01

今天我們的故事從古希臘的一位英雄阿基里斯說(shuō)起,。

理解這里的英雄我們要按照古希臘的風(fēng)俗習(xí)慣。

阿基里斯作為一名英雄有著兩個(gè)鮮明的特點(diǎn)

也是因?yàn)檫@么一個(gè)小弱點(diǎn)，在特洛伊戰(zhàn)爭(zhēng)中,，被太陽(yáng)神阿波羅一箭射死,。

但這并不是阿基里斯最悲慘的事情，而是另外一個(gè)特點(diǎn)引起的挑戰(zhàn),。

02

一天,，一只烏龜翻山越嶺來(lái)找阿基里斯說(shuō)，我是跑得最快的烏龜,，別人都說(shuō)你是跑得最快的人,，但你永遠(yuǎn)追不上我，不過(guò)你號(hào)稱(chēng)是跑得最快的人,，你得先讓我領(lǐng)先你1000米,。

還沒(méi)等阿基里斯回話，烏龜又說(shuō)到

你只能無(wú)限的接近我,，卻永遠(yuǎn)追不上我。

聽(tīng)完烏龜?shù)囊环撌?，比賽還沒(méi)開(kāi)始,，阿基里斯就認(rèn)輸了。

不過(guò)第二天又來(lái)了一只小烏龜,，這只小烏龜和阿基里斯說(shuō),，我不跑你也永遠(yuǎn)追不上我，你號(hào)稱(chēng)是跑得最快的人,，得先讓我領(lǐng)先你64米,。

說(shuō)完了這句，小烏龜又接著說(shuō)到

你只能無(wú)限的接近我,，卻永遠(yuǎn)追不上我。

阿基里斯一想確實(shí)是這么一回事,，比賽還沒(méi)開(kāi)始,，阿基里斯又認(rèn)輸了。

03

那么阿基里斯到底追不追得上烏龜呢,？我們就第一只烏龜進(jìn)行理解

這里的路程和時(shí)間都滿足“等比數(shù)列”前n項(xiàng)和公式,，整理得

所以小烏龜?shù)恼f(shuō)法并不正確

時(shí)間和空間雖然可以分割成無(wú)限多份，但這無(wú)限多份加起來(lái)并不是一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)的時(shí)間和空間,。

阿基里斯輸給小烏龜,，是輸在理論基礎(chǔ)沒(méi)打牢，那時(shí)他還不知道什么叫做無(wú)窮小,。

04

時(shí)間來(lái)到了十八世紀(jì)初,，這時(shí)出現(xiàn)了兩位數(shù)學(xué)家萊布尼茨和牛頓。

他們各自獨(dú)立發(fā)明了一個(gè)讓理科生沉默,、文科生流淚的微積分,。

但是這并沒(méi)有限制微積分的發(fā)揮

那時(shí)候就一個(gè)名叫貝克萊的人跳了出來(lái),，說(shuō)微積分其實(shí)就不該出現(xiàn),。

貝克萊

但貝克萊并不是為了減輕我們學(xué)習(xí)的壓力，而是為了保護(hù)大主教免遭科學(xué)的攻擊,。

貝克萊說(shuō)微積分當(dāng)中有個(gè)重要基礎(chǔ)概念——導(dǎo)數(shù),，就是錯(cuò)的，你們只是依靠雙重錯(cuò)誤得到一個(gè)正確結(jié)果而已,。

導(dǎo)數(shù)的概念：當(dāng)函數(shù)y=f（x）的自變量x在一點(diǎn)x0上產(chǎn)生一個(gè)增量Δx時(shí),，函數(shù)輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值，在Δx趨于0時(shí)的極限a如果存在,，a即為在x0處的導(dǎo)數(shù),，記作f'（x0）

貝克萊指出Δx（無(wú)窮小）到底是不是0

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科學(xué)一路走來(lái),，微積分的實(shí)用性大家都有目共睹,，但要筑成高樓大夏，基礎(chǔ)就得牢固,。

為此科學(xué)家們不斷嚴(yán)格定義著“無(wú)窮小是不是0”這一說(shuō)法,，從而使微積分的基礎(chǔ)變得堅(jiān)實(shí)。

其中以柯西為首定義的“無(wú)窮小是以0為極限的變量”為我們普遍所接受,。

柯西

微積分也因經(jīng)歷此番磨難,，修煉得更為系統(tǒng)化、完整化,，成為一位十八世紀(jì)數(shù)學(xué)界的英雄,。

從小烏龜和阿基里斯引發(fā)的矛盾，到大家發(fā)現(xiàn)矛盾,，再到矛盾的解決,，可以說(shuō)整個(gè)人類(lèi)的文明都是從這樣的過(guò)程建立起來(lái)的。

一次大的危機(jī)往往預(yù)言著一次根本性的革命,。同時(shí)帶著科學(xué)的產(chǎn)物,。

而這次數(shù)學(xué)危機(jī)也帶來(lái)了新產(chǎn)物——集合論,。集合論又將有著什么樣的有趣小故事呢,？我們下期見(jiàn)