Rafael Araujor  《海螺輕輕吹》

Rafael Araujor  《蝴蝶翩翩飛》

中世紀德國著名畫家阿爾布雷特·丟勒在其功成名就之時,，突然宣布轉向數(shù)學研究,，這種跨度似乎很難用心血來潮或別出心裁解釋。即便如此,，這位酷愛幻方的畫家為其1514年的名作《憂郁》添加了一個特別背景——四階幻方（畫作右上角）,，足以顯示自己業(yè)余愛好的非凡水準,。

阿爾布雷特·丟勒  《憂郁》

用數(shù)學眼光來判斷，畫家苦心經(jīng)營的這個四階幻方看似非常普通,。唯一比較特別的是,，幻方最后一行中間兩個數(shù)是15和14，恰好隱含了作品的創(chuàng)作年代,，似乎也僅此而已,。由于當時的四階幻方已達880種之多，各有千秋,、精彩紛呈,，所以人們當初并沒有對畫中的幻方高看一眼。

然而到了本世紀,，當專家重新審視這則幻方時,，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)百年來大家都是“有眼不識泰山”，這則幻方中蘊含的種種被忽略的特性足以讓人刮目相看,。

第一,，幻方角上4數(shù)之和16 13 4 1=34，等于四階幻方的和常數(shù),，這可不是幻方的常規(guī)要求,，看似無心卻是有意；第二,，在這個幻方中,，角上的4個2×2小正方形和中央1個2×2小正方形的4數(shù)之和仍等于幻方常數(shù)，即16 3 5 10=9 6 4 15=2 13 11 8=7 12 14 1＝10 11 6 7=34,，其中的機巧讓人眼前一亮,；第三，在這個幻方中,，對角線上8個數(shù)字之和等于不在對角線上的8個數(shù)字之和,，

即16 10 7 1 13 11 6 4=2 3 5 9 14 15 12 8=68，這顯然出乎人們的意料和想象,。

這還沒完,，繼續(xù)嘗試又有新發(fā)現(xiàn)：對角線上8個數(shù)字的平方和等于不在對角線上的8個數(shù)字的平方和。

即162 102 72 12 132 112 62 42=22 32 52 92 142 152 122 82=748,，這就更為難得了,。

推演后，人們還發(fā)現(xiàn)：對角線上8個數(shù)字的立方和等于不在對角線上的8個數(shù)字的立方和,，都為9248,。如此“不變其宗”的機變實在讓人拍案叫絕。

一個畫家的數(shù)學造詣和精巧構思竟然如此高深,，這恐怕是許多人完全沒有想到的,。 

文森特·威廉·梵高是19世紀偉大的藝術巨匠,，也是舉世聞名的印象派大師。他的一生歷經(jīng)艱難困苦,。梵高在世時,，其藝術造詣并未得到充分肯定，他飽受癲癇病和精神錯亂的折磨,，甚至割掉了自己的一只耳朵，最終在37歲時于絕望中開槍自殺,。與此同時,，梵高的一生又取得了輝煌的成就，如今,，他已成為人們心目中偉大的藝術家,，其畫作不斷被拍出高價，在藝術史上達到了令人難以超越的高度,。

梵高  《麥田上的烏鴉》

更耐人尋味的是：在被視為經(jīng)典的梵高后期作品之《麥田上的烏鴉》以及《星空》里,，科學家用獨特的眼光發(fā)現(xiàn)了非比尋常的元素，畫作中一些旋渦式圖案背后竟然暗藏著復雜的數(shù)學和物理學公式,。

在這幅《麥田上的烏鴉》中,，烏云翻卷的天空和狂風撼動下的麥田，急促而蒼勁的黑色線條,，畫出在波浪起伏的麥田上低掠而過的烏鴉,。畫中的每筆線條都帶有強烈的動感，動蕩不安的構圖,、明暗對比強烈的色調,、粗野狂放的繚亂筆觸，充分顯露出梵高內心的孤獨,、壓抑和苦悶,。

在《星空》中，畫著一些小屋,絲柏從地面伸向夜空,；黃色的星星與閃光的橘黃色月亮形成旋渦,天空因此變得活躍起來,。

梵高  《星空》

在這兩幅作品中，幾乎所有人都能感受到旋渦的存在和作用,，一直以來,，人們把這些旋渦看成是梵高的一種獨特的藝術表現(xiàn)形式，但現(xiàn)在,，來自墨西哥國立自治大學的物理學家喬斯·阿拉貢經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn),，梵高畫作里出現(xiàn)的那些深淺不一的旋渦，竟然和半個世紀后科學家用來描述湍流現(xiàn)象的數(shù)學公式不謀而合,。

湍流問題曾被稱為“經(jīng)典物理學最后的疑團”,，科學家一直試圖用精確的數(shù)學模型來描述湍流現(xiàn)象,，但至今仍未徹底解決。20世紀40年代,，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫提出了“柯爾莫哥洛夫微尺度”公式,，借助該公式，物理學家可以預測流體任意兩點之間在速率和方向上的關系,。在梵高的這兩幅畫作里,，那些深淺不一的旋渦正好精確地反映了這個公式。

需要指出的是,，梵高這些畫作均為其后期作品,，當時的他已經(jīng)陷入癲癇病帶來的內心狂亂狀態(tài)，時而清醒,，時而混亂,。阿拉貢相信，正是梵高的幻覺讓他得以洞察旋渦的原理,。持類似觀點的還有哈佛大學神經(jīng)病學教授史蒂文·沙克特,，他認為：“有人會在發(fā)病時產(chǎn)生新的、異常的意識,，他的感覺和認知都會變得不正常,。”換句話說,，梵高畫作里表現(xiàn)出的物理現(xiàn)象,，極有可能與其受癲癇病影響有關?？茖W家們相信癲癇令梵高產(chǎn)生的幻覺,，可能賦予他洞察湍流奧秘的特殊能力，并不自覺地在作品中留下湍流的經(jīng)典數(shù)學模型的影像,。

盡管這樣的解釋并不能完全令人信服,，但這種藝術與科學的碰撞，或許與梵高天才的想象和苦行僧般的經(jīng)歷有關,，冥冥之中的注定恐怕只可意會,，難以言傳，因此我們在對科學家的發(fā)現(xiàn)表示驚訝的同時,，也只能對這位藝術大師的傳奇表達敬意,。 

莫里茨·科內利斯·埃舍爾是荷蘭科學思維版畫大師，20世紀畫壇中別具一格的藝術家,。其作品多以平面鑲嵌,、不可能的結構、悖論以及循環(huán)等為特點，從中可以看到對分形,、對稱,、雙曲幾何、多面體,、拓撲學等數(shù)學概念的形象表達,，為繪畫藝術增添了難以言說的數(shù)學之美，他也被公認為將繪畫藝術性與數(shù)學科學性融會貫通并發(fā)揮到極致的藝術大師,。

莫里茨·科內利斯·埃舍爾

1956年,，埃舍爾舉辦了生平第一次重要的畫展，這個畫展得到了《時代》雜志的好評,，使他在世界范圍獲得了極高的名望,。許多數(shù)學家給予埃舍爾藝術作品充分的肯定，認為埃舍爾藝術作品中的數(shù)學原則和思想得到了非同尋常的形象化,。后來，隨著埃舍爾創(chuàng)作的發(fā)展,，創(chuàng)造出許多反映悖論和“不可能”的圖形結構的藝術作品,，見者莫不驚嘆于數(shù)學思維融入藝術創(chuàng)造中的奇特魅力。

埃舍爾  《互繪的雙手》

比如上面這幅引人注目的作品《互繪的雙手》,，你看到后會情不自禁地研判究竟是哪一只手繪出了另一只手,。畫面中既像左手畫著右手，又像右手畫著左手,，當然也可以看作左右手互繪,，在確定無解后只能感慨“你中有我，我中有你”的神奇,。而這恰好反應了埃舍爾作品中極為重要的特征——自我復制和完全循環(huán),。事實上，在埃舍爾其他代表作品中,，這種特征隨處可見,，已成特色，并由此營造出匪夷所思的視覺效果,。

不僅如此,，埃舍爾的許多作品還體現(xiàn)了平面鑲嵌的特點。所謂“平面鑲嵌”,，是指完全沒有重疊并且沒有空隙的封閉圖形的排列,。一般情況下，構成鑲嵌的封閉圖形的基本單元是多邊形或類似的常規(guī)形狀,，埃舍爾更癡迷于那些不規(guī)則的,、形狀特別的平面鑲嵌。因此,，在他的很多藝術作品中,，都運用了幾何學中的反射,、旋轉來得到更加多變的圖案，并獨具匠心地使這些圖案通過扭曲,、變形成為人,、鳥、魚等,，這樣美不勝收的效果既自然又令人拍案叫絕,。比如《騎士平面鑲嵌》和《黑白鳥的鑲嵌》就充分反映出重疊、翻轉的數(shù)學美,。

埃舍爾  《騎士平面鑲嵌》

埃舍爾  《黑白鳥的鑲嵌》

此外,，交叉幾何體也常常出現(xiàn)在埃舍爾的藝術作品中，比如木版畫《星空》這是一個由八面體,、四面體和立方體交叉構成的幾何體,，這些正面體都是外凸的，同時還存在內凸的正多面體,，數(shù)學家已證明出存在26種可能的規(guī)則立體,，它們之間互相交叉后還可以形成無數(shù)規(guī)則的立體系列。埃舍爾設計出飄浮著無數(shù)規(guī)則立體的星空背景,，并在奇妙的正多面體中加入了兩條變色龍,，帶給觀眾奇妙的視覺沖擊，巧妙展現(xiàn)出了立體幾何的數(shù)學美,。

埃舍爾   木版畫《星空》

特別值得一提的是,，在埃舍爾用數(shù)學觀點完成的所有重要藝術作品中，最重要的是處理空間性質的作品,。比如《瀑布》,，從中可以發(fā)現(xiàn)這個瀑布本質上就是兩個彭羅斯三角的疊加，形成了矛盾的空間,，顯示了埃舍爾對空間維度的關注以及用二維的方式表現(xiàn)三維空間的矛盾和詭術,。

所謂彭羅斯三角，看起來像是一個固體,，由三個截面為正方形的長方體所構成,，三個長方體組合成為一個三角形，但兩長方體之間的夾角似乎又是直角,。但上述性質無法在任何一個正常三維空間的物體上實現(xiàn),，是所有不可能圖形中最基礎的一個。

埃舍爾  《瀑布》

彭羅斯三角

在埃舍爾手中,，剛性的維度可以任意扭曲反轉,，從而展示出在其豐富想象空間中的魔法變換。在《莫比烏斯帶上的螞蟻》中，如果我們跟蹤螞蟻的路徑,，就會發(fā)現(xiàn)螞蟻并不是在相反的面上爬行,，而是爬行在同一個面上。這就是埃舍爾藝術作品中展現(xiàn)出的拓撲學價值和數(shù)學美,。

埃舍爾  《莫比烏斯帶上的螞蟻》