維度，又稱維數(shù),，是數(shù)學(xué)中獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目,。在物理學(xué)和哲學(xué)的領(lǐng)域內(nèi)，指獨(dú)立的時(shí)空坐標(biāo)的數(shù)目,。0維是點(diǎn),，沒(méi)有長(zhǎng)度。1維是線,，只有長(zhǎng)度,。2維是一個(gè)平面，是由長(zhǎng)度和寬度(或曲線)形成面積,。3維是2維加上高度形成體積,。

人們對(duì)整數(shù)維度習(xí)以為常，幾乎可以不加思索地判斷出物的維度,。想要認(rèn)識(shí)非整數(shù)的維度,，就先得重新思考一下整數(shù)的維度：為什么點(diǎn)是0維，線是1維,，面是2維而體是3維,？

為了方便起見(jiàn)，下面討論的幾何圖形都是直線構(gòu)成的圖形,。

先看0維的點(diǎn),。

數(shù)學(xué)上的點(diǎn)，是無(wú)限小的,，沒(méi)有體積,、長(zhǎng)度等大小概念。不論你對(duì)這個(gè)點(diǎn)放大縮小多少倍,，它都還和原來(lái)一樣,。換成數(shù)字描述，將一個(gè)點(diǎn)放縮x倍,，”點(diǎn)“始終等于其自身,，是自身的1倍（x^0=1）。

再看1維的線段,。

對(duì)一條有限長(zhǎng)度的線段,，將其線度放大x倍,，相應(yīng)地，線段本身就等于原來(lái)的x倍,。比如放大2倍,，需要2條原來(lái)的線段來(lái)填滿新的線段，放大5倍,，就需要5條原來(lái)的線段來(lái)填滿新的線段（x^1）,。

再看2維的平面圖形。

對(duì)一個(gè)正方形,，將其線度放大x倍，也就是各條邊放大x倍,，相應(yīng)地,，放大以后的圖形是原來(lái)的x^2倍大小。比如每條邊放大2倍,，得到的新的圖形就需要4個(gè)原來(lái)的正方形來(lái)填滿,，放大3倍，就需要9個(gè)原來(lái)的正方形來(lái)填滿（x^2）,。

最后看3維圖形,。

相信機(jī)智如你，已經(jīng)總結(jié)出規(guī)律,，不需要再多說(shuō)了吧,。

有上面的認(rèn)識(shí)，維度D的計(jì)算公式就可以用通俗的語(yǔ)言總結(jié)如下,，對(duì)一個(gè)圖形,，將其線度上放大x倍后，需要y個(gè)原來(lái)的圖形來(lái)填滿,，則其維度D

上面的公式相當(dāng)樸素與原始,，如果深究，還有許多值得商榷之處,。關(guān)于維度的嚴(yán)謹(jǐn)定義,，感興趣可以取了解一下豪斯道夫維度，閔可夫斯基上界維數(shù),，閔可夫斯基下界維數(shù)等,。過(guò)于專業(yè)，此處不予討論,。

接下來(lái)看兩個(gè)具有非整數(shù)維度的分形（fractal）的例子：

1.謝爾賓斯基Sierpinski地毯

這是一個(gè)平面圖形,，構(gòu)造方法比較簡(jiǎn)單。首先取一個(gè)三角形,，取各邊中點(diǎn),，連線,，劃分成四個(gè)完全一樣的三角形。將中間的三角形去掉（如下圖中的A),。對(duì)剩下的三個(gè)小三角形,，重復(fù)以上操作,就得到下圖中的B。這樣無(wú)限迭代下去,，就得到了Sierpinski三角形,。

如果將這個(gè)圖形各邊放大為原來(lái)的2倍，則只需要3個(gè)原來(lái)的圖形,，就能填滿新的圖形,，于是它的維度

類似地，對(duì)下面這樣的Sierpinski正方形,，取各邊的三等分點(diǎn),，構(gòu)造過(guò)程與上面類似。

將這個(gè)圖形各邊放大3倍,，則只需要8個(gè)原來(lái)的圖形,，就能填滿新圖形，于是它的維度

該如何理解這種大于1又小于2的非整數(shù)維度呢,？

可以通過(guò)“度量”來(lái)把握,。假設(shè)一開(kāi)始的圖形面積為單位1，每經(jīng)過(guò)一步操作,，圖形面積都減小到原來(lái)的r倍（r<1,，對(duì)Sierpinski三角形，r=3/4,，對(duì)Sierpinski正方形,，r=8/9)。于是經(jīng)過(guò)無(wú)窮次迭代后,，其面積變?yōu)?,。即Sierpinski地毯的面積為0。也就是說(shuō),，該地毯處處都是漏洞,。我們知道只有二維圖形才有面積，而Sierpinski地毯的維度小于2,，故面積為0,。另外，其維度又大于1,，所以也不能通過(guò)有限長(zhǎng)的直線將其覆蓋,。這樣一想，是不是可以幫助理解這個(gè)介于1維到2維之間的奇怪圖形？

注意：Sierpinski地毯是無(wú)限迭代的結(jié)果,。經(jīng)過(guò)任意有限次的操作后,，圖形的面積都存在且大于0，其維度始終是2維,，這個(gè)2維圖形不是“Sierpinski地毯”,。

2.科赫Koch雪花

圖形的作法是，從一個(gè)正三角形開(kāi)始,，把每條邊分成三等份,，然后以各邊的中間長(zhǎng)度為底邊，分別向外作正三角形,，再把“底邊”線段抹掉,。經(jīng)過(guò)無(wú)窮次這樣的操作，就會(huì)得到一個(gè)“雪花”樣子的曲線：

如果我們看科赫雪花的內(nèi)部,，其面積有限,，是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二維圖形。但這里需要澄清的是,，與Sierpinski地毯不同，科赫雪花指的是它的邊,。容易知道,，如果將其放大3倍，需要4個(gè)原來(lái)的圖形才能填滿,。于是其維度

通過(guò)計(jì)算可知,，科赫雪花的長(zhǎng)度為無(wú)窮，這與其維度大于1相符合,。而科赫雪花本質(zhì)上還是“線”,，不論經(jīng)過(guò)多少次迭代，這條“線”都不具有面積,，面積為0,。故維度小于2。

注意：Koch雪花是無(wú)限迭代的結(jié)果,。經(jīng)過(guò)任意有限次的操作后,，圖形的長(zhǎng)度都是有限值，其維度始終是1維,，都不是“Koch雪花”,。

最后欣賞一下來(lái)自復(fù)數(shù)的Mandelbrot集合：

這是一個(gè)非常復(fù)雜的分形，具有無(wú)窮自相似的結(jié)構(gòu),。不一樣的距離,，可以產(chǎn)生循環(huán)往復(fù)的美。設(shè)想它是一個(gè)島嶼，被熱帶海洋環(huán)繞著,，你可以看到它在海面下的底部?，F(xiàn)在，你從九霄云外出發(fā),，朝著他不斷墜落,，拉近，乃至沉入,，就能感受到“一沙一世界,，一葉一天堂”的禪意。