欽定古今圖書集成歷象匯編歷法典第一百十五卷目錄 算法部匯考七 算法統(tǒng)宗三〈方田章第一〉 歷法典第一百十五卷算法部匯考七《算法統(tǒng)宗三》方田章第一此章以田疇界域之形狀,，求畝步之積實,。以廣縱而求方、直,、圭,、梭、梯,、斜等形,。以周徑而求圓田、碗田,、環(huán)田等形,。按田之形狀甚多，具載難盡,，學者不必執(zhí)泥,，在于臨時機變。必須截盈,、補虛,、俾小、減大,，以合規(guī)式,。但田中央先取出方、直,、勾,、股、圭,、梭等形,，另積旁馀并而于一,，然后用法乘、除之,，用少廣章開平等法還原，始為精密之術(shù)焉,。丈量田地總歌 古者,，量田較闊長，全憑繩尺以牽量,。一形雖有一般法,，惟有方田法易詳。若見喎斜并凹曲,，直須俾補取其方,。卻將乘實為田積，二四除之畝數(shù)明,。 又歌 方自乘之積步明,，直田長闊互相乘。勾股圭梭乘折半,，圓田周徑折半乘,。周自乘之十二約，徑自乘之七五乘,。周徑相乘四歸是,，碗田丘田同上乘。環(huán)田內(nèi)外周相并,，折半須將徑步乘,。梯斜兩頭相并折，長乘便見積分明,。三廣倍中加二闊,，四歸得步以長乘?；∈赶议L并矢步,，半之又用矢相乘。牛角眉田長步并,，折半還將半徑乘,。二不等并東西步，折半仍將闊步乘,。蛇船三闊同相并,，三歸得步以長乘。四不等田分兩段,，一為勾股一斜形,。田形不一須推類，二四除之畝數(shù)明。 新制丈量步車圖新制丈量步車圖  前圖下段作車三式,，總合于一以完成車樣,。于上外套似無。蓋底墨匣兩旁木比十字,。木空長存作兩頭,。橫木插角合栒。內(nèi)空僅容十字轉(zhuǎn)動,。下橫木鑿一匾眼,，后高前低，出篾,。上可釘環(huán),，下釘鉆腳。十字中心如墨斗攪轉(zhuǎn)之心,。作曲尺,，樣三折裝在十字中心。內(nèi)者方而不動,，外者俱圓活動,。以便收放，即似紡車之形,。套匣上頭,，橫木之下，鑿一眼,。其十字四頭各開一口,。但遇一頭湊著，匣眼用拴拴之,，置鎖其篾,，擇嫩竹竹節(jié)平直者。接頭處用銅絲扎住,。篾上逐寸寫字,。每寸為二釐。二寸為四,，三寸為六,，四寸為八，不必釐字,。五寸為一分,。自一分至九分俱用分字。五寸為一步,，依次而增至三十步,。以上或四十步,，以下可止。篾上用明油油之,，雖污泥可洗,。 又后制一式，只用十字內(nèi)中開槽留頭,，不通中,。用木圓餅轉(zhuǎn)篾。篾雖不散,，但轉(zhuǎn)其篾盡，皆挨擦損壞甚速,，總不如前制車式,。篾在十字，十字轉(zhuǎn)動,，其篾安靜,，故難壞也。 丈量之法以五尺為一步,。每步自方五尺計積二十五尺也,。以五尺計之，步下五寸為一分,。一寸為二釐積步,。問畝，用二四歸除畝,。問積步,，用二四乘法。〈今惟休邑新立畝法,?！?/span> 方圓定則九圖  假如今有方田一丘，長闊各五十步,。問：積,、稅各若干。 答曰：積二千五百步,，稅十畝零四分一釐六毫六絲,。 方田  法曰：置長五十步，以闊亦五十步乘之,，得積二千五百步為實,。以畝法二四除之。定位法先從原實首位數(shù)幾十起,，順下至幾步止,。下一位定法,，首十數(shù)逆數(shù)升上至實首位，合得二千順下,，即是五百也,。馀皆仿此。 假如方田斜量東南角至西北角,，西南角至東北角,， 方形斜量  各斜七十步。問：積,、稅各若干,。答曰：積二千四百五十步，稅十畝零二分零八毫,。 法曰：置斜弦七十步自乘,，得四千九百步。折半,，得二千四百五十步為實,。 以畝法二四除之，合問,。定位同前,。 假如直田南北各長六十步，東西各闊三十二步,。問：積,、稅各若干。 直田  答曰：積一千九百二十步,，稅八畝,。法曰：置長六十步，以闊三十二步乘之,，得積一千九百二十步為實,。以畝法二四除之，合問,。 假如今有圓田徑五十六步,，周一百六十八步。問：積 圓田  步若干,。 答曰：二千三百五十二步,。法曰：以徑問積，置徑五十六步自乘,，得三千一百三十六步,。又以七五乘 之，得積二千三百五十二步,。若周徑問積步,，置周一百六十八步,，以徑五十六步乘之。再以四歸之,，亦得,。若周問積步，以周自乘,，用十二除之,，亦得。 假如覆月田弦長五十六步,，矢闊二十八步,。問：積步 覆月形  若干。 答曰：一千一百七十六步,。法曰：置弦五十六步并矢二十八步共八十四步,，折半，得四十二步,。又以矢二十八步乘之，得積,。 一法以弦矢相乘,，另以矢自乘，并之,，折半,，亦得。假如弧矢田弦長四十步,，矢闊八步。問：積步共該若 弧矢形  干,。 答曰：一百九十二步,。 法曰：置弦矢相并得四十八步，折半得二十四步,。又以矢八步乘之,，得積合問。 又考如前圓田內(nèi)除方田一丘,。方四十步,，占積一千六百步，四邊四弧矢占積七百六十八步,，共合圓田 考矢量圓圖  積,，卻多一十六步。其多者,，何也,。是弦自乘得一千六百步,。每百步中多一步，該十六步也,?；蛎炕∈竷?nèi)減去四步，只該一百八十八步,。又考弧矢田居直田四分之三,。 假如孤矢田弦長四十步，矢闊八步,。問：圓中徑該若干,。〈又設(shè)此問以辨前大小二弧矢虛實之數(shù)?！?/span> 答曰：今改正得徑五十六步,。 法曰：置弦長折半得二十步。自乘得四百步,。以矢八步除之得五十步,。加矢八步共得五十八步。卻比前圖徑多二步,。今減去是也,。 今改其數(shù)乃是細半個。圓田因弦長而矢短,，故虛數(shù)差,，不準。 今減二步者,，何也,。是弦長折半得二十步，是十步中多一步,，故減二步也,。或云弦長四十步,，矢二十步,。問圓徑者。置弦四十步折半得二十步,。自乘得四百步,。以矢二十步除之，得二十步,。加矢二十步,，即得。此乃是平半圓田,，則數(shù)再無差矣,。 假如圭田中正長六十步,，下闊三十二步。問：該積若干,。 答曰：九百六十步,。 圭田 即半梭  法曰：置中長六十步，以下闊三十二步乘之,，得一千九百二十步,。折半得積九百六十步。合問,。圭形乃直田之半,，故用折半之法。梭形則是二圭合一也,。 假如三角田每面一十四步,。問：該積若干。 答曰：八十四步,。 法曰：置十四步以六因之,，得八十四步。以七歸之,，得 三角形  中長十二步,。另以每面十四步折半，得七步,。因之,，合問,。三角即圭也,，以半闊乘中長十二步亦得。〈按三角田用六因七歸得中長十二步,。其數(shù)有差,。今以句弦求股法校之，得十二步一分〉 有零之數(shù),。 假如梭田中長五十二步,，中廣一十二步。問：積若干,。答曰：三百一十二步,。 梭形 法曰：置長五十二步，以廣十二步乘之,，得六百二十四步,。折半得積三百一十二步。合問,。勾,、股,、圭、梭,、乘,，折半。田形雖異,，理一同,。 假如斜圭田長三十步，闊一十六步,。問：該積若干,。 斜圭形 答曰：二百四十步。〈計稅一畝,?！?/span>法曰：置長三十步，以闊十六步乘之,，得四百八十步,。折半得積二百四十步。合問,。 假如梯田上廣二十步,，下廣三十步，中長四十五步,。問：該積若干,。 答曰：一千一百二十五步。 梯田 法曰：置上下二廣并之得五十步,。折半得二十五步,。以中長四十五步乘之，得積,。合問,。 一法并二廣以乘長，折半亦得,。 假如斜田南廣三十步,，北廣四十二步，縱六十四步,。問：該積若干,。 斜形田 答曰：二千三百零四步。法曰：置南北二廣并得七十二步,。折半得三十六步,。以縱六十四步乘之，得積。合問,。 假如眉田上周四十步,，下周三十步，徑八步,。問：積若 眉形田 干,。 答曰：一百四十步。法曰：置上下二周相并得七十步,。折半得三十五步,。另以徑八步折半得 四步。乘之得積,。合問,。 假如牛角田中依灣長十七步五分，闊八步,。問：該積若干,。 牛角形如眉之半 答曰：七十步。 法曰：置中長一十七步五分,，以廣八步折半,，得四步乘之，得積,。合問,。或量內(nèi)外灣并之,，折半,。另以半徑乘之亦得。 假如欖形中長四十步,，闊一十六步,。問：該積若干。 欖形如圓弧矢合一 答曰：三百八十四步,。法曰：置長四十步如弧弦,，以半闊八步如矢并得四十八步,。折半得二十四步,。又以矢八步乘之，得一百九十二步,，即一弧矢之積,。倍得欖積。合問,。 假如三廣田南廣二十六步,，北廣五十四步，中廣一十八步，正長八十六步,。問：積若干,。 答曰：二千四百九十四步。 法曰：并南北二廣折半,，得四十步,。加中廣共五十八 三廣形即倒順二梯 步。以長乘之,，得四千九百八十八步,。折半得積。合問,。 一法倍中廣,，并南北二廣，共一百一十六步,。以四歸之得二十九步,。以長乘之亦得。按三廣田乃是二段梯 田之并,，必其三廣相去,，俱停乃可。以三廣法算,，或上段長,，下段短；或上段短,，下段長,。并不可用。三廣法當以二梯算而并之,，乃為無弊,。又按鼓田杖鼓田，又有箭箬,、箭翎田亦要三廣相去俱停,，可用三廣法。若不停者,，亦可以二梯或以二斜算而并之是也,。 假如勾股田股長六十步，勾闊三十二步,。問：積若干,。 勾股形 答曰：九百六十步。法曰：置股長六十步,，以勾闊三十二步乘之,，得一千九百二十步,。折半得九百六十步。合問,。 假如直田廣縱相和九十二步,，兩隅斜去六十八步。問：積若干,。 答曰：一千九百二十步,。〈若折半如句股積?！?/span> 直如句股和 法曰：置斜六十八步自乘得四千六百二十四步,。另以相和九十二步自乘得八千四百六十四步。以少減多馀三千八百四十步,。折半得積一千九百二十步,。合問。 假如直田縱長六十步,，廣斜相和一百步,。問：積步若干。 答曰：一千九百二十步,。〈若折半如句股積,。〉 法曰：置廣斜百步自乘得一萬步,。另以縱六十步 直如句弦和股弦和同 自乘得三千六百步,。以少減多馀六千四百步。折半得三千二百步為實,。以廣斜一百步為法除之,，得廣三十二步。以縱六十步乘之,，得積一千九百二十步,。合問。〈按句弦和以股〉自乘,。以句弦和除之得較較,。加和折半得弦。弦減較即得句,。再以股乘之見積,。 假如直田兩隅斜去六十八步，只云縱多廣二十八步,。問：積若干,。 答曰：一千九百二十步,。〈若折半如句股積,。〉 直如句股相差 法曰：置斜六十八步自乘，得四千六百二十四步,。另以縱多廣二十八步自乘,，得七百八十四步。以少減多馀三千八百四十步,，折半得積,。合問。 假如直田廣三十二步,，只云斜多縱八步,。問：積若干。 直如股弦差 答曰：一千九百二十步,。〈若折半如句股積,。〉法曰：置廣三十二步自乘得一千零二十四步,。另以多八步自乘得六十四步,。以少減多馀九百六十步為實。 倍多八步作一十六步,。為法除之得縱長六十步,。以廣三十二步乘之得積,。合問,。 假如直田縱六十步，只云斜多廣三十六步,。問：積若干,。 答曰：一千九百二十步,。〈若折半如句股積?！?/span> 直如句弦差 法曰：置縱六十步自乘得三千六百步,。另以多廣三十六步自乘得一千二百九十六步。以少減多馀二千三百零四步為實,。倍多三十六步作 七十二步,。為法除實得廣三十二步。以縱六十步乘之得積,。合問,。 假如四不等田一丘截作三段。量之,，一段直田長四十步,，闊二十八步。南邊句股一段股長三十二步,，句 四不等形斜形正量 闊十步,。東邊句股一段股長四十步,，句闊四步。問：共積若干,。答曰：三段共積一千三百六十步,。法曰：先置所截直田長四十步，以闊二十八步乘之,，得直積一千一 百二十步,。又置南句股一段股三十二步，以句十步乘之,，折半得積一百六十步,。再置東向股一段股四十步，以句闊四步乘之,，折半得積八十步,。三共并積一千三百六十步。〈此乃準數(shù)毫忽無差,?！?/span>若依古法南邊依斜弦量比股多一步五分二釐，東邊依斜弦量比股多二分,?？偤戏e多地二十七步二分七釐。今考較當以截法皆得其當,，以見前古法,。有差使學者易曉此理也。但遇歪斜不等,，必有斜步,。豈可作正步相乘。若截之,，庶無誤矣,。 假如五不等田一丘，截作二段量之,，四角斜長三十六步,，上徑十五步，二分下徑十二步八分,，三角長二十二步,，徑一十二步。問：積若干,。 五不等形 答曰：共積六百三十六步,。法曰：先置四角二徑并得二十八步，折半得一十四步,。以乘長三十六步,，得積五百零四步,。又置三角長二十二步，以徑十二步乘之,，折半得積一百三十二步,。二共并得積六百三 十六步,。合問,。 倒順二圭 其形截作二圭量之，倒下圭中長二十二步,，闊八步,。向上順圭中長一十二步，闊六步,。問：共積若干,。答曰：二共積一百二十四步。法曰：置倒圭中長數(shù),，以半闊四步乘 之得積八十八步,。又以順圭中長數(shù)，以半闊三步乘之得積三十六步,。二數(shù)相并,，共得積一百二十四步。合問,。 三圭形 其形截作三圭形量之,，東西二圭形同。中弦長二十六步,，東徑八步,，西徑十二步。又北半梭之弦十四步,，徑五步,。問：共積若干。答曰：二百九十五步,。法曰：置東西所共中弦長數(shù),，以二 徑并之。折半,、乘得二百六十步,。又以北弦十四步，以徑五步乘之,。折半得三十五步,。二共并得積二百九十五步。合問,。 假如中段四角,，中弦十六步,，以東西二徑共一十四 六角形 步折半乘之，得積一百一十二步,。南尖三角,，弦十步。以半徑二步乘之,，得積二十步,。西弧矢弦十三步，以半徑二步乘之,，得積二十六步,。東北三角弦十二步，以半 徑二步乘之得積二十四步,。四共計積一百八十二步,。合問。 假如東北弦八步,，以半徑三步乘之,，得積二十四步。 八角形 又正東三角弦六步,，以半徑二步乘之得積一十二步,。又弦十八步，以半徑四步乘之得積七十二步,。又南弧矢弦八步加矢折半,，以矢乘得積十步。 又西三角弦二十四步,，以半徑六步乘之得積一 百四十四步,。又西北弧矢弦十四步加矢折半，以矢乘得十六步,。六共計積二百七十八步,。 凡圖形內(nèi)用點斷節(jié)，以為繩索,。耕形定式之辨,。 圖圖 右。量田地之法舉此數(shù)條,，已見大意,。若截作幾段湊形以例，其馀如蛇,、碗,、丘、扇、輞,、盆,、瓜、罄,、欹側(cè)者,，形狀極多，難以一一盡述,?？季啃Ｖ當?shù)，無準積,，恐誤學者,。故盡刪去不錄,。今纂集直指圖形,，具之于前，以為通變之術(shù),。若平地而無礙者,，或作幾段定形立法，只以句股,、圭,、梭、梯,、斜弧矢,、牛角之類，截而量之,?；虿⒒驕p以求實積。倘遇基地有房屋者,，難用此法,，必須取其方直?；蚪鑴e地以湊方直,。算積內(nèi)減除，還則形可窮而數(shù),?？杀M學者詳玩，形勢理何異焉,。 方圖實 凡量田地切不可以周圍步數(shù)算,，而計積。其謬已甚,。今舉方直二形較之,，其方 直圖虛 田每面三步，計積九步,。其直田長四步,，闊二步,，計積八步,。論周圍俱各一十二步,。二者小數(shù)較之,，而差一步,，何況于大者乎,。 解曰：方者內(nèi)中藏一步,， 而無周直者，外周而無藏隱也,。 假如錢田外周二十七步，徑三步,，內(nèi)錢眼方周一十二步,。問：該積若干,。 答曰：五十一步四分步之三。〈步之三即是七分五釐也,。〉原法曰：置外周二十七步自乘得七百二十九步,。以圓法十二除之,，得六十步零七分五釐。以減內(nèi)方周十二步,，自乘得一百四十四步,。以方周法十六除之，得內(nèi)方積九步,，馀積五十一步七分五釐,。 孤峰馬杰斷曰：錢塘算師吳信民編集比類，世罕聞,。孤峰裁改鶴坡校錢田之法,，有差爭。 又論：此錢眼方周一十二步,，中間明有跡一十六步,，何云九步。已知圓三,、徑一,，得徑九步。除方四步,、外徑一面,，豈有三步哉。 又增比意駐云飛,，比意錢田題法難明不足觀,。非俺自誇羨,，改正珍寶鑒〈嗏〉二十七步圓眼中，間十二方周改法精制,，算圖樣明名天下傳,。答曰：改正得四十四步七分五釐。 又改正法置錢周二十七步自乘,，得七百二十九步,。以圓法十二除之，得六十步零七分五釐為實,。另以錢眼方周一十二加八,，得二十步。與一十二步相乘得二百四十步為實,。以方周法一十六除之,，得一十五步。加一步共一十六步,。以減前實六十步零七分五釐,，馀四十四步七分五釐。合問,。大位因杰辨吳氏之非,，故立圖考校前法。每一步自方五尺橫直相乘,，得積二十五尺,。乃是本身連根，其理甚明,。 假如錢內(nèi)方周每面三步,，四圍共合為十二。得積九步無差,。 據(jù)杰用方束之法反正為邪，不免有差殊,。不知束積皆是論個,、論只之物。而無零者宜當除根不辯,，自明矣,。求束法具載少廣章。 大位歌曰：孤峰改正吳氏法,，未得真?zhèn)髌婷钤E,。丈量之法要分明，方自乘之為何說,。方周摺角數(shù)連根,，豈可除根用束法,。今立圖形考校明，例依吳氏為定決,。 圖 缺田畝演段根源圖解 方求積法：置方十步自乘,，得積一百步。合問,。 方演段圖 張丘建方求斜法：置方十步,，用五歸，得二是兩個,。方五卻用七因得斜十四步,。故曰方五斜七。若依方五求斜,，則斜有馀,。若依斜七求方，則方不足,。 假如方田隅斜一十四步,。問：積步并方面各若干。答曰：積一百步,，〈實只有九十八步,。〉方面十步,。〈實只有九步九分,。〉 斜演段圖 張丘建法：置斜十四步,，用七歸得二,，乃是二個。斜七卻用五,，因得方面十步,，是兩個。方五就以方十步自乘,，得積一百步,。有斜必有方，只以方求積,，無差,。 楊輝方求斜法：置方步自乘，得一百步,，是一個小方積,。倍之，得二百步,，是兩小方積,。用開平方法除之,，得斜十四步。卻有不盡,，馀實四步,。斜求積法：置斜步如大方面自乘，得積一百九十六步,，如兩個斜方積,。折半，得九十八步,，如一個斜方積,。卻比前方積步中少二步。斜求方面,，斜自乘折半得積九十八步,，如 個斜方積。以開平方法除之,，得方面九步九分,。 方斜演段圖 此論大方一個，方面一十四步,，內(nèi)容斜方一個,。〈即小方也?！?/span>斜亦一十四步,，自乘得一百九十六步。是兩個斜方積,。內(nèi)小方斜積一個,，九十八步。外四角用句股求弦法得弦九步九分,，即如小方面自乘,，亦得九十 八步。將四角總合,，亦為一小方,。每角正方二十一步。斜方七步,，折半得三步五分。并得二十四步五分,。以四角因之,，得九十八步，亦為一斜方積也,。此合大方 方斜黑白演段圖 求積,，毫忽無差,。〈楊輝用開平求方，求斜理明以合方積,。張建丘用方五斜七,，難以合數(shù)?！?/span> 又論大方面十四步,。內(nèi)容小方斜十四，自乘得一百九十六步,，是兩個斜方積,。乃黑白四段，以上下斜白配合為一方,。又以左右斜黑配合,，為一方。故 周三徑一圖 用折半得一個斜方積九十八步,。古法：周圍三尺,，圓徑一尺。假如圓徑三十二尺,，以周三因之,，得九十六尺，而四尺閑矣,。 徽術(shù)：周百尺,、徑三十一尺四寸。 密術(shù)：周二十二尺,、徑七尺,。 智術(shù)：圓徑三十二尺、周有百尺,。 術(shù)曰：圓徑即方徑,。若求圓積四分之三，不必立法,。惟以圓求方,，其法不一，姑錄于此,。蓋圓徑一則,，周不止于三。所謂周三徑一者,，舉其大概耳,。 方五斜七者，言其大略耳,。內(nèi)方五尺,，外方七尺有奇,。 方五斜七圖 方面求弦法曰：以方面自乘，倍之為實,。以開平方法除之,，得七步?！鹌咭还试恍逼哂衅?。以此自乘折半得積二十五步。若以七步自乘折半得積二十四步,。半校之得積,，不全矣。 假如圓田徑六步,，周十八步,。問：積若干。 答曰：二十七步,。 圓演段圖 徑六步是一個六,，周十八步是三個六。故曰周三徑一也,。其方積三十六步是四個九,，其圓積二十七步是三個九。其圓外剩九,，是一個九,。故曰圓居方四分之三也。〈圓三象天,，方四象地,。〉 徑求積法：置徑六步如方面自乘,，得方積三十六步,。用三因得一百零八步，是三個方積,，合四個圓積,。故用四歸之，得一個圓積二十七步,。 周求積法：置周十八步如大方面自乘得三百二十四步,，是九個小方積。每積三十六步,，正合十二個圓田積,。故用十二除之，得一個圓積二十七步,。 周徑求積法：置徑六步是一個六,，與周十八是三個六，相乘得數(shù),，即如前徑自乘,，以三因數(shù)同。故仍用四歸得積二十七步,。 半周求積法：置半周九步自乘,，得八十一步，如三個圓田積,。故用三歸之,，得圓積亦二十七步。 半徑求積法：置半徑三步自乘,，得九步如方田積四分之一,，即圓三分之一，故用三因之得圓積,。 半周半徑求積法：置半周九步,，以半徑三步相乘，得圓積二十七步,，如方積四分之三,，正合圓田之積。若問圓田外四角剩積法：置一角長闊各三步,，折半得一步半,。自乘得一角，剩二步二分五釐,。以四因得四角,，剩積共九步也。〈已上求積六法皆合周三徑一,。已后二術(shù)懼有不盡非良法也,。〉徽術(shù)周求徑：以五十因周,，再以一百五十七除之,，得徑。徑求周：以一百五十七乘徑,，用五十歸之,，得周。密術(shù)周求徑：以七因周,，再以二十一除之,，得徑。徑求周：以二十二乘徑，用七歸之,，得周,。 虛隅圖說 方圓論說方圓論說 世之習算者咸以方五、斜七,、圍三,、徑一為準，殊不知方五則斜七有奇,，徑一則圍三有奇,。故古人立法有句三、股四,、弦五之論,，而不能使方斜為一定之法,。有割圓矢弦之論,，而不能使方圓為一定之法。試以句股法求之,，句股各自乘,，并為弦實。平方開之,，此施之于長,，直方則可若一整方。句五股五各自乘,，并得五十,。平方開之,，得七而又多一算矣。割圓之法求矢,、求弦,，固是至于求弧背，則恐未盡也,。何以知之。試以平圓徑十寸者例之,。中心割開矢闊五寸,，自乘得二十五寸。以徑除之，得二寸五分為半背弦差,。倍之得五寸,。以加弦得一十五寸。與圍三徑一之論正合,。然徑一則圍三有奇，奇數(shù)則不能盡矣,。以是知弧背之說猶未盡也，不特是也,。凡平圓一十二,，立圓三十六，皆不過取其大較耳,?；蛟幻苈蕪狡撸瑒t圍二十二,?；章蕪轿迨畡t圍一百五十七。何不取二術(shù)酌之,，以立一定之法,。曰：二術(shù)以圓為方，以方為圓,，非不可,。但其還原與原數(shù)不合，數(shù)多則散漫難收,。故算歷者止用徑一,、圍三，亦勢之不得已也,。曰歷家以徑一,、圍三、立法,，則其數(shù)似猶未精然,。郭守敬之歷至今行之無弊，何也,。曰歷家以萬分為度,，秒以下皆不錄?？v有小差不出于一度之中,，況所謂黃赤道、弧背度乃測驗而得止，以徑一,、圍三定其平差,，立差耳。雖然,，行之日久,，安保其不差也。竊嘗思之,，天地之道陰陽而已,。方圓，天地也,。方象法,，地靜而有質(zhì)，故可以象數(shù)求之,。圓象法,，天動而無形，故不可以象數(shù)求之,。方體本靜,，而中斜者乃動而生陽者也。圓體本動,，而中心之徑乃靜而根陰者也,。天外陽而內(nèi)陰，地外陰而內(nèi)陽,。陰陽交錯而萬物化生,。其機正合于畸零不齊之處，上智不能測巧歷,，不能盡者也,。向使天地之道，俱可以限量求之,，則化機有盡而不能生萬物矣,。余因論方圓之法而并著其理如此。 又述直圭,、梯斜,、句股、弧矢等形圖于左,。 今有直田長一十二步,，闊九步。問：田積并斜弦各若干,。 答曰：積一百零八步,，該斜弦一十五步,。 直演段圖 求積法曰：置長闊相乘得一百零八步。若問斜者,，如句股求弦,。以長自乘，又以闊自乘,，并二數(shù)得二百二十五步為實,。以開平方法除之，得弦十五步,。若以斜問積置斜十五步自 乘,，折半，得一百一十二步,。半?yún)s比直積多四步,。半其多者何也。是長多闊三步,。自乘折半得四步半也。假如斜若干,，只云廣縱相和若干,。問積。以斜自乘,，另以相和自乘,，二數(shù)相減，馀折半得積,。 假如有廣若干,，只云縱斜相差若干。問積,。以廣自乘,，另以相差自乘，二數(shù)相減,，馀折半為實,。以相差為法除之，得縱,。以廣乘之,，得積。 縱斜相和者,，仿此,。廣斜相和、相差,，及廣縱相差,，與前廣縱相和者俱同,。 假如今有圭形田廣八步，縱一十二步,。問：該田積若干,。 答曰：積四十八步。 法曰：置廣縱相乘折半得積四十八步,。合問,。 句股相乘折半圖 半縱乘廣圖半縱乘廣圖 句股演段圖 半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖句股演段圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖 長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖半句乘股圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖 半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖長闊相乘折半圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖 斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖半廣乘縱圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖 梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖斜形折廣圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖 并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖梯形演段圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖 梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖并上下廣乘半長圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖 并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖梯形折廣圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖 并上下廣乘長折半圖并上下廣折半乘長圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖 并上下廣乘長折半圖半縱乘廣圖句股演段圖半句乘股圖長闊相乘折半圖半廣乘縱圖斜形折廣圖梯形演段圖并上下廣乘半長圖梯形折廣圖并上下廣折半乘長圖并上下廣乘長折半圖  半縱乘廣圖 句股演段圖 半句乘股圖 長闊相乘折半圖 半廣乘縱圖  斜形折廣圖 梯形演段圖 并上下廣乘半長圖 梯形折廣圖 并上下廣折半乘長圖 并上下廣乘長折半圖今有直田長一十四步，闊七步,，計積九十八步,。問：內(nèi)容弧矢田一段，占積并二角,。馀積各若干,。 答曰：弧矢積七十三步半，二角積二十四步半,。法曰：置長一十四步為弧弦,，以闊七步為矢，相并得 直內(nèi)容弧矢圖  二十一步,。折半得十步零五分,。又以矢七步乘之，得弧矢占積七十三步五分,。以減直積九十八步,，馀二十四步五分，是二角馀積,。 今有直田長二十步,，闊十八步，計積三百六十步,。內(nèi)容六角田一段,，每角面十步。問：六角占田積并馀積各若干,。 答曰：六角積二百七十步,，角外馀積九十步。 法曰：置中長二十步減去半面闊五步,，馀長一十五步,。以通闊一十八步乘之，得六角占積二百七十步,。 直容六角圖  另以角外之馀長九步,，以馀闊五步折半得二步五分。乘之得一角,。馀二十二步五分以四因之,，得四角馀積九十步,。并入六角，占積二百七十步,。共合直田之總積也,。 假如方田一段面方十七步，計積二百八十九步,，內(nèi)容八角田一段,。每角面闊七步，問：八角占積并外馀 方容八角圖  若干,。 答曰：八角占積二百三十九步,，角外馀積五十步。 法曰：方七步是上下斜角面,。如斜求方,，以五因七歸得五。倍之得十步,，是上下二段長,。加中一段面七步， 共十七步,。自乘得方面總積二百八十九步,。另以一角長五步自乘，得二十五步,。倍之得外馀積五十步。以減上積馀得八角,。占積二百三十九步,。合問。假如圓田徑十四,，計積一百四十七步,，內(nèi)容錠田占積并兩腰，外馀積如欖形田,。二段長十步,，闊四步。問：各該積若干,。 答曰：錠占積一百步,，兩腰外馀積四十八步。 法曰：圓徑即錠長十四步,，又如圓內(nèi)方之斜也,。以方五斜七之法置十四步，以七歸五因得方十步,。自乘 方內(nèi)容錠圖  得錠占積一百步,。另置兩腰外如欖田,，長十步加半闊二步，共十二步,。以闊四步乘得馀積四十八步,。加入錠占積共合圓田?？偠嘁徊秸呤菣?。長十步自乘得百步，內(nèi)多一步,。 舊法以錠長自乘,、折半得九十八步。卻少二步,。其錠 長如方田斜求積,，則百步中少二步，可用九八歸除,，即一百步,。 一法：截上下有馀補兩腰不足，作方十步自乘,，得一百步,。錠田還原以積，用開平方法除得十步,。卻以五歸七因得斜長十四步也,。 方圓環(huán)總圖說 平方求積法曰：以方面十六步自乘得二百五十六步。平圓求積法曰：以外周四十八步自乘得二千三百零四步,，再以十二除之,，得全積一百九十二步。 方內(nèi)容圓圓內(nèi)減圖為環(huán)圖  四旁馀積六十四步,，另以內(nèi)周二十四步自乘得五百七十六步,。再以十二除之，得內(nèi)圓積四十八步,。圓環(huán)求積法曰：以大圓積內(nèi)減小圓積,，馀一百四十四步，即是環(huán)積也,。 又法以環(huán)徑四步,，以三因之，得一十二步,。以減外周,， 馀得三十六步為長。以徑四步乘之,，得環(huán)積一百四十四步,。環(huán)田者如圓田中間有圓池也,。若圓池不在中而偏者，只以圓田算之,，得全積,。卻減去圓田積，馀為本田實積也,。 法以外周自乘,，又以內(nèi)周自乘，二數(shù)相減馀數(shù)以十二除之,，得環(huán)積,。若以內(nèi)周外周問徑者，置外周減內(nèi)周,，馀數(shù)以六除之,，得徑。若以內(nèi)周并徑問外周者,，置徑以六因之,，得數(shù)并入內(nèi)周數(shù)，即是外周,。若以外周并徑問內(nèi)周者,，置徑以六因之，得數(shù)減外周 方內(nèi)容圓圓內(nèi)容方圖  數(shù),，馀為內(nèi)周,。 先論方內(nèi)容圓。外方十四步自乘,，計積一百九十六步,。問：容圓并四旁庇積若干。 答曰：圓積一百四十七步,， 四旁庇積四十九步。 法曰：置方徑十四〈即圓徑,?！?/span>自乘，再以七五乘之,，得圓積 也,。若問四庇積，以二五乘方積〈四庇居方四分之一〉是也,。方積四分取三為圓積,。故法用七五乘之，或用三因四歸亦得圓積,。 后論圓內(nèi)容方,。圓徑〈即方斜,。〉十四步計積一百四十七步,。問：容方并四旁冪積若干,。 答曰：圓內(nèi)容方每面十步計積一百步，四旁冪積四十七步,。 右明方圓之理 方環(huán)者,，謂如方田中央有方池。方環(huán)求積法曰：以外 平方環(huán)積之圖  方自乘,，得全積,。另以內(nèi)方自乘，得內(nèi)積,。以減全積馀得方環(huán)積,。又法以外方并入內(nèi)方，倍之為長,。以徑闊乘之,，得方環(huán)積。 解曰：非言田也,，皆言托物比興,，算家窮理盡性致知格物，以明方圓句股之理,，至于天地高廣乎,。 帶分母用約分法 今有直田，廣二步二十分,，步之九縱,。九十七步四十九分，步之四十七,。問：該積若干,。 答曰：一畝。 法曰：置廣二步,，以分母二十乘之,，得四十。加分子九共四十九,。另以縱九十七步,，以分母四十九乘之。加分子四十七,，共四千八百,。以乘縱四十九得二十三萬五千二百為實。又以分母二十乘四十九得九百八十。為法除之,，得二百四十步,。以畝法除之，合問,。今有圭田,，廣五步二分，步之一縱,。八步三分,，步之二。問：該積若干,。 答曰：二十三步六分步之五,。 法曰：置廣五步，以分母二通之,，加分子一共十一,。另置縱八步，以分母三通之,，加分子二,，共二十六。與廣十一相乘,，得二百八十六,，折半得一百四十三為實。以分母二分,、三分相乘,，得六分。為法除之得二十三步,。馀實五以法命之,，得六分之五。 今有圓田,，徑六步十三分,，步之十二。周圍二十步四十一分,，步之三十二,。問：該積若干。 答曰：三十六步,。 法曰：徑求積。置徑六步,，以分母十三通之,，加分子十二共九十，自乘得八千一百。又以分母十三減分子十二馀一,，以乘分子十二,，并前共得八千一百一十二。以三因四歸之,，得六千零八十四為實,。以分母十三自乘，得一百六十九,，為法除之合問,。若以周求積。置周二十步,，以分母四十一通之,，加分子三十二共八百五十二。自乘得七十二萬五千九百零四,。又以分母四十一減分子三十二馀九,，以乘分子三十二得二百八十八。并入前數(shù)共七十二萬六千一百九十二,。以圓法十二除之,，得六萬零五百一十六為實。以分母四十一自乘,，得一千六百八十一為法除之,。合問。 今有環(huán)田,，內(nèi)周六十二步四分,，步之三。外周一百一十三步二分,，步之一,。徑十二步三分，步之二,。問：該積若干,。 答曰：四畝六分五釐四分步之一。法曰：并內(nèi)外周共一百七十五步,。以內(nèi)周之三乘外周二分,，得六分。另以外周之一乘內(nèi)周四分,，得四,。并之得十。卻以分母二分四分相乘,，得八,。為法除十得一步二分五釐,。并前共得一百七十六步二分五釐。折半得八十八步一分二釐五毫為實,。卻以徑十二步,，分母三通之，加分子二共三十八,，為法乘之得三千三百四十八步七分五釐,。又以分母三除之，得一千一百一十六步二分五釐,。以畝法除之得四畝六分五釐,，不盡步下二分五釐，以法約之,，得四分步之一,。合問。 今有方田一丘,，面方十二步四分,，步之二。問：該積若干,。 答曰：一百五十六步五分,。 法曰：置十二步，以分母四通之得四十八步,。加分子二共得五十步,。自乘得二千五百步。另以分母四減分子二,，馀二,。以乘分子二得四。并前積共得二千五百零四步為實,。另以分母四自乘,，得一十六。為法除之,。〈此合開方不盡之法,。已上皆雙分母子法?！?/span> 今有直田長一十五步,，闊三步五分，步之四,。問：該積若干,。 答曰：五十七步。 法曰：置闊三步,，以分母五通之,，得十五,。加分子四共十九。另置長十五步,，以分母五通之，得七十五,。將此二數(shù)相乘,，得一千四百二十五為實。另以分母五自乘得二十五為法除之,。合問,。〈此是單分母子法?！?/span> 休寧縣科則〈附辨畝法論〉 休寧縣于萬歷九年清丈有糧里,，編號二百一十一里。帶管無糧里三十四里半,。〈以千字文編號,，自在城東北隅天字一號。起至三十三都八圖建字號止,?！?/span> 田畝起科等則〈每斗加耗七合，地山同,?！?/span> 田每一畝，古科米帶耗共五升三合五勺,。麥帶耗共二升一合四勺,。 地每一畝古科米帶耗共三升二合一勺。麥帶耗共二升一合四勺,。新制米帶耗共三升八合七勺,。一抄三撮麥帶耗共一升九合八勺七抄。 比古米增而麥減,，何也,。蓋謂古有官莊產(chǎn)土租米重而租麥輕。又紫陽書院田府縣學田有米無麥,。今變總歸于一,，則丈出畝步攤派租米租麥各畝步不同等，而田山塘等起科不廢,。古法惟地扣合米麥總數(shù)之故云,。 山按原額計畝，〈新丈不計步數(shù),?！?/span>每畝米帶耗共一升零七勺,，麥數(shù)同。 塘池潭堨〈同田則〉 園圃洲堤〈同地則〉 墳塋境跡〈多作上地〉開墾隴野〈以作荒地三百為畝入山境〉 畝法論 愚按前賢畝法,，率二百四十步為一畝,。萬歷九年遵詔清之休邑總書，擅變畝法,。田分四等,。上則一百九十步，中則二百二十步,，下則二百六十步,，下下則三百步。地亦四等,。上則二百步,，中則二百五十步，下則三百五十步,，下下則五百步,。在城基地有等，正之名一等正三十步,，二等正四十步,，三等正五十步，四等正六十步,。與前賢二百四十步一畝大相繆戾,，借曰土地有肥磽，徵役有輕重,，亦宜就土田高下別米麥之多寡,。不得輕變畝法第?？倳_其弊竇,，舉邑業(yè)已遵行，何容置喙,。姑記于此以見作聰明亂舊章之自云,。 古今折步 原用古弓每步五尺，今以鈔弓校之,，只有四尺八寸,。問：古弓百步該鈔弓若干。 答曰：九十二步一分六釐,。 法曰：置四尺八寸倍之,，得九分六釐。自乘得九分二釐一毫六絲,，乃古弓一步今折得鈔弓數(shù)也,。自此升上合問,。若鈔弓步數(shù)每百步用八十五步，加之以合原古弓步之數(shù),。 其方直田形截積具載少廣章中,。 |
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