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互助,、共享、學習 一共十八章（第一章緒論,、第二章坐標系統(tǒng),、第三章矢量數(shù)據模型、第四章柵格數(shù)據模型,、第五章GIS數(shù)據獲取,、第六章幾何變換,、第七章空間數(shù)據準確度和質量、第八章屬性數(shù)據管理,、第九章數(shù)據顯示與地圖編制,、第十章數(shù)據探查、第十一章矢量數(shù)據分析,、第十二章柵格數(shù)據分析,、第十三章地形制圖與分析、第十四章視域和流域,、第十五章空間插值,、第十六章地理編碼和動態(tài)分段,、第十七章最小耗費路徑分析和網絡分析,、第十八章GIS模型與建模。）地形是一種人們熟知的表面,。GIS用戶還會遇上其他類型的表面,，這些面本來可能無法以實體顯示，但可用生成陸地表面同樣的方法使之可視化,，被稱為統(tǒng)計表面,。統(tǒng)計表面包括降水量、積雪量,、水位和人口密度等,。>>構建一個統(tǒng)計表面與構建陸地表面相似，只是要求輸入數(shù)據局限為點的數(shù)據樣本,。>>空間插值,，即用已知點的數(shù)值來估算其他點的數(shù)值的過程?？臻g插值創(chuàng)建一個格網,，又稱為格網化（gridding）。因此,，空間插值是將點數(shù)據轉換成面數(shù)據的一種方法,，目的在于使面數(shù)據能以三維表面或等值線地圖顯示，且能用于空間分析和建模,。空間插值地統(tǒng)計教程：ArcGIS Geostatistical Analyst 教程簡介 （地統(tǒng)計）
空間插值的元素介紹內容為：控制點,、空間插值的類型。
進行空間插值要有兩個基本條件：已知點和插值方法,。
控制點是已知數(shù)值的點，也稱為已知點,、樣本點或觀測點,?？刂泣c提供了為空間插值建立插值方法（如數(shù)學方程）的必要數(shù)據。
空間插值有多種分類方法,。1、可分為全局和局部擬合法,。全局域插值法利用現(xiàn)有的每個已知點來估算未知點的值,；局部插值法則是用已知點的樣本來估算未知點的值。這兩種方法的區(qū)別是用于估算的控制點數(shù)目不同,?？煽醋魇浅叨炔煌倪B續(xù)統(tǒng)一體。全局插值法用于估算表面的總趨勢,，而局部插值法用于估算局部或短程變化,。2、可分為精確和非精確插值法,。精確插值法在該點位置的估算值與該點已知值相同,。即，精確插值所生成的面通過所有的已知點,。而非精確插值,，或稱為近似插值，估算的點值與該點已知值不同,。3,、空間插值方法可以分成確定性和隨機性方法。確定性插值方法不提供預測值的誤差檢驗,。隨機性插值方法則考慮量變的隨機性和用估計變異提供預測誤差的評價,。
趨勢面模型（非精確插值方法）用多項式方程擬合已知值的點，并用于估算其他點的值,。線性或一階趨勢面用如下方程：式中,，屬性值z是坐標x和y的函數(shù)。系數(shù)b由已知點估算,。
一階趨勢面需要估算3個系數(shù),，相比之下，三階趨勢面需要估算10個系數(shù)（如bi）,，才能預測未測點的值,。因此，趨勢面模型的階數(shù)越高，計算量就越大,。GIS軟件包可提供高達12階的趨勢面模型的計算,。趨勢面分析有多種類型。局部多項式插值用一組已知點樣本來估算某一像元的未知值,，如果用局部多項式插值方法,，需將不規(guī)則三角網（TIN）轉換成DEM，并通過DEM求取地形的測度,。回歸模型把方程中的一個因變量與多個自變量聯(lián)系起來?；貧w模型通過回歸方程作為內插程序進行評估,，或探索因變量和自變量之間的關系。許多回歸模型用非空間屬性因而不被視為空間插值方法,。局部擬合法介紹內容為：泰森多邊形,、密度估算、距離倒數(shù)權重插值,、薄板樣條函數(shù)（thin-plate splines）,。局部插值法用一組已知點的樣本來估算未知值,，因此樣本選取十分重要,。1、確定用于估算的已知點個數(shù)（如樣本大?。?；2、已知點選擇（一種是選取最鄰近的已知點為已知點,；一種是用半徑來選擇已知點,，半徑的長短取決于樣本大小。）四分或八分象限,。
泰森多邊形假設泰森多邊形內的任意一點與多邊形內的已知點的距離最近。泰森多邊形也稱為馮羅諾（Voronoi）多邊形,，不進行插值,，而是基于已知點構建初始三角形。連接點的方法不同會形成不同的三角形群,。
在點密集處,，泰森多邊形較小,；在點稀疏處則較大,。多邊形大小反映了諸如公共設施的質量。多邊形越大，意味著家庭位置與公共設施間的距離越大,。多邊形大小也可以用于其他目的,，如預測森林的年齡，多邊形越大,，其樹齡越大,。密度估算用已知點的樣本來量測柵格中的像元密度,。該方法描述了隨機,、聚合和離散模式。密度估算分成簡單密度估算和核密度估算,。簡單估算方法是一個計數(shù)方法,，而核估算方法則基于概率函數(shù)并提供估算的選項。簡單密度估算方法是將柵格置于點分布圖上,，將落在每個像元的點制表,，求所有點值的和，用和除以單元大小,，就估算得每個像元的密度,。核密度估算（kernel density estimation ）將每個已知點與函數(shù)聯(lián)系，用于估算目的,。核函數(shù)表達為雙變量概率密度函數(shù),，看起來像一個隆起（bump），以一個已知點為中心,，在一個定義的帶寬或窗口范圍內逐漸減小到0,。作為表面插值的一種方法，核密度估算已經在不同的領域得到了廣泛的應用,，主要作為數(shù)據可視化和探查的工具,。如公共健康、犯罪學,、道路事故,、城市形態(tài)學等。
距離倒數(shù)權重（IDW）插值法是一種精確插值方法,，它假設未知值的點受近距離已知點的影響比遠距離已知點的影響更大。距離倒數(shù)權重法的通用方程式為：
式中,，z0是點0的估計值,；Zi是已知點i的z值；di是已知點i與點0間的距離,；s是在估算中用到的已知點數(shù)目,；k是確定的冪,。
冪K控制了局部影響的程度。指數(shù)冪等于1.0意味著點之間數(shù)值變化率為恒定不變（線性插值）,。指數(shù)冪大于等于2.0意味著越靠近已知點,，數(shù)值的變化率越大；遠離已知點時,，則趨于平穩(wěn),。
IDW插值的一個重要特征是所有預測值都介于已知的最大值和最小值之間。
薄板樣條函數(shù)（thin-plate splines）,，薄板樣條函數(shù)生成一個通過控制點的表面,，并使所有點連接形成的所有坡面的斜度變化最小。即,，薄板樣條函數(shù)基于生成最小曲率的面來擬合控制點,。薄板樣條函數(shù)的近似表達式為：
式中，x和y是待插值點的x,、y坐標,， ,，xi和yi是控制點i的x,、y 坐標。 克里金法介紹內容為：半變異圖,、模型,、普通克里金法、泛克里金法,、其他克里金法,。
克里金法是一種用于空間插值的地統(tǒng)計學方法?？捎糜诠烙嫷念A測誤差來評估預測的質量?？死锝鸱僭O某種屬性的空間變異（如一個礦體內品位的變化）既不是完全隨機性的也不是完全確定性的,。相反，空間變異可能包括3種影響因素：表征區(qū)域變量變異的空間相關因素,；表征趨勢的“漂移”或結構,；還有隨機誤差。
克里金法用半變異測定空間相關要素,，這里的要素是指對空間依賴的要素或被稱為空間自相關要素。半變異的計算公式為：
式中,，R(h)是已知點 和 的半變異,；h表示這兩個點之間的距離；z是屬性值。半變異云圖是探測研究對象空間變異性的重要工具,。由于其包含的是所有的控制點對,，操作相對復雜>>克里金法中通常使用一種稱為區(qū)間分組（binning）的過程，并以距離和方向來平均半變異數(shù)據,。其步驟為：1,、將樣本點對分成不同步長的區(qū)間組；2,、按方向對將樣本點再進行分區(qū),；>>區(qū)間分組的結果是生成一系列區(qū)間組，區(qū)間組分別按距離和方向對所有樣本點對進行歸類,。各向異性是描述空間相關的方向差異的術語,；各向同性是指空間相關不隨方向變化而變化，而僅隨距離變化而變化,。 如何啟用地統(tǒng)計分析（Geostatistical Analyst）請參看此篇文章，使用相同路徑啟用即可：關于啟用 ArcGIS 3D Analyst 擴展模塊
在地統(tǒng)計學中,，半變異的擬合比較困難,，并且是一項有爭議的工作：1、可供選擇的模型數(shù)量較多,；2,、缺乏比較不同模型的標準方法。
半變異常用的兩種模型是球體模型（Geostatistical Analyst中默認的模型）和指數(shù)模型,。球體模型>>空間相關性隨距離增加逐漸降低,，直到某一距離后，空間相關性趨于穩(wěn)定,。指數(shù)模型>>其變化出現(xiàn)在各種尺度,，變化幅度相對較小，即隨著距離增加,，空間相關呈指數(shù)型遞減,，直至達到無限遠的距離才消失。
擬合半變異圖包括3個元素：塊金,、變程和基臺,。塊金（nugget）是樣對距離為0時的半變異，表示測量及分析誤差或微小變異,，或兩者,。變程（range）是半變異開始穩(wěn)定時的樣對距離，即它與半變異圖中的空間相關部分的距離相對應,。總基臺值指超該過變程,，半變異趨于相對恒定值,。總基臺值包括兩個部分：塊金和基臺值（partial sill）,，即：基臺值等于總基臺值與塊金之差,。如下圖所示：
如若不存在漂移,，普通克里金法重點考慮空間相關的因素,，并用擬合的半變異直接進行插值。估算某測量點z值的通用方程：
式中,， 是待估計值,； 是x點的已知值； 是x點的權重,；s是用于估算的樣本點數(shù)目,。權重可由對一組聯(lián)立方程求解得到。 泛克里金法假設除了樣本點之間的空間相關性外,，空間變量的z值還受漂移或傾向等影響?？死锝鹗窃谮厔輨h除后的殘差上進行的,。這就是為什么泛克里金也被稱為殘差克里金。一般來說,，泛克里金法通常用到一階（平面曲面）或二階（二維曲面）多項式,。但通常不使用高階多項式，有兩個原因：1,、高階多項式在殘差中會留下少量變異,，造成結果的不確定性；2,、高階多項式意味著相關系數(shù)bi的數(shù)目很多,，并且又必須與權重一起估算，致使需要聯(lián)立求解的方程太多,。
其他克里金包括簡單克里金法、指示克里金法,、離析克里金法和塊克里金法。簡單克里金法假設趨勢組分是一個常數(shù)和已知的均值,，這通常是不現(xiàn)實的,。指示克里金法用非連續(xù)的二進制數(shù)據（如0和1）。因此,，插值得到0-1的數(shù)據,，類似于概率,。離析克里金法用屬性值的函數(shù)進行插值，并且在計算上比其他克里金法復雜,。塊克里金法則基于某個小范圍或塊（而非某個點）估算變量的平均值,。
空間插值方法有許多種,，基于相同數(shù)據采用不同插值方法將生成不同的插值結果,。其他，每章最后均有名詞解釋以及相應的練習題（原理理論回顧以及實際操作應用）,。建議課后復習題,、應用可以學習實操。
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