什么是克里格插值,？
距離權(quán)重倒數(shù)插值和樣條法插值被歸類(lèi)為確定性的插值方法，因?yàn)樗鼈兪侵苯踊谥車(chē)阎c(diǎn)的值進(jìn)行計(jì)算或是用指定的數(shù)學(xué)公式來(lái)決定輸出表面的平滑度的插值方法,。
而第二個(gè)插值方法家族包括的是一些地統(tǒng)計(jì)學(xué)的插值方法（如克里格插值）,，這些方法基于一定的包括諸如自相關(guān)（已知點(diǎn)間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系）之類(lèi)的統(tǒng)計(jì)模型。因此,，這些方法不僅有能力生成一個(gè)預(yù)測(cè)表面,，而且還可以給出預(yù)測(cè)結(jié)果的精度或確定性的度量。
克里格插值與距離權(quán)重倒數(shù)插值相似之處在于給已知的樣本點(diǎn)賦權(quán)重來(lái)派生出未知點(diǎn)的預(yù)測(cè)值,。這兩種內(nèi)插方法的通用公式如下,，表達(dá)為數(shù)據(jù)的權(quán)重總和。
其中,， Z(Si)是已測(cè)得的第i個(gè)位置的值；λi是在第i個(gè)位置上測(cè)得值的未知的權(quán)重,；S0是預(yù)測(cè)的位置,；N 是已知點(diǎn)（已測(cè)得值的點(diǎn)）的數(shù)目。
在距離權(quán)重倒數(shù)插值中,，權(quán)重λi僅取決于距預(yù)測(cè)位置的距離,。
然而，在克里格插值中,，權(quán)重不僅建立在已知點(diǎn)和預(yù)測(cè)點(diǎn)位置間的距離的基礎(chǔ)上,，而且還要依據(jù)已知點(diǎn)的位置和已知點(diǎn)的值的整體的空間分布和排列,。應(yīng)用權(quán)重的空間排列，空間自相關(guān)必須量化,。因此,，運(yùn)用普通克里格插值（Ordinary Kriging），權(quán)重λi取決于已知點(diǎn)的擬合模型,、距預(yù)測(cè)位置的距離和預(yù)測(cè)點(diǎn)周?chē)囊阎c(diǎn)間的空間關(guān)系,。
利用克里格方法進(jìn)行預(yù)測(cè)，必須完成以下兩個(gè)任務(wù)：（1）揭示相關(guān)性規(guī)則,。（2）進(jìn)行預(yù)測(cè),。要完成這兩項(xiàng)任務(wù)，克里格插值方法通過(guò)以下兩個(gè)步驟完成：（1）生成變異函數(shù)和協(xié)方差函數(shù),，用于估算單元值間的統(tǒng)計(jì)相關(guān)（也叫空間自相關(guān)）,，而變異函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)也取決于自相關(guān)模型（擬合模型）。（2）預(yù)測(cè)未知點(diǎn)的值,。因?yàn)榍懊嬉呀?jīng)說(shuō)過(guò)的兩個(gè)明確的任務(wù),，因此要用克里格方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行兩次運(yùn)算：第一次是估算這些數(shù)據(jù)的空間自相關(guān)而第二次是做出預(yù)測(cè)。
變異估計(jì)（Variography）
變異估計(jì)就是擬合一個(gè)數(shù)學(xué)模型或空間模型,，象已知的結(jié)構(gòu)分析,。在已測(cè)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的空間建模中，首先得出經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)的曲線圖,，計(jì)算如下：
半變異函數(shù)（距離h）＝ 0.5*均值[ (在i 位置的值－在j 位置的值)2 ]
用于計(jì)算被距離h分隔的每一點(diǎn)對(duì)相對(duì)應(yīng)的位置,。公式用于計(jì)算一點(diǎn)對(duì)的差值的平方。下面的示意圖顯示了一點(diǎn)對(duì)中的一點(diǎn)（紅色點(diǎn)）的位置和其它所有已測(cè)點(diǎn)位置的相應(yīng)關(guān)系,。這樣步驟延伸了每一個(gè)已測(cè)點(diǎn),。
某點(diǎn)（紅色點(diǎn)）和已測(cè)位置所構(gòu)成的點(diǎn)對(duì)示意圖
通常，每一個(gè)點(diǎn)對(duì)間都相距有一定的距離,，而且又有許多對(duì)點(diǎn)對(duì),。快速繪制所有的點(diǎn)對(duì)并不容易,，替代方式是將這些點(diǎn)對(duì)歸類(lèi)在不同的步長(zhǎng)分組（lag bins）中來(lái)繪制,。例如，計(jì)算距離大于40米小于50米范圍內(nèi)的所有點(diǎn)對(duì)的半變異的均值,，經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)就是這樣一個(gè)曲線圖,，其y軸表示平均半變異函數(shù)的值而x軸表示距離（或叫步長(zhǎng)）（請(qǐng)看下面的圖表）。 
空間自相關(guān)量化了地理學(xué)的基本原理,；空間分布愈接近的地理事物愈具有相似性,。因此，空間上分布愈接近的點(diǎn)對(duì)（在半變異函數(shù)曲線圖上，愈靠近x軸的左邊）應(yīng)該具有更相似的值（在半變異函數(shù)曲線圖上,，愈靠近y軸的下邊）,。而距離愈遠(yuǎn)的點(diǎn)對(duì)（在半變異函數(shù)曲線圖上，沿x軸方向向右移動(dòng)）,，應(yīng)該具有更多的不相似性和更高的平方差（在半變異函數(shù)曲線圖上,，沿y軸方向向上移動(dòng)）。
根據(jù)經(jīng)驗(yàn)半變異圖調(diào)整模型
接下來(lái)的一步就是根據(jù)來(lái)自經(jīng)驗(yàn)半變異圖的點(diǎn)來(lái)調(diào)整模型,。 依據(jù)圖像的什么特征來(lái)調(diào)整,？ -廖暢 5/6/10 2:55 PM 半變異函數(shù)建模是空間描述和空間預(yù)測(cè)間關(guān)鍵的一步?？死锔穹椒ㄖ饕糜陬A(yù)測(cè)非樣本點(diǎn)位置的值,。我們已經(jīng)看過(guò)了經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)如何提供數(shù)據(jù)集的空間自相關(guān)的信息。然而,，它不能提供所有可能的方向和距離信息,。因此，為確?？死锔耦A(yù)測(cè)能有正的克里格方差,， type here -廖暢 5/6/10 3:04 PM -廖暢 5/6/10 3:04 PM 根據(jù)經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)來(lái)調(diào)整一個(gè)模型（即一個(gè)連續(xù)函數(shù)或曲線圖）是非常必要的。理論上講,，這樣擬合連續(xù)的直線或曲線的方法和回歸分析有些相似,。
我們選擇了一些函數(shù)來(lái)作為我們的模型——例如，一個(gè)球面模型,，首先隨距離增加而上升,，超出一定距離范圍后開(kāi)始變平。該模型與經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)模型得出的點(diǎn)有一些偏差,。一些點(diǎn)在曲線上方,，有些點(diǎn)在曲線下方。但是,，如果我們將曲線上方的點(diǎn)的偏差值加在一起的值和將曲線下方的點(diǎn)的偏差值加在一起的值相比,，將會(huì)非常接近。有許多不同的半變異函數(shù)模型可供選擇,。
不同類(lèi)型的半變異函數(shù)模型
空間分析模塊提供了以下經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)可供選擇：三角函數(shù)（Circular）,、 球面函數(shù)（Spherical）、指數(shù)函數(shù)（Exponential）,、高斯函數(shù)（Gaussian）和線性函數(shù)（Linear）,。所選用的模型影響著未知值的預(yù)測(cè)，特別是當(dāng)鄰近原點(diǎn)的曲線的形狀有明顯不同時(shí),。曲線愈陡峭，在預(yù)測(cè)過(guò)程中此點(diǎn)的預(yù)測(cè)將愈受最鄰近單元的影響，因此,，輸出的表面的則較不光滑,。而每一個(gè)模型都是為擬合不同類(lèi)型的現(xiàn)象而精心設(shè)計(jì)的。
下面的曲線圖顯示了兩個(gè)普通模型并反映了函數(shù)間的差別：
球面模型
這一模型顯示了空間自相關(guān)性逐漸步降低（等于說(shuō),，半變異在逐漸升高）的,，直到達(dá)到一定距離，超出這一距離自相關(guān)為零,。球面模型是常用模型中的最普通模型之一,。
指數(shù)模型
隨著距離的增大而空間自相關(guān)性呈指數(shù)下降時(shí)，要運(yùn)用指數(shù)模型,。這里,，僅在無(wú)窮遠(yuǎn)處相關(guān)性完全消失，指數(shù)模型也是一常用模型,。
在空間分析中選擇哪種模型來(lái)進(jìn)行分析是建立在數(shù)據(jù)的空間自相關(guān)性和研究現(xiàn)象的先驗(yàn)知識(shí)的基礎(chǔ)上的,。
半變異圖——自相關(guān)閾值（range）、基臺(tái)值（sill）和塊金效應(yīng)（nugget）
正如前面討論的一樣,，半變異圖描述已測(cè)樣點(diǎn)的空間自相關(guān)性,。因?yàn)榈乩韺W(xué)的基本原理（愈近的事物愈具有相似性），總體來(lái)講,，距離愈近的已測(cè)點(diǎn)間和距離較遠(yuǎn)的已測(cè)點(diǎn)間相比,，前者具有較小的平方差。一旦每一樣點(diǎn)對(duì)都被畫(huà)出來(lái)后（分組后）,，就可以用一個(gè)模型來(lái)擬合它們,。有幾個(gè)重要的參數(shù)可用來(lái)描述這些模型。
自相關(guān)閾值和基臺(tái)值
在觀察半變異圖模型時(shí),，可以注意到：當(dāng)達(dá)到一定的距離時(shí),，擬合半變異模型就變成水平的了。半變異擬合模型第一次變水平的這個(gè)距離就叫做自相關(guān)閾值,。樣點(diǎn)按間隔距離分開(kāi),，當(dāng)這個(gè)距離越近并且小于自相關(guān)閾值的樣點(diǎn)具有相關(guān)性，而其距離大于自相關(guān)閾值就不具備自相關(guān)性了,。
半變異模型在自相關(guān)閾值點(diǎn)獲得的值（Y軸上的值）就是基臺(tái)值,。偏基臺(tái)值（也叫結(jié)構(gòu)方差）等于基臺(tái)值減去塊金效應(yīng)。
塊金效應(yīng)
理論上講,，當(dāng)間隔距離為0時(shí)（即步長(zhǎng)=0時(shí)）,，半變異函數(shù)的值應(yīng)該為0。事實(shí)上,，在一個(gè)無(wú)窮小的間隔距離上,，觀測(cè)值的方差并不趨近于0,。這就叫做塊金效應(yīng)或塊金方差。例如,，當(dāng)半變異模型與Y軸相交于2時(shí),，塊金效應(yīng)就為2。
塊金效應(yīng)是在間隔距離小于抽樣間距時(shí)的測(cè)量誤差或空間變異性或者是二者的和,。測(cè)量誤差是儀器內(nèi)在的誤差引起的,。自然現(xiàn)象可以在一定尺度的空間范圍內(nèi)變化（即微觀尺度或宏觀尺度）。在小于抽樣間距的微觀尺度上空間變異也是塊金效應(yīng)的一部分,。在收集數(shù)據(jù)之前,，了解一些有關(guān)空間變異的尺度信息是相當(dāng)重要的。
進(jìn)行預(yù)測(cè)
克里格插值的第一項(xiàng)任務(wù)即揭示研究數(shù)據(jù)間的相關(guān)（自相關(guān)）已經(jīng)完成,。同時(shí)也結(jié)束了數(shù)據(jù)的第一次使用,，該數(shù)據(jù)的空間信息（進(jìn)行距離運(yùn)算）用于模擬空間自相關(guān)。一旦有了空間自相關(guān)的信息,，就可以運(yùn)用調(diào)整好的模型進(jìn)行預(yù)測(cè)運(yùn)算,；然后，就可以把經(jīng)驗(yàn)半變異函數(shù)放在一邊,。
第二項(xiàng)任務(wù)即再次運(yùn)用數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè),。象距離權(quán)重倒數(shù)插值一樣，克里格插值方法利用所求單元的周?chē)阎獑卧闹诞a(chǎn)生權(quán)重來(lái)預(yù)測(cè)這一單元的值,，并且距離所求單元越近的單元將對(duì)計(jì)算產(chǎn)生越大的影響,。然而，利用克里格方法從周?chē)徑鼏卧獊?lái)獲得權(quán)重則較距離權(quán)重倒數(shù)內(nèi)插方法更為復(fù)雜,。距離權(quán)重倒數(shù)插值利用一個(gè)基于距離的簡(jiǎn)單算法,，而克里格權(quán)重則來(lái)自通過(guò)查看數(shù)據(jù)的空間狀態(tài)而開(kāi)發(fā)的半變異函數(shù)模型。生成一個(gè)表示地理現(xiàn)象的連續(xù)的表面或地圖,，在半變異函數(shù)模型和鄰近已知點(diǎn)的空間排列的基礎(chǔ)上,，對(duì)研究區(qū)內(nèi)的每一位置的點(diǎn)值（單元中心）都進(jìn)行了預(yù)測(cè)。
搜索半徑
根據(jù)地理學(xué)的基本原理,，我們知道鄰近的地理事物較距離遠(yuǎn)的地理事物更相似,。利用這一原則，我們可以假設(shè)通過(guò)距離較遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè),，已知點(diǎn)和預(yù)測(cè)點(diǎn)之間則較少空間自相關(guān),。
因此，我們可以排除那些較遠(yuǎn)的對(duì)計(jì)算影響較小的點(diǎn),。不僅是因?yàn)槠溟g的關(guān)系較差,，而且，如果較遠(yuǎn)的點(diǎn)所在的區(qū)域與預(yù)測(cè)點(diǎn)所在區(qū)域有較大差異時(shí),，它還可能帶來(lái)負(fù)面影響,。使用搜索鄰域的另一個(gè)原因是計(jì)算速度的問(wèn)題,。搜索的鄰域越小，計(jì)算起來(lái)越快,。在預(yù)測(cè)計(jì)算中通過(guò)規(guī)定搜索鄰域來(lái)限制點(diǎn)的個(gè)數(shù)是常用的操作,。鄰域的指定形狀限制了在每一點(diǎn)的預(yù)測(cè)中選取多遠(yuǎn),、在哪里的一些已知點(diǎn),。其它鄰域參數(shù)限制了這一范圍內(nèi)的位置，象在鄰域中要用到的已知點(diǎn)的最大數(shù)目和最小數(shù)目,。
在模型和半變異函數(shù)的調(diào)整中,，可以利用為預(yù)測(cè)位置指定的鄰域內(nèi)有效點(diǎn)的結(jié)構(gòu)來(lái)決定已知點(diǎn)的權(quán)重。通過(guò)權(quán)重和值,，可以完成預(yù)測(cè)位置的值的計(jì)算,。
空間分析模塊提供了兩種鄰域類(lèi)型：固定搜索半徑和可變搜索半徑類(lèi)型。
固定搜索半徑
固定搜索半徑要求給出距離和最少點(diǎn)數(shù)目,。距離規(guī)定了環(huán)形鄰域的半徑（地圖單位）,。半徑的距離是一個(gè)常數(shù)，所以,，對(duì)于每一個(gè)內(nèi)插單元來(lái)說(shuō),，用于尋找已知點(diǎn)的環(huán)形的半徑是相同的。而最少的點(diǎn)的數(shù)目規(guī)定了在鄰域內(nèi)所用的已知點(diǎn)的最少數(shù)目,。所有落入這一半徑內(nèi)的已知點(diǎn)都將用于內(nèi)插單元的運(yùn)算,。當(dāng)鄰域內(nèi)的已知點(diǎn)少于規(guī)定的最小數(shù)目時(shí)，搜索半徑將擴(kuò)大直至鄰域內(nèi)的已知點(diǎn)的數(shù)目達(dá)到規(guī)定的最小數(shù)目,。
指定的固定搜索半徑將用于研究區(qū)內(nèi)的每一個(gè)內(nèi)插單元的運(yùn)算,。因此，如果已知點(diǎn)沒(méi)有平均的散布開(kāi)來(lái)（它們很少這樣平均散布）,，那么不同的鄰域在變化預(yù)測(cè)中很可能使用了不同數(shù)目的樣本點(diǎn),。
可變搜索半徑
利用可變搜索半徑，用于進(jìn)行內(nèi)插單元的預(yù)測(cè)運(yùn)算的點(diǎn)的數(shù)目是指定的,，這使得每個(gè)內(nèi)插單元運(yùn)算中鄰域半徑的距離是可變的,，這依賴(lài)于每個(gè)內(nèi)插單元的鄰域到達(dá)指定數(shù)目的輸入點(diǎn)的邊界距離內(nèi)插單元有多遠(yuǎn)。因此,，有些鄰域可能很小,，另一些鄰域可能大，這取決于內(nèi)插單元周?chē)囊阎c(diǎn)的密度,。也可以指定搜索半徑不能超出的最大距離（地圖單位）,。如果某一鄰域的搜索半徑在未尋找到規(guī)定數(shù)目的已知點(diǎn)時(shí)已達(dá)到了最大半徑，這一位置的預(yù)測(cè)將通過(guò)最大搜索半徑內(nèi)的已知點(diǎn)來(lái)完成,。
克里格插值方法
空間分析模塊提供了兩種克里格插值方法：普通克里格插值法和全局克里格插值法,。
普通克里格方法（Ordinary Kriging）
普通克里格方法是最普通和應(yīng)用最廣的克里格方法,。它假設(shè)常數(shù)的均值是未知的。這是一個(gè)合理的假設(shè)除非你有一些科學(xué)的理由來(lái)否定這些假設(shè),。
全局克里格方法（Universal Kriging）
全局克里格方法假設(shè)數(shù)據(jù)中有主導(dǎo)趨勢(shì)（例如盛行風(fēng)）,，它可以用一個(gè)確定性的函數(shù)或多項(xiàng)式來(lái)模擬。從原始已知點(diǎn)中減去這一多項(xiàng)式,，從隨機(jī)誤差中模擬自相關(guān),。在進(jìn)行預(yù)測(cè)運(yùn)算前，需要先完成從隨機(jī)誤差中擬和自相關(guān)的工作,，然后將多項(xiàng)式加回到預(yù)測(cè)模型以獲得有意義的結(jié)果,。全局克里格方法將僅用于知道數(shù)據(jù)的趨勢(shì)并能合理而科學(xué)地描述它的情況。
附上ArcGIS對(duì)于該方法的簡(jiǎn)介：
Kriging is a moderately quick interpolator that can be exact or smoothed depending on the measurement error model. It is very flexible and allows you to investigate graphs of spatial autocorrelation. Kriging uses statistical models that allow a variety of map outputs including predictions, prediction standard errors, probability, etc. The flexibility of kriging can require a lot of decision-making. Kriging assumes the data come from a stationary stochastic process, and some methods assume normally-distributed data.
