歷史表明,，人類接受一種新數(shù)的過程是漫長而坎坷的。
正數(shù),、負(fù)數(shù),、有理數(shù)、無理數(shù) 在歐洲,，負(fù)數(shù)的概念遲至12世紀(jì)末,，才由意大利數(shù)學(xué)家萊昂納多·斐波那契（Leonardo Fibonacci，約1170—約1250）做出正確的解釋,。但直到18世紀(jì),，歐洲仍有一些學(xué)者認(rèn)為負(fù)數(shù)是“荒唐、無稽的”,。他們振振有詞地說,，零是“什么也沒有”，那么負(fù)數(shù),，即小于零的數(shù)是什么東西呢,？難道會有什么東西比“什么也沒有”還要小嗎？,！無理數(shù)的出現(xiàn),，可以追溯到相當(dāng)久遠(yuǎn)的年代。大約公元前5世紀(jì),，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的門人希帕斯發(fā)現(xiàn),，等腰直角三角形的斜邊與直角邊的比不可能表示為既約分?jǐn)?shù)（即幾何上的“不可公度”）。
希帕斯的思路說來也簡單,，他采用了“反證法”,，即先假設(shè) 能表示為既約分?jǐn)?shù) （即p，q沒有公因子）,，然后設(shè)法推出矛盾,。過程如下： 顯然，p必須是偶數(shù),，否則左式絕不等于右式?，F(xiàn)令p=2p′（p′為整數(shù)），代入得這意味著q也必須是偶數(shù),，否則右式絕不等于左式,。這樣，p與q便至少有一個2的公因子,，它與 為既約分?jǐn)?shù)的假設(shè)矛盾,。為什么會出現(xiàn)矛盾呢,？原因只能是一個，那就是最初關(guān)于可以表示為既約分?jǐn)?shù)的假設(shè)是不對的,。希帕斯的證明引起了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的恐慌,，因為這個學(xué)派抱定“兩條線段一定可以公度”的教義，他們寧可拒絕真理,，也不愿放棄錯誤的信條,，他們?nèi)莶坏孟Ｅ了惯@樣的“異端邪說”?？蓱z的希帕斯終于被畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的忠實門徒,，拋進(jìn)大海喂了鯊魚。人類認(rèn)識無理數(shù)的過程,，要比想象的更加漫長和曲折,。從希帕斯起至基礎(chǔ)理論基本完成止，整整經(jīng)歷了20多個世紀(jì),。從“無理數(shù)”這3個字的含義,，就足以表明人類接受這一概念的艱辛。
正當(dāng)人們依舊困惑于負(fù)數(shù)和無理數(shù)的時候,，又一種披著極為神秘面紗的新數(shù),，闖進(jìn)了數(shù)學(xué)領(lǐng)地。平方等于-1的復(fù)數(shù)i的誕生 1484年,，法國數(shù)學(xué)家N.許凱（N.Chuquet,，1445—1500）在一本書中，把方程4+x2=3x的根寫為盡管他一再聲明這根是不可能的,，但畢竟是第一次形式上出現(xiàn)了負(fù)數(shù)的平方根,。這種情形對于今天的初中學(xué)生，依然是一個望而生畏的禁區(qū),。1545年，意大利數(shù)學(xué)家卡爾達(dá)諾在討論是否有可能將10分為兩個部分,，而使兩者之積等于40時,，他指出，盡管這個問題沒有實數(shù)解,，然而,，假如把答案寫成 和 這樣兩個令人詫異的表達(dá)式，就能滿足題目的要求,。他驗證說： 雖然卡爾達(dá)諾本人懷疑這一運算的合理性,，但他終究是第一個認(rèn)真對待數(shù)學(xué)領(lǐng)地這一不速之客的勇士。卡爾達(dá)諾之后,，數(shù)學(xué)家們接觸這種“虛幻”的數(shù)越來越多,。大約100年之后,，1637年，笛卡兒在他的《幾何學(xué)》一書中,，給負(fù)數(shù)的平方根起了一個“虛數(shù)”的名,。
勒內(nèi)·笛卡兒 又大約過了140年，大數(shù)學(xué)家歐拉開始用i（imaginary虛幻）表示1801年,，高斯系統(tǒng)地使用了符號i,，并把它與實數(shù)的混合物a+bi（a、b為實數(shù)）稱為復(fù)數(shù),。此后i與復(fù)數(shù)便漸漸通行于全世界,。起初虛數(shù)總給人以一種虛無縹緲的神秘感，因為在數(shù)軸上找不到它的位置,。富有想象力的英國牛津大學(xué)教授約翰·沃利斯(John Wallis),，給虛數(shù)找到了一個絕妙的解釋： 假定某人欠地10畝，即他有-10畝地,，而這-10畝地又恰好是個正方形,，那么它的邊長不就是了嗎？大膽揭開虛數(shù)神秘面紗的,，是挪威測量學(xué)家韋塞爾（Wessel,，1745—1818），他找到了復(fù)數(shù)的幾何表示法,。按韋塞爾的解析,，一個復(fù)數(shù)如4+3i，可以如下圖那樣表示出來,，其中4是水平方向的坐標(biāo),，3是垂直方向的坐標(biāo)。實數(shù)對應(yīng)于橫軸上的點,，純虛數(shù)對應(yīng)于縱軸上的點,。一個位于橫軸上的實數(shù)a，當(dāng)它乘以i時變成位于縱軸上的純虛數(shù)ai,。在幾何上這相當(dāng)于繞原點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°,。如果把ai再乘i，即又沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°,，此時理應(yīng)轉(zhuǎn)回到橫軸負(fù)向,，這一點在下式中表示得更為明顯： 有趣的是，一個數(shù)乘i,，相當(dāng)于繞原點沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°,，這一規(guī)律，適用于所有的復(fù)數(shù),。由于A,、B分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)4+3i和-3+4i,，從而∠AOB=90°。 復(fù)數(shù)在荒島尋寶上的應(yīng)用
下面是一則扣人心弦的荒島尋寶的故事,，讀完之后讀者將會看到,，一旦復(fù)數(shù)在幾何上有了立足點，它將是多么有用,。從前,，有個年輕人在曾祖父的遺物中偶然發(fā)現(xiàn)一張羊皮紙，紙上指明了一座寶藏,，羊皮紙內(nèi)容是這樣的： “乘船到北緯××,，西經(jīng)××，即可找到一座荒島,。島的北岸有一大片草地,。草地上有一棵橡樹和一棵松樹，還有一座絞架,，那是我們過去用來吊死叛變者的,。從絞架走到橡樹，并記住走了多少步,； 到了橡樹向右拐個直角再走同樣步數(shù),，在這里打個樁。然后回到絞架那里,，再朝松樹走去,，同時記住所走的步數(shù)； 到了松樹向左拐個直角再走這么多步,，在那里也打個樁,，在兩個樁的正中挖掘，就可以得到寶藏,?！?/span>年輕人欣喜萬分，決心冒險一試,，于是急忙租了一條船,，載著滿腔的希望駛到了荒島。上島之后我們年輕的冒險家立時陷入絕望之中,。他雖然找到了橡樹和松樹，但絞架卻不見了,！長時間的雨淋日曬,，絞架已經(jīng)腐爛成土，一切痕跡都已不復(fù)存在,。年輕人氣惱地在島上狂掘一陣,，然而一切均屬徒勞,，終于兩手空空，掃興而歸,。這是一個令人傷心的故事,。因為，如果這個年輕人懂得一點數(shù)學(xué),，特別是虛數(shù)的話,，他本來是有可能找到寶藏的！下面我們來幫幫這個可憐的年輕人,，盡管此時此刻對于他已經(jīng)為時太晚,。 如上圖所示，把荒島看成一個復(fù)數(shù)平面,，以兩棵樹所在的直線為實軸,。過兩樹中點O，作與實軸垂直的直線OY為虛軸,，而且以兩樹M,、N之間距離的一半為長度單位。這樣橡樹M和松樹N則分別位于實軸的+1與-1點,。假設(shè)未知的絞架位置在Z點處,，相應(yīng)的復(fù)數(shù)為既然絞架在Z點，松樹N在-1點,，則兩者相對的方位便是Z-（-1）=Z+1,。把這個數(shù)乘以i，就得到樁Z2的復(fù)數(shù)同理可得樁Z1的復(fù)數(shù)（右拐90°相當(dāng)于乘以-i）： 寶藏在兩根樁的正中,，因此它所在位置的復(fù)數(shù)T為這就是說,，不管絞架位于何處，寶藏總在虛軸上相應(yīng)于復(fù)數(shù)i的那一點,。讀者若不信,，可以自己拿張紙，變換幾個絞架的位置,，試試看會有什么結(jié)果,。荒島尋寶的故事已經(jīng)結(jié)束，盡管故事中的情節(jié)可能是虛構(gòu)的,，但沿著-1平方根建立起來的復(fù)數(shù)體系,，的確幫助人們在數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域中，找到一個又一個的寶藏,。原標(biāo)題：數(shù)學(xué)|為什么一定要有一個數(shù)的平方等于-1,？
|
