繪畫和數(shù)學(xué)看起來像是兩個(gè)風(fēng)馬牛不相及的領(lǐng)域,，畢竟數(shù)學(xué)靠理性,，繪畫靠想象力,，其實(shí)不然呀,，數(shù)學(xué)和繪畫還是有相通之處的，那就是兩者都需要腦洞,，數(shù)學(xué)家的腦洞大起來也有些可怕，什么三角形內(nèi)角和大于180°了,，兩點(diǎn)之間線段最短了,，這些都是數(shù)學(xué)家的腦洞,，不過話說回來,，數(shù)學(xué)家的腦洞還是要建立在嚴(yán)格的邏輯推理基礎(chǔ)上的,，要是一個(gè)畫家去接觸數(shù)學(xué)呢？那就會(huì)創(chuàng)造出一個(gè)奇異瑰麗的神奇世界。

這個(gè)畫家就是埃舍爾,。

數(shù)學(xué)家們很早就研究了平面鑲嵌問題,。平面鑲嵌問題其實(shí)就是如何鋪地板磚，我們腳下的地板磚的鋪設(shè)都是用相同的圖形完全覆蓋地面,，一般都是用正方形,，其實(shí)用全等的任意四邊形就可以了，用全等的任意三角形也可以,，對(duì)于五邊形和六邊形來說,，就不能是任意的了,，得是特殊的,，另外它們之間的組合也可以做到無死角無遺漏的完全鋪滿平面，經(jīng)數(shù)學(xué)家證明,，只有17種方式可以滿足平面鑲嵌,。

譬如這樣的。

還可以是這樣的,。

但不管怎么說,，也只有17種方式，這是數(shù)學(xué)家證明了的,，但是在埃舍爾的刻刀下,，居然還可以有這樣的。

和這樣的,。

注意到了嗎,？畫中的空白也構(gòu)成了鳥和魚的形象，這樣的畫埃舍爾還有一大堆呢,，比如這樣的,。

這樣的。

對(duì)埃舍爾的腦洞嘆為觀止了嗎,？還不夠,，再看看這個(gè)。

先不說平面鑲嵌的問題,，先找一找圖中有幾張臉吧,，這是埃舍爾的第一張平面鑲嵌的話，圖中一共有八張臉,，這幅畫的名字也叫做《八張臉》,，后來的那么多的找一找圖中有幾個(gè)人幾匹馬都是學(xué)的埃舍爾。

可以嘆為觀止了吧,，在平面鑲嵌上確實(shí)可以了,，不過埃舍爾怎么會(huì)只滿足于一個(gè)簡(jiǎn)單的平面鑲嵌呢,，他又對(duì)曲線下手了。

說到螺線,，最著名的應(yīng)該是阿基米德螺線了,，不過對(duì)螺線研究最深的還是雅各布.伯努利，他的墓碑上都刻著一幅對(duì)數(shù)螺線,，但是畫的最好看的還得是埃舍爾,。

這就是埃舍爾的《漩渦》，看起來有點(diǎn)平平無奇吧,，確實(shí)有點(diǎn),，這腦洞開的一般呀，不過看問題要看細(xì)節(jié),，我們放大看的話,，就可以發(fā)現(xiàn)這都是魚構(gòu)成的，而且是從大到小的魚,，這意味著什么,？這就是科克曲線呀。

科克曲線就是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形,，取每邊中間的三分之一,，接上去一個(gè)形狀完全相似的但邊長(zhǎng)為其三分之一的三角形,，這樣如此一直重復(fù)下去,，冬天的雪花就是一種科克曲線。

科克曲線就是自相似性,，曼德勃羅把這個(gè)叫做分形,。

分形幾何對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)就是突破了人們對(duì)維度的認(rèn)識(shí)。一般情況下我們認(rèn)為直線是一維的,，平面是二維的,，空間則是三維的，這就是說維度都是自然數(shù),，而在分形幾何中,，維度就不是自然數(shù)了，就可能是小數(shù)了,，比如科克曲線就是1.26維,。

既然知道了分形這個(gè)概念，埃舍爾怎么可能撒手呢,。

這是不是比曼德勃羅的分形還酷炫,。

既然都知道了維數(shù)不是自然數(shù)了，那么從一維到二維是怎么過渡的,，二維又是如何變道了三維呢,？這個(gè)問題還得埃舍爾來回答。

在這幅《蜥蜴》中，二維的蜥蜴爬出了畫面變成了三維,，溜達(dá)了一圈以后又進(jìn)入了畫稿,，從三維變成了二維。

還有這幅《魔鏡》,，也是二維和三維之間的變化,。

再看看這一幅《天鵝》

這到底是幾個(gè)意思？是平面鑲嵌嗎,？還是二維到三維的轉(zhuǎn)化,？都是，那不就是個(gè)重復(fù)嗎,？當(dāng)然不是,，仔細(xì)看中間，黑天鵝和白天鵝交匯的地方,，你能看出來是黑天鵝轉(zhuǎn)化成白天鵝還是白天鵝轉(zhuǎn)換成黑天鵝嗎,？這又是什么數(shù)學(xué)概念呀？

這是拓?fù)鋵W(xué),。

拓?fù)鋵W(xué)是個(gè)什么玩意呀,？咱們用一句話就可以解釋了，就是莫比烏斯帶呀,。

莫比烏斯帶就是把一個(gè)帶子交叉后兩端粘結(jié)在一起,，這個(gè)帶子有很多奇異的特性，最奇異的就是走不到頭,，咱們想象一下一只小螞蟻在莫比烏斯帶上,，這只悲催的小螞蟻會(huì)發(fā)現(xiàn)它永遠(yuǎn)爬不到頭，聽起來有點(diǎn)不好理解,，是吧,？還是請(qǐng)埃舍爾畫出來吧。

現(xiàn)在明白了吧,。

既然玩開了,，那就繼續(xù)玩，再看看埃舍爾的《結(jié)》,。

這還是拓?fù)鋵W(xué),，其實(shí)就是剪開的莫比烏斯帶，這就是莫比烏斯帶的第二個(gè)特性,，要是沿著帶子剪一刀的話,，莫比烏斯帶不會(huì)變成兩條，而是還是一條,，不過是更復(fù)雜了,。

都說到三維了,，咱們就看看埃舍爾是如何對(duì)立體伸出魔掌的。

從歐拉定理就是頂點(diǎn)數(shù)-棱長(zhǎng)數(shù) 表面數(shù)=2可以推導(dǎo)出,，正多面體只有五種,，分別是正四面體立方體正八面體正十二面體和正二十面體，正多面體就是每一個(gè)面都是相同的正多邊形,，比如正四面體的每一個(gè)面都是三角形,，立方體每一個(gè)面都是正方形。

要是放寬點(diǎn)條件呢,，就是每一個(gè)面可以不是相同的正多邊形,，那么就可以有十三種，這種多面體又叫阿基米德多面體,。

可是對(duì)于埃舍爾來說,，阿基米德就是個(gè)渣。

到現(xiàn)在為止,，不管怎么埃舍爾挖空心思都還是在歐幾里得幾何的腳下徘徊,，這怎么可能滿足他的野心呢，除了歐幾里得幾何之外還有沒有別的什么新奇東西嗎,？當(dāng)然有了,，那就是非歐幾何。

非歐幾何是由俄羅斯的羅巴切夫斯基還有高斯和他的學(xué)生黎曼共同創(chuàng)造的,，其實(shí)高斯應(yīng)該排在最前面,，只是他有了這個(gè)想法沒有偷偷地寫在了筆記本里，并沒有公布,，反而讓羅巴切夫斯基搶了先,。

歐式幾何認(rèn)為過直線外一點(diǎn)只能有一條直線和這條直線平行,，而非歐幾何認(rèn)為不是這樣,，羅巴切夫斯基認(rèn)為過直線外一點(diǎn)可以有無數(shù)條直線和這條直線平行，黎曼幾何認(rèn)為過直線外一點(diǎn)沒有直線和這條直線平行,，神奇不,？腦洞大不？

但是腦洞大也大不過埃舍爾,，他把非歐幾何給畫出來了,。

嗯？不對(duì)呀,，沒看出什么平行線呀,，確實(shí)沒有，不過非歐幾何還有一個(gè)推論,，就是三角形內(nèi)角和不等于180°,，四邊形內(nèi)角和也不等于360°,，那咱們?cè)僮屑?xì)看看，這幅畫中的三角形內(nèi)角和是不是小于180°,，所以說埃舍爾畫的就是非歐幾何,。

非歐幾何都出來了，相對(duì)論不出來是不是有點(diǎn)不合適了,，畢竟相對(duì)論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是非歐幾何,，埃舍爾還真畫了一幅《相對(duì)論》。

感覺到什么了,？迷茫,？確實(shí)是的，因?yàn)樵谶@幅畫哄根本就分不出什么是上什么是下,，據(jù)說彭羅斯受其感召,，畫出來了彭羅斯樓梯。

彭羅斯樓梯和莫比烏斯帶一樣是永遠(yuǎn)走不完的,，而且是一直向上走,，走著走著就回到了原點(diǎn)，這怎么可能呢,？在現(xiàn)實(shí)中當(dāng)然不可能,，不過在夢(mèng)中還是有可能的。

在電影《盜夢(mèng)空間》中,，就使用了彭羅斯樓梯來表現(xiàn)夢(mèng)境的詭異,。

彭羅斯沒想到的是他不但啟迪了電影，也惹了埃舍爾,，埃舍爾本來就對(duì)數(shù)學(xué)概念感興趣,，現(xiàn)在彭羅斯送上門來他怎么舍得放過呢。

來看看這幅《瀑布》,，誰來說說這瀑布是怎么從下面流到上面去的,，這不就是永動(dòng)機(jī)嗎？

誰又來解釋一下這個(gè)梯子是怎么從觀景樓里面搭到外面去的,？

這簡(jiǎn)直就是顛覆了物理學(xué),。

埃舍爾不但能顛覆物理學(xué)，還能顛覆數(shù)學(xué),。

第三次數(shù)學(xué)危機(jī)的起源就是羅素的理發(fā)師悖論,，大意就是小鎮(zhèn)上的理發(fā)師說他只為小鎮(zhèn)上不給自己刮臉的人刮臉，那么這個(gè)理發(fā)師應(yīng)該給自己刮臉嗎,？要是他給自己刮臉了,，那么他就不是不給自己刮臉的人，那就不該給自己刮臉,，要是他不給自己刮臉的話,，那么他就是不給自己刮臉的人,，他就該給自己刮臉，對(duì)于理發(fā)師來說這就陷入了兩難境地,。

埃舍爾又從這里得到了靈感,，他畫出了《手畫手》。

那你說這兩只手是誰在畫誰呢,？這是不是就是自我指謂,？這是不是就是理發(fā)師悖論？

埃舍爾不僅對(duì)數(shù)學(xué)感興趣,，就是科幻的東西他也感興趣,。

《三體》中對(duì)小宇宙的描述是這樣的：“他們決定先熟悉周圍的環(huán)境再進(jìn)入這些房子，于是繼向前走,，很快來到了這個(gè)小世界的邊緣?，F(xiàn)在，他們面對(duì)著前面的復(fù)制世界,，最初,，他們以為那是個(gè)映像，雖然無法解釋它的方向,，但走到一半時(shí)就否定了這個(gè)想法,，因?yàn)槟莻€(gè)復(fù)制世界太真切了，不像在鏡子中,。果然,，他們向前邁一步就毫無阻礙地進(jìn)入了復(fù)制世界，四下看看,，程心的心中升起了一絲恐懼,。

　　一切都恢復(fù)到他們剛進(jìn)入時(shí)的狀態(tài):他們身處一個(gè)與剛才一模一樣的田園中，前方,、兩側(cè)都是這個(gè)田園的復(fù)制世界,，在這些復(fù)制世界中，他們也存在,?；仡^看看,，在他們剛剛邁出的田園中,，他們正在田園最遠(yuǎn)的一側(cè)，也在回頭看,?！?/p>

這是個(gè)什么樣的世界？書中關(guān)一帆做出了解釋,，這就是米什內(nèi)爾空間,。

“他（米什內(nèi)爾）是公元世紀(jì)的一個(gè)物理學(xué)家,，他是最早想象出這種東西的人。我們所在的世界其實(shí)很簡(jiǎn)單,，是一個(gè)正立方體,，邊長(zhǎng)我估計(jì)在一千米左右，你可以把它想象成一個(gè)房間,，有四面墻,，加上天花板和地板。但這房間的奇怪之處在于,，它的天花板就是地板,，在四面墻中，相對(duì)兩面墻其實(shí)是一面墻,，所以它實(shí)質(zhì)上只有兩面墻,。如果你從一面墻前向?qū)γ娴膲ψ呷ィ?dāng)你走到對(duì)面的墻時(shí),，你立刻就回到了你出發(fā)時(shí)的那面墻前,。天花板和地板也一樣。所以,，這是一個(gè)全封閉的世界,，走到盡頭就回到起點(diǎn)。至于我們周圍看到的這些映像,，也很簡(jiǎn)單,，只是到達(dá)世界盡頭的光又返回到起點(diǎn)的緣故。咱們現(xiàn)在還是在剛才的那個(gè)世界中,，是從盡頭返回起點(diǎn),，只有這一個(gè)世界，其他都是映像,?！?/p>

看起來還是有點(diǎn)不好想象，那就把這個(gè)任務(wù)交給埃舍爾吧,。

這就是埃舍爾的《異度空間》,，也就是劉慈欣筆下的小宇宙，不過這么美好的東西居然交給了圣母程心來住,，我想就是埃舍爾泉下有知也會(huì)感到有些難以忍受,。