文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家首先提出了虛數(shù)的概念,。

在丹·布朗（Dan Brown）2003年的超級(jí)暢銷懸疑驚悚小說《達(dá)芬奇密碼》中,，書中的主人公羅伯特·蘭登（Robert Langdon）和密碼學(xué)家索菲·奈芙（Sophie Neveu）之間有一點(diǎn)巧妙的應(yīng)答，她在書中表達(dá)了對(duì)“信仰中包含奇跡般的事件”的宗教信徒的價(jià)值的懷疑,。她冷笑道：“看來他們的真實(shí)是假的,。”

蘭登笑著說：“這些想法就像數(shù)學(xué)密碼學(xué)家相信虛數(shù)'i’能幫助他們破解密碼一樣,?！?/p>

對(duì)于我們這些不懂?dāng)?shù)學(xué)的人來說，蘭登的笑話有點(diǎn)令人費(fèi)解,。當(dāng)他說一個(gè)數(shù)是虛數(shù)時(shí),，他到底在說什么？這怎么可能呢,？

虛數(shù)的誕生

然而事實(shí)證明,，虛數(shù)基本上是一個(gè)數(shù)，平方后會(huì)得到負(fù)數(shù),。確實(shí)是數(shù)學(xué)中的一種東西,，最早是在15世紀(jì)和16世紀(jì)被發(fā)現(xiàn)的，用來解決某些令人困惑的方程,。雖然最初被認(rèn)為是一種室內(nèi)把戲,，但在此后的幾個(gè)世紀(jì)里，它們被視為一種以復(fù)雜的方式將世界概念化的工具,。如今,，它們?cè)趶碾娮庸こ痰搅孔恿W(xué)等領(lǐng)域都很有用。

新墨西哥州獨(dú)立研究機(jī)構(gòu)圣達(dá)菲研究所的物理學(xué)家克里斯托弗·摩爾（Cristopher Moore）解釋說：“我們發(fā)明虛數(shù)的原因和我們發(fā)明負(fù)數(shù)的原因是一樣的?！彼?011年與斯蒂芬·默滕斯(Stephan Mertens)合著了《計(jì)算的本質(zhì)》一書,。

摩爾繼續(xù)說：“從普通的算術(shù)開始，二減七等于幾,？如果你從沒聽說過負(fù)數(shù),，那就說不通了，就可能回答不上,。你不能有-5個(gè)蘋果,，對(duì)吧？但是可以這樣想,，你可以欠我5個(gè)蘋果,，或者5美元。一旦人們開始做會(huì)計(jì)和簿記,，我們就需要這個(gè)概念,。”類似地,，今天我們都很熟悉這樣的想法：如果我們開大額支票去買東西,，但沒有足夠的錢來支付，我們的銀行賬戶就會(huì)出現(xiàn)負(fù)余額,。

創(chuàng)造性思維大有裨益

摩爾說：“另一種看待負(fù)數(shù)的方法,，這稍后會(huì)派上用場，是想象在城市附近散步,。如果你從我們的目的地向相反的方向拐錯(cuò)了彎,。比方說，向南走了5個(gè)街區(qū),，而你本來應(yīng)該向北走,，你就可以把它想象成向北走了5個(gè)負(fù)的街區(qū)?！?/p>

摩爾表示：“通過發(fā)明負(fù)數(shù),，它可以擴(kuò)展你的數(shù)學(xué)世界，使你能夠談?wù)撘郧昂茈y的事情,?！?/p>

虛數(shù)和復(fù)數(shù)，也就是包含虛數(shù)成分的數(shù)字,，是這種創(chuàng)造性思維的另一個(gè)例子,。正如摩爾解釋的那樣：“如果我問你，9的平方根是多少,？這很簡單,，對(duì)吧,？答案是3。盡管它也可以是- 3,，因?yàn)閮蓚€(gè)負(fù)數(shù)相乘得到的結(jié)果是正的?！?/p>

但是-1的平方根是多少,？有沒有一個(gè)數(shù)，乘上它自己,，得到-1 ,？摩爾說：“在某種程度上，沒有這樣的數(shù)字,?！?/p>

但文藝復(fù)興時(shí)期的數(shù)學(xué)家想出了一個(gè)聰明的方法來解決這個(gè)問題。摩爾繼續(xù)說：“在我們發(fā)明負(fù)數(shù)之前,，沒有2-7這樣的式子,。所以也許我們應(yīng)該發(fā)明一個(gè)等于-1的平方根的數(shù)字，我們給它起個(gè)名字：i,?！?/p>

一旦他們想出了虛數(shù)的概念，數(shù)學(xué)家們就會(huì)發(fā)現(xiàn)他們可以用它做一些很酷的事情,。記住一個(gè)正數(shù)乘以一個(gè)負(fù)數(shù)等于一個(gè)負(fù)數(shù),，但是兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘等于一個(gè)正數(shù)。但是當(dāng)你開始用i乘以7,，然后再乘以i會(huì)發(fā)生什么,？因?yàn)閕乘以i是-1，答案是-7,。但如果你用7乘以i乘以i乘以i乘以i,，突然得到正7。摩爾指出：“它們相互抵消了,?！?/p>

現(xiàn)在想想，你取一個(gè)虛數(shù),，多次代入方程,，最后得到一個(gè)你在現(xiàn)實(shí)中經(jīng)常用到的實(shí)數(shù)。

虛數(shù)是平面上的點(diǎn)

美國賓夕法尼亞州立大學(xué)的教授和數(shù)學(xué)系主任馬克·列維（Mark Levi）解釋道：“直到幾百年后的19世紀(jì)初,，數(shù)學(xué)家們才發(fā)現(xiàn)了另一種理解虛數(shù)的方法,，即把虛數(shù)看作平面上的點(diǎn)?！彼?012年出版的《為什么貓能站穩(wěn)腳：以及76個(gè)其他物理悖論和謎題》一書的作者,。

列維說：“當(dāng)我們把數(shù)字想象成直線上的點(diǎn),，然后加上第二個(gè)維度時(shí)，那個(gè)平面上的點(diǎn)就是虛數(shù),?！?/p>

他解釋道：“想象一條數(shù)軸，當(dāng)你考慮一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí),，直線上距離正數(shù)是180度,。兩個(gè)負(fù)數(shù)相乘，把它們的角相加,，180度加上180度,，就得到360度。這就是為什么它是有意義的存在,?！?/p>

但是你不能把-1的平方根放在X軸上，這是行不通的,。但是,，如果你創(chuàng)建了一個(gè)垂直于X的Y軸，你就有地方放它了,。

當(dāng)你考慮虛數(shù)時(shí),，Y軸是有用的，因?yàn)槟悴荒馨迅?hào)-1放在X軸上,。

雖然虛數(shù)似乎只是一群數(shù)字,，使人眼花繚亂，但它們實(shí)際上是非常有用的,，對(duì)于世界上某些重要的現(xiàn)代技術(shù)發(fā)達(dá)的計(jì)算而言,，如計(jì)算飛機(jī)機(jī)翼的氣流，從阻力或找出流失能量結(jié)合在一個(gè)電力系統(tǒng)振蕩,。小說虛構(gòu)人物的羅伯特·蘭登提到它們也用于密碼學(xué)時(shí),，他可不是在逗我們。

在洛斯阿拉莫斯國家實(shí)驗(yàn)室從事量子計(jì)算算法研究的物理學(xué)家羅蘭多·索馬(Rolando Somma)解釋說：“帶虛分量的復(fù)數(shù)在理論物理中也很有用,?！?/p>

索馬說：“由于它們與三角函數(shù)的關(guān)系，它們?cè)诿枋?，例如,，周期函?shù)時(shí)很有用。這些是波動(dòng)方程的解,，所以我們用復(fù)數(shù)來描述各種波,，比如電磁波。因此,，和數(shù)學(xué)一樣,，物理中的復(fù)雜微積分是簡化計(jì)算的極其有用的工具,。”

復(fù)數(shù)在量子力學(xué)中也有作用,，量子力學(xué)是一種在原子和亞原子粒子尺度上描述自然行為的理論,。

索馬表示：“在量子力學(xué)中，'i’明確地出現(xiàn)在Schr?dinger的方程中,。因此,，復(fù)數(shù)似乎在量子力學(xué)中扮演著更基本的角色，而不僅僅是一個(gè)有用的計(jì)算工具,。”

他繼續(xù)說：“量子系統(tǒng)的狀態(tài)可以用它的波函數(shù)來描述,。作為薛定諤方程的解,，這個(gè)波函數(shù)是某些狀態(tài)的疊加，疊加中出現(xiàn)的數(shù)字是復(fù)雜的,。例如,，量子物理中的干涉現(xiàn)象可以很容易地用復(fù)數(shù)來描述?！?/p>