女士們，先生們,，老少爺們兒們,！在下張大少。

無邊的奇跡源于簡單規(guī)則的無限重復(fù),。

——本華·曼德博(Benoit Mandelbrot)

圖6.1.1是兩張取自自然界的照片，你能看出照片中是什么東西嗎,？

a

b

圖6.1.1 a-b 兩張來自自然界的圖片

相信大多數(shù)人都會(huì)不屑一顧："So easy,！圖a是一株蕨類植物,，圖b是一處峭壁。"

但實(shí)際上,，現(xiàn)實(shí)不似你所見,。圖a并不是一株蕨類植物，只是蕨類植物的一片葉子,；圖b也不是峭壁,，只是公園里的一塊石頭，只有不到1米高,。

大多數(shù)人之所以會(huì)被欺騙,，是因?yàn)樵S多物體在不同尺度下看起來是一樣的。蕨類植物的每個(gè)分支都和主造型一致,；小石頭看起來像大石頭,，而大石頭同一座山似乎也沒太大區(qū)別；小塊的云朵和一大團(tuán)云的形狀和結(jié)構(gòu)是一樣的,；餐盤中切好的一小片菜花依然酷似完整的菜花……

在20世紀(jì)70年代,，數(shù)學(xué)家本華·曼德博（Benoit Mandelbrot）創(chuàng)造了"分形"這個(gè)詞來描述這種自相似的物體，這個(gè)名字來源于拉丁語詞根"fractus",，意思是"斷裂"或"破碎",。也就是說，如果你折斷一個(gè)分形的一小部分,，它看起來仍然像整體,。分形這種特性令人望而生敬，因?yàn)樵煳镏魉坪踔恍枰槐楸榈刂貜?fù)一個(gè)簡單的過程就能創(chuàng)造出世間萬物,；分形還令人望而生畏,，因?yàn)槲覀儾恢婪中魏螘r(shí)是盡頭，一個(gè)小小的原子里是不是又隱藏著浩瀚的宇宙,；當(dāng)然,，分形還令人望而迷惘，因?yàn)樽韵嗨频奶匦钥梢暂p松地欺騙我們的眼睛,，讓我們無從分辨眼前看到的是事物的整體還是部分,。

敬畏與迷惘之中，我們隱隱感到,，分形似乎集簡單和復(fù)雜于一身,，而且往往帶有無限重復(fù)的規(guī)律。但是,，分形究竟顛覆了我們的哪些傳統(tǒng)認(rèn)知,？

理一理凌亂的思路，我認(rèn)為有兩點(diǎn)：一是尺度,，二是維度,。下面,，我們就以"科赫雪花曲線"這個(gè)經(jīng)典的分形圖案為例子來分別談一談。

馮·科赫（Von Koch,，1870-1924）,，瑞典數(shù)學(xué)家，貴族出身,，家世顯赫,。研究數(shù)學(xué)和哲學(xué)是當(dāng)時(shí)瑞典貴族圈的流行風(fēng)尚。如今舉世聞名的諾貝爾獎(jiǎng),，就是誕生在那個(gè)時(shí)候的瑞典,。科赫自然也跟他身邊的公子闊少一樣趕時(shí)髦,，毅然投身數(shù)學(xué),，成了數(shù)學(xué)家。說來也怪,，科赫的主要研究領(lǐng)域是數(shù)論,，一生發(fā)表了很多篇關(guān)于數(shù)論的論文，但都沒什么影響,。他留給世界的最廣為人知的成果,，就是這個(gè)以他的名字命名的"科赫曲線"，因?yàn)樾螤羁崴蒲┗?，所以又稱為"科赫雪花曲線",。

科赫雪花曲線的構(gòu)造方法很簡單。如下圖6.1.2,，任意畫一個(gè)正三角形,，把每一條邊三等分；然后取三等分后的中間一段為邊向外作正三角形,，并把這中間一段擦掉,；一直重復(fù)這個(gè)步驟，畫出更小的三角形,，直到無窮,，由此畫出的曲線就是科赫雪花曲線。

圖6.1.2 科赫雪花曲線

粗粗一看,，這條曲線不足為奇,，它無疑是由基本的幾何方法構(gòu)造出來的，構(gòu)造過程也很簡單,。但細(xì)看后你會(huì)發(fā)現(xiàn),，它始于正三角形，正三角形由3條線組成，最后得到的雪花形狀依然由3部分組成,，每一部分都是完全自相似的,，也就是說，把每個(gè)局部放大看,，你都會(huì)看到和原來一模一樣的形狀。如果你對(duì)高等數(shù)學(xué)稍有了解的話,，就會(huì)發(fā)現(xiàn)更古怪的事情,，正如科赫自己所言，它的古怪之處在于"無切線",?？梢姡中问菍?duì)微積分的強(qiáng)烈反對(duì),。微積分的核心假設(shè)是,，物體只要無限放大，看起來就很光滑,。但是科赫曲線無論怎么放大都跟原來完全一樣,，永遠(yuǎn)曲曲折折，有棱有角,，不是平滑曲線,，它上面處處是尖點(diǎn)，處處不可導(dǎo),，處處不可微,。那么，由牛頓和萊布尼茨一手打造,、后世無數(shù)數(shù)學(xué)天才們發(fā)展完善,、被認(rèn)為是現(xiàn)代科學(xué)基礎(chǔ)的宏偉的微積分大廈豈不是遭遇了前所未有的沖擊？

不過,，對(duì)于我們蕓蕓大眾而言,，高等數(shù)學(xué)畢竟距離我們的生活太過遙遠(yuǎn)，也無需我們冥思苦想,。正如前文所言,，分形真正值得我們苦思冥想的主要在兩個(gè)方面：一是尺度，二是維度,。

1 尺度之辯——雪花的周長超過地球半徑,？

如果有人跟你說，雪花的周長超過地球半徑,，那么你肯定認(rèn)為他胡說八道,。但觀察科赫雪花的構(gòu)造過程，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，每一次迭代變換都讓曲線的總長度變成原來的4/3倍,。假設(shè),，最初的正三角形周長為1，那么迭代一次之后就變成4/3,，迭代n次之后就變成(4/3)^n,。當(dāng)n趨近無窮時(shí)，雪花曲線的周長必然趨近無窮,，也就是無限長,。而且，雪花曲線上任意兩點(diǎn)之間沿邊界的路程也是無限長,。

而地球直徑卻是有限長的,，假設(shè)你有一把巨大的游標(biāo)卡尺，就能用兩個(gè)夾子把地球夾住,，從而測(cè)出一個(gè)長度值,。如此說來，雪花的周長顯然超過地球半徑,！驚不驚喜,？意不意外？

如此說來,，曼德博當(dāng)年創(chuàng)立分形時(shí)提出的"英國的海岸線無限長"還是太保守了,。其實(shí)，海岸邊的一塊礁石,、一顆砂礫,、一片樹葉……無論什么東西，只要它是粗糙的,，周長就全都無限長,。

然而，另一件咄咄怪事是,，科赫雪花雖然周長無限長,，但它的面積卻是有限大的。因?yàn)檎麄€(gè)雪花圖形被限制在了一個(gè)有限的范圍內(nèi),，我們隨手畫一個(gè)圓圈就能把它圍住,。

2 維度之辯——為什么維度可以不是整數(shù)？

常識(shí)告訴我們,，直線是1維,，平面是2維，立體是3維,。那么科赫雪花曲線是幾維,？

相信多數(shù)人的思維比較經(jīng)典：科赫曲線就是一條直線反復(fù)折疊形成的,，折疊再多次，它也是由一條條小小的線段組成的嘛,，到頭來還是線,，那就應(yīng)該是1維圖形。

但有些人會(huì)思考的更細(xì)致些：既然迭代次數(shù)趨近無窮,，那就不是光憑放大圖形就能看到的,，只能憑想象來理解。迭代無窮次之后,，小線段的長度趨近于0,，也就是變成了一個(gè)點(diǎn)。這些點(diǎn)會(huì)覆蓋一部分的平面,，所以你瞧，隨著迭代次數(shù)增加,，雪花邊緣的顏色有些變深了不是,？也就是說，它或許已經(jīng)不是一維的線了,。如果你認(rèn)為上圖不夠明顯,，那請(qǐng)看下圖6.1.3，這同樣是按照科赫雪花曲線的構(gòu)造方式繪制的圖案,，只是線段的夾角不再是60°,。圖a是夾角為120°的結(jié)果，最后形成的曲線比較平緩,；圖b的夾角為20°,，形成的雪花輪廓更加尖銳、曲折,；圖c比較極端,，直接把夾角設(shè)為0°，最后的結(jié)果是曲線完全填滿了一個(gè)等腰直角三角形,。如此說來,，科赫雪花曲線豈不是變成了二維的平面圖形？

圖6.1.3a-c 科赫雪花曲線的變例

此時(shí),，對(duì)維度概念的擴(kuò)展就顯得刻不容緩,。維度或許可以不局限于1、2,、3這些整數(shù),，上面這些既不像一維，也不像二維的曲線大概就是介于1和2之間的某個(gè)非整數(shù)維度吧,。但是非整數(shù)的維度有意義嗎,？非整數(shù)維的圖形又該是什么樣子,？記得我年少時(shí)第一次從課外書中看到英國的海岸線是1.21維時(shí)，感到一臉茫然,。這就好比登臺(tái)階,，你可以一步登一級(jí)，也可以步子邁大些一步登兩級(jí),；但如果有個(gè)人說他一步登1.5級(jí)臺(tái)階,，那不是活見鬼？

的確,，非整數(shù)維度的概念是數(shù)學(xué)家硬造出來的,。畢竟，數(shù)學(xué)里的一切都是硬造的,，關(guān)鍵在于它對(duì)描述世界是否有實(shí)際作用,。硬造出非整數(shù)維度概念的數(shù)學(xué)家是德國猶太人費(fèi)利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff，1868-1942）,，和科赫一樣,，這位豪斯多夫也是富二代，此人多才多藝,，除了數(shù)學(xué)研究成果卓著,，還發(fā)表繪畫作品和哲學(xué)論著。但是納粹當(dāng)權(quán)之后,，他這個(gè)猶太人的好日子就過到了頭,，在得知自己和家人將被送往集中營后，他和妻子服毒自盡……

為了理解豪斯多夫提出的維度概念,，我們先從普通的整數(shù)維圖形講起,。如下圖6.1.4，一條線段可以從中間分成兩段,，每一段都和原來一模一樣,，只不過變成了原來的一半長。正方形可以從各條邊中點(diǎn)切開,，分成4個(gè)小正方形,，每一個(gè)的邊長都是原來的一半。同理,，正方體可以從各條棱中點(diǎn)切開,，分成8個(gè)小正方體，每一個(gè)的棱長仍然是原來的一半,。豪斯多夫維數(shù)的關(guān)鍵在于,，要理解整體如何隨著縮放而改變。線段縮小一半的話,，整體也縮小到1/2,，因?yàn)閮啥涡〉恼媒M成一條長線,。正方形縮小一半的話，整體縮小到1/4,，因?yàn)?個(gè)小的組成一個(gè)大正方形,。正方形縮小一半的話，整體縮小到1/8,，因?yàn)?個(gè)小的才能組成原來的大正方體,。由此，維數(shù)的計(jì)算方法就是,，當(dāng)把一個(gè)圖形縮小1/2之后,，整體縮小到1/2的幾次方倍。由此法可以計(jì)算出：線段是一維的,，因?yàn)?1/2)^1=(1/2),；正方形是二維的，因?yàn)?1/2)^2=(1/4),；正方體是三維的,，因?yàn)?1/2)^3=(1/8)。與我們的常識(shí)完全契合,。

當(dāng)然，縮小的比例未必是1/2,，你也可以把線段,、正方形、正方體縮小到1/3,、1/5試試,，計(jì)算之后仍然會(huì)得出相同的維數(shù)。

圖6.1.4 線段,、正方形,、正方體的維數(shù)

現(xiàn)在，再看豪斯多夫的維數(shù)計(jì)算公式就很容易理解了,，他提出的公式是：

其中,，a是相似比，即將圖形縮小的倍數(shù),；b是指原來的圖形可以由多少個(gè)縮小后的圖形拼成,，n就是維數(shù)。

所以

現(xiàn)在,，我們可以用這個(gè)公式計(jì)算科赫雪花曲線的維數(shù)了,。如下圖6.1.5，科赫雪花曲線包含了4條一模一樣的縮小版曲線,，每一條的尺寸都是原來曲線的1/3,。所以,，這個(gè)問題就是在問3的幾次方等于4。用計(jì)算器可以算出,，科赫雪花曲線的維數(shù)是：

圖6.1.5 科赫雪花曲線的分形維數(shù)計(jì)算

因此,，我們可以說科赫雪花曲線是1.26維的圖形。

當(dāng)然,，如果圖形出現(xiàn)變化,，維數(shù)也會(huì)隨之變化，我們可以回過頭看看圖6.1.3a-c 科赫雪花曲線的變例的情況,。它們依然包含了4條一模一樣的縮小版曲線,，但由于頂角的度數(shù)不同，相似比也隨之發(fā)生變化,。

圖a的頂角是120°,，每一條的尺寸與原來曲線的比例都是

，所以維數(shù)

圖b的頂角是20°,，每一條的尺寸與原來曲線的比例都是

,，所以維數(shù)

圖c的頂角是0°，每一條的尺寸與原來曲線的比例都是1:2,，所以維數(shù)

角度越尖銳,，分形維數(shù)就越大,，當(dāng)曲線可以完全填充平面的時(shí)候,，它就變成了二維圖形。

必須指出,，這種算法只適用于嚴(yán)格自相似的情況,。自然界中的萬事萬物顯然并非全都如此,，因而分?jǐn)?shù)維數(shù)的計(jì)算往往是一事一議，沒有統(tǒng)一的法則和公式,，但是這種算法的思想?yún)s是有價(jià)值的,。目前的研究已經(jīng)算出了許多自然分形的維數(shù)：

海岸線的維數(shù)：1~1.5

山地表面的維數(shù)：2.1~2.9

河流水系的維數(shù)：1.1~1.85

云的維數(shù)：1.35

人的肺的維數(shù)：2.17

人腦褶皺的維數(shù)：2.73~2.79

所以，從分形學(xué)的角度看,，科幻小說《三體》中的降維打擊或許并不需要二向箔這種外星人的高端產(chǎn)品,，在分形構(gòu)造中做做手腳就能實(shí)現(xiàn)。

分形除了顛覆了我們的對(duì)于尺度和維度方面的傳統(tǒng)認(rèn)知之外,，還改變了我們觀察世界的方式,。曼德博在《大自然的分形幾何學(xué)》中不是說過么？"云不只是球體,，山不只是圓錐,，海岸線不是圓形，樹皮不是那么光滑,，閃電傳播的路徑更不是直線,。它們是什么呢,？它們都是簡單而又復(fù)雜的分形。"所謂簡單,，是指分形的構(gòu)造方法極其簡單,，就像科赫曲線一樣，只要把一條線段中間的一段擦去,，邊向外作正三角形,，然后機(jī)械地重復(fù)無限次即可。所謂復(fù)雜,，是指構(gòu)造出的圖案極其復(fù)雜精致,。如果說，歐氏幾何是用抽象的數(shù)學(xué)模型對(duì)大自然作了一個(gè)最粗略的近似,，那么分形幾何就是對(duì)自然作了精細(xì)的描繪,。對(duì)于萬千像筆者這樣在"996"魔咒中苦苦掙扎的程序員而言，分形似乎為我們指引了一條進(jìn)軍高逼格藝術(shù)界的康莊大道,，因?yàn)槲覀冎恍枰蒙隙潭處仔写a,，就能創(chuàng)造出手繪家永遠(yuǎn)無法匹敵的復(fù)雜圖案。而且就像前文中圖6.1.3一樣,，只要把分形的構(gòu)造方法稍加改變,，所得的圖案就大不相同?；蛟S,，程序員無意中把迭代函數(shù)中的參數(shù)隨手一改，得到的很可能就是完全不同的另一幅畫,。

我們?nèi)匀灰钥坪昭┗ㄇ€為例。如下圖6.1.6,，從正三角形開始,，還是把每一條邊的中間一段擦掉，不過這次改成向內(nèi)作正三角形,，最后就得到了"科赫反雪花曲線",。它的樣子已經(jīng)與雪花完全不同，而是由許多獨(dú)立的形狀組成,，其分形維數(shù)仍然同科赫雪花曲線一樣是1.26,。

圖6.1.6 科赫反雪花曲線

下圖6.1.7是將中間一段擦去，向外做正方形的例子,。我稱之為"直角型科赫曲線",，可以看到，迭代數(shù)次之后出現(xiàn)了很多像十字架一樣的形狀,，酷似哥特式裝飾,。圖6.1.8是把4條曲線拼接在一起形成的圖案,。

圖6.1.7 直角型科赫曲線

圖6.1.8 直角型科赫曲線的拼接

當(dāng)然，中央擦去的線段比例,，以及取而代之的多邊形的邊數(shù)也可以任意改變,。圖6.1.9展示了幾種變例，它們或像雪花,，或像飾帶,，或像花環(huán)……

圖6.1.9 科赫曲線的各類變種

我們的思路還可以進(jìn)一步拓展，如果把中間的部分擦去之后,，同時(shí)向內(nèi)外兩個(gè)部分作多邊形會(huì)如何,。如圖6.1.10，把一條線段平均分成4份,，中間兩段擦去,，一段向外做正方形，另一段向內(nèi)做正方形,，如此,，4段就變成了8段，將其4條拼接在一起,，迭代數(shù)次之后,，就形成了一個(gè)形似魔鬼的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖案。我稱之為"八段曲線",。除了樣子之外,，這條曲線的另一個(gè)古怪之處在于它的分形維數(shù)，

,，恰好是有理數(shù),。

圖6.1.10 八段曲線

圖6.1.11的構(gòu)造依然延續(xù)了上面的思路，只不過復(fù)雜了很多,。一條線段分了8份,，然后用曲曲折折的32條線段取代它，最后形成了一個(gè)形似回旋鏢的分形圖案,。巧合的是,，這個(gè)圖案的分形維數(shù)

，仍然是有理數(shù),。

圖6.1.11 三十二段曲線

圖6.1.12的構(gòu)造更加放飛自我,。一條線段分了10份，然后用50條線段取代它,，最后形成的圖案有點(diǎn)像二維碼,，不曉得掃一掃能不能贏大獎(jiǎng)。你信不信它的分形維數(shù)還是有理數(shù)？才怪,，它的分形維數(shù)

圖6.1.12 五十段曲線

如果繼續(xù)放寬規(guī)則,，就會(huì)創(chuàng)作出更加千姿百態(tài)的圖案。圖6.1.13把一條線段分成6段,，形成"VMV"的形狀,，迭代5次之后得到了類似皇冠的圖案，我稱之為"皇冠曲線",。圖6.1.14把一條線段分成4段,，中間出現(xiàn)了交叉點(diǎn)，迭代8次之后得到的圖案酷似"花籃",，我稱之為"花籃曲線",。

圖6.1.13皇冠曲線

圖6.1.14花籃曲線

青山不改，綠水長流,，在下告退,。

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