就埋在兩根樁子的正中間.

藏寶圖上的指示清晰而明確,，所以這位年輕人弄了條船，徑直向海島駛?cè)?他找到了那座島,，那片草地,，也看到了橡樹(shù)和松樹(shù)，但不幸的是,，經(jīng)過(guò)了歲月的洗禮,，那座絞架早已消失不見(jiàn).這位愛(ài)冒險(xiǎn)的年輕人陷入了絕望，隨后他開(kāi)始狂怒地四處亂挖,，但他的努力完全變?yōu)榱送絼?，因?yàn)檫@座島實(shí)在是太大了！最后,，年輕人只好悻悻地帶著空空如也的船啟程返航，可那座寶藏還埋在地下.

真是令人惋惜,！要是這位年輕人懂一點(diǎn)數(shù)學(xué),，尤其是復(fù)數(shù)的應(yīng)用,，他本來(lái)是有機(jī)會(huì)找到曾祖父的寶藏的！現(xiàn)在我們來(lái)幫他找一找寶藏埋在哪里吧,！

如圖,，我們不妨把這座荒島視作一個(gè)復(fù)平面；將兩棵樹(shù)相連,，以這條直線作為實(shí)軸,，同時(shí)在兩棵樹(shù)的連線中點(diǎn)作一條垂直于實(shí)軸的直線，作為虛軸.以兩棵樹(shù)距離的一半作為單位長(zhǎng)度,，即橡樹(shù)與松樹(shù)的坐標(biāo)分別為和.

我們不知道絞架的坐標(biāo),，所以不妨將它記為希臘字母（即的大寫(xiě)），正好這個(gè)字母看起來(lái)很像絞架.

絞架的位置未知,，設(shè)其坐標(biāo)為,，因此我們也可以把它視作為一個(gè)復(fù)數(shù)：

由于兩個(gè)復(fù)數(shù)的差所對(duì)應(yīng)的向量即為兩個(gè)向量的差，且.

則向量所表示的復(fù)數(shù)為

同理,，所表示的復(fù)數(shù)為

按照藏寶圖的指示,，走到橡樹(shù)、松樹(shù)處時(shí)分別要右轉(zhuǎn)（順時(shí)針）,、左轉(zhuǎn)（逆時(shí)針）,，并繼續(xù)走同樣的步數(shù)至打樁處，所以這等價(jià)于在復(fù)平面中對(duì)上述兩個(gè)復(fù)數(shù)分別進(jìn)行順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的操作（長(zhǎng)度不變）,，也即分別乘以和.

記兩根樁子為和,，則有

我們發(fā)現(xiàn)

而財(cái)寶在它們的中間，則

也就是說(shuō),，絞架作為一個(gè)未知的坐標(biāo)在計(jì)算中被消掉了,！而財(cái)寶在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是一個(gè)定值，也即一個(gè)確定的坐標(biāo)：.

所以,，要是我們這位愛(ài)冒險(xiǎn)的年輕人會(huì)進(jìn)行那么一點(diǎn)點(diǎn)簡(jiǎn)單的復(fù)數(shù)運(yùn)算,，他就不用翻遍整座荒島去尋找絞架，只需要在上圖中的位置輕輕一挖,，便能滿載而歸,！事實(shí)上，想要挖到寶藏,，我們根本無(wú)需知道絞架在哪,，因?yàn)閷毑氐奈恢门c絞架的位置無(wú)關(guān).

現(xiàn)在你體會(huì)到復(fù)數(shù)之美了嗎？

參考文獻(xiàn)[1]汪曉勤,沈中宇.數(shù)學(xué)史與高中數(shù)學(xué)教學(xué)——理論,、實(shí)踐與案例[M].華東師范大學(xué)出版社,2020.[2]（日）遠(yuǎn)山啟.數(shù)學(xué)與生活[M].呂硯山等譯.人民郵電出版社,2014.[3]（美）喬治·伽莫夫.從一到無(wú)窮大[M].陽(yáng)曦譯.天津人民出版社,2019.

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