分形幾何不僅僅是數(shù)學(xué)的一個章節(jié),，它還幫助普通人以不同的方式看待同一個世界?！摺ぢ虏_ 分形是一種“無限循環(huán)”的模式，在不同的尺度上不斷重復(fù)自己,。這種不斷重復(fù)的性質(zhì)叫作自相似,。分形被認(rèn)為是無限復(fù)雜的，也就是說如果你可以不斷放大一張分形圖片（下圖）,，你總是可以看到相同的結(jié)構(gòu),。分形這個術(shù)語是由曼德勃羅在1975年創(chuàng)造的，它源于拉丁語“fractus”,，意思是“破碎的”或“斷裂的”,。
由于分形具有“無限復(fù)雜性”,，你可能認(rèn)為分形很難制作，但這是一個非常簡單的過程,。要做一個分形,，只需要一遍又一遍地重復(fù)同樣的過程。用數(shù)學(xué)術(shù)語來說,，數(shù)學(xué)分形是一個迭代（遞歸的一種形式）的方程,。最著名的分形是曼德勃羅集合，它來自于復(fù)數(shù)集合c,。數(shù)學(xué)家Adrien Douady定義了下面的函數(shù)
以致敬曼德勃羅,，并將其命名為曼德勃羅集合。當(dāng)從z=0迭代時,，不會向無窮大發(fā)散,。另一個著名的分形的例子是謝爾賓斯基三角形，以波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基的名字命名,，由三個步驟組成：- 將三角形分成四個等邊小三角形，去掉中間的三角形,，
這種分形是用牛頓法求解多項(xiàng)式方程的結(jié)果。上圖是用牛頓法求出多項(xiàng)式z^3-1=0的三個根的結(jié)果,，人類的肺和皮層神經(jīng)元是分形器官的完美例子,。- 女性大腦中發(fā)送信息的神經(jīng)元——被稱為軸突，哈佛大學(xué)李奇曼實(shí)驗(yàn)室
分形流體分布技術(shù)的應(yīng)用包括色譜,、離子交換,、蒸餾和其他需要塞流特性以最大化性能的應(yīng)用。分形天線系統(tǒng)公司（FAS）創(chuàng)造了分形天線,，分形超材料,，分形電池，以分形電路設(shè)計(jì),，他們的分形技術(shù)創(chuàng)新是無止境的,。FAS制造的分形天線正在進(jìn)入手機(jī)和其他設(shè)備。他們的分形天線在4個關(guān)鍵方面比競爭對手具有明顯的技術(shù)優(yōu)勢：- 固有的寬帶/多波段意味著只需要一個天線,，減少了整體天線的數(shù)量,，因此降低了成本。
- 與傳統(tǒng)天線相比，需要更少的組件就能達(dá)到相同的性能,，
分形幾何已經(jīng)應(yīng)用于許多換熱設(shè)備,，包括散熱器,、燃料電池、微反應(yīng)器,、分配器,、集熱器、管殼式換熱器,、紡錘體和硅/鍺納米復(fù)合材料,。由于分形結(jié)構(gòu)具有溫度均勻性的優(yōu)勢，基于此,，工程師們對芯片散熱片進(jìn)行了大量的優(yōu)化研究,。
CT圖像的分形分析正被用于理解和解決各種肺部疾病。檢測肺部異常的方法遵循基于二維和三維分形維數(shù)的簡單算法,。利用該算法對高分辨率CT圖像進(jìn)行掃描,，并根據(jù)其整體分形維數(shù)對正常和異常肺進(jìn)行分類。- 自相似結(jié)構(gòu)和自相似波動的示意圖表示
基于分形模式的心率調(diào)節(jié)研究正在進(jìn)行中,。上圖描述了類似于分形時間過程的心率調(diào)節(jié),，是如何在統(tǒng)計(jì)上自相似的不同時間尺度上產(chǎn)生波動的。分形不僅具有藝術(shù)和數(shù)學(xué)價值,，它們在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)文件壓縮系統(tǒng),、互聯(lián)網(wǎng)架構(gòu)和醫(yī)學(xué)方面也有巨大的應(yīng)用,。由于分形在數(shù)學(xué)中仍是一個相對較新的領(lǐng)域，仍有更多的應(yīng)用未被發(fā)現(xiàn),。
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