來源：普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版） 

推薦：

四、課程內(nèi)容

（一）必修課程

必修課程包括五個主題,，分別是預(yù)備知識,、函數(shù)、幾何與代數(shù),、概率與統(tǒng)計,、數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動,。數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容,。

必修課程共8學(xué)分144課時，表1給出了課時分配建議,，教材編寫,、教學(xué)實施時可以根據(jù)實際作適當調(diào)整。

表1　必修課程課時分配建議表

主題一　預(yù)備知識

以義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)課程內(nèi)容為載體,，結(jié)合集合,、常用邏輯用語、相等關(guān)系與不等關(guān)系,、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式等內(nèi)容的學(xué)習(xí),，為高中數(shù)學(xué)課程做好學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)方式和知識技能等方面的準備,，幫助學(xué)生完成初高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡,。

【內(nèi)容要求】

內(nèi)容包括：集合、常用邏輯用語,、相等關(guān)系與不等關(guān)系,、從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式。

1．集合

在高中數(shù)學(xué)課程中,，集合是刻畫一類事物的語言和工具,。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生使用集合的語言簡潔,、準確地表述數(shù)學(xué)的研究對象,，學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言表達和交流，積累數(shù)學(xué)抽象的經(jīng)驗,。

內(nèi)容包括：集合的概念與表示,、集合的基本關(guān)系、集合的基本運算,。

（1）集合的概念與表示

①通過實例,，了解集合的含義，理解元素與集合的“屬于”關(guān)系,。

②針對具體問題,，能夠在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合,。

③在具體情境中,，了解全集與空集的含義。學(xué)+科網(wǎng)

（2）集合的基本關(guān)系

理解集合之間包含與相等的含義,，能識別給定集合的子集,。

（3）集合的基本運算

①理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集,。

②理解在給定集合中一個子集的補集的含義,，能求給定子集的補集。

③能使用Venn圖表達集合的基本關(guān)系與基本運算,，體會圖形對理解抽象概念的作用,。

2．常用邏輯用語

常用邏輯用語是數(shù)學(xué)語言的重要組成部分，是數(shù)學(xué)表達和交流的工具,，是邏輯思維的基本語言,。本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生使用常用邏輯用語表達數(shù)學(xué)對象，進行數(shù)學(xué)推理,，體會常用邏輯用語在表述數(shù)學(xué)內(nèi)容和論證數(shù)學(xué)結(jié)論中的作用，提升交流的嚴謹性與準確性,。

內(nèi)容包括：必要條件,、充分條件、充要條件,，全稱量詞,、存在量詞、全稱量詞命題與存在量詞命題的否定,。

（1）必要條件,、充分條件、充要條件

①通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,，理解必要條件的意義,，理解性質(zhì)定理與必要條件的關(guān)系。

②通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,，理解充分條件的意義,，理解判定定理與充分條件的關(guān)系。

③通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,，理解充要條件的意義,，理解數(shù)學(xué)定義與充要條件的關(guān)系。

（2）全稱量詞與存在量詞

通過已知的數(shù)學(xué)實例,，理解全稱量詞與存在量詞的意義,。

（3）全稱量詞命題與存在量詞命題的否定

①能正確使用存在量詞對全稱量詞命題進行否定。

②能正確使用全稱量詞對存在量詞命題進行否定,。

3．相等關(guān)系與不等關(guān)系

相等關(guān)系,、不等關(guān)系是數(shù)學(xué)中最基本的數(shù)量關(guān)系，是構(gòu)建方程,、不等式的基礎(chǔ),。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過類比,，理解等式和不等式的共性與差異,掌握基本不等式,。

內(nèi)容包括：等式與不等式的性質(zhì)、基本不等式,。

（1）等式與不等式的性質(zhì)

梳理等式的性質(zhì),，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì),。

（2）基本不等式

理解基本不等式

結(jié)合具體實例,，能用基本不等式解決簡單的求最大值或最小值的問題,。

4．從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式

用函數(shù)理解方程和不等式是數(shù)學(xué)的基本思想方法。本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生用一元二次函數(shù)認識一元二次方程和一元二次不等式,。通過梳理初中數(shù)學(xué)的相關(guān)內(nèi)容，理解函數(shù),、方程和不等式之間的聯(lián)系,，體會數(shù)學(xué)的整體性。

內(nèi)容包括：從函數(shù)觀點看一元二次方程,、從函數(shù)觀點看一元二次不等式,。

（1）從函數(shù)觀點看一元二次方程

會結(jié)合一元二次函數(shù)的圖象，判斷一元二次方程實根的存在性及根的個數(shù),，了解函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系,。

（2）從函數(shù)觀點看一元二次不等式

①經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式的過程，了解一元二次不等式的現(xiàn)實意義,；能夠借助一元二次函數(shù)求解一元二次不等式,；并能用集合表示一元二次不等式的解集。

②借助一元二次函數(shù)的圖象,，了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù),、方程的聯(lián)系（參見案例1）。

【教學(xué)提示】

初中階段數(shù)學(xué)知識相對具體,，高中階段數(shù)學(xué)知識相對抽象,。教師應(yīng)針對這一特征幫助學(xué)生完成從初中到高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過渡，包括知識與技能,、方法與習(xí)慣,、能力與態(tài)度等方面。

在集合,、常用邏輯用語的教學(xué)中,，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，以義務(wù)教育階段學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體,，引導(dǎo)學(xué)生用集合語言和常用邏輯用語梳理,、表達學(xué)過的相應(yīng)數(shù)學(xué)內(nèi)容。應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生理解屬于關(guān)系是集合的基本關(guān)系,，了解元素A與元素A組成的集合{A}的差異,，即,A與{A}不相同。在梳理過程中,，可以針對學(xué)生的實際布置不同的任務(wù),，采用自主學(xué)習(xí)與合作學(xué)習(xí)相結(jié)合的方式組織教學(xué)活動。

在相等關(guān)系與不等關(guān)系的教學(xué)中,，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過類比學(xué)過的等式與不等式的性質(zhì),，進一步探索等式與不等式的共性與差異,。

在從函數(shù)觀點看一元二次方程和一元二次不等式的教學(xué)中，可以先以討論具體的一元二次函數(shù)變化情況為情境,，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一元二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系,，引出一元二次不等式概念；然后進一步引導(dǎo)學(xué)生探索一般的一元二次函數(shù)與一元二次方程,、一元二次不等式的關(guān)系,，歸納總結(jié)出用一元二次函數(shù)解一元二次不等式的程序。

教學(xué)中,，要根據(jù)內(nèi)容的定位和教育價值,，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng),。要讓學(xué)生逐漸養(yǎng)成借助直觀理解概念,，進行邏輯推理的思維習(xí)慣，以及獨立思考,、合作交流的學(xué)習(xí)習(xí)慣,，引導(dǎo)學(xué)生感悟高中階段數(shù)學(xué)課程的特征，適應(yīng)高中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),。

【學(xué)業(yè)要求】

能夠在現(xiàn)實情境或數(shù)學(xué)情境中,，概括出數(shù)學(xué)對象的一般特征，并用集合語言予以表達,。初步學(xué)會用三種語言（自然語言,、圖形語言、符號語言）表達數(shù)學(xué)研究對象,，并能進行轉(zhuǎn)換,。掌握集合的基本關(guān)系與基本運算。在數(shù)學(xué)表達中的作用,。

能夠從函數(shù)的觀點認識方程和不等式,，感悟函數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，認識函數(shù)的重要性,。掌握等式與不等式的性質(zhì),。

重點提升數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),。

主題二　函數(shù)

函數(shù)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最基本的概念,，是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語言和工具，在解決實際問題匯總發(fā)揮重要作用,。函數(shù)是貫穿高中數(shù)學(xué)課程的主線,。

【內(nèi)容要求】

內(nèi)容包括：函數(shù)概念與性質(zhì)，冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù),，三角函數(shù)，函數(shù)應(yīng)用,。

1．函數(shù)概念與性質(zhì)

本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生建立完整的函數(shù)概念，不僅把函數(shù)理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語言和工具,，也把函數(shù)理解為實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系,；能用代數(shù)運算和函數(shù)圖象揭示函數(shù)的主要性質(zhì)；在現(xiàn)實問題中,，能利用函數(shù)構(gòu)建模型,，解決問題。

內(nèi)容包括：函數(shù)概念,、函數(shù)性質(zhì),、^*[1]函數(shù)的形成與發(fā)展。

（1）函數(shù)概念

①在初中用變量之間的依賴關(guān)系描述函數(shù)的基礎(chǔ)上,，用集合語言和對應(yīng)關(guān)系刻畫函數(shù),，建立完整的函數(shù)概念（參見案例2），體會集合語言和對應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用,。了解構(gòu)成函數(shù)的要素,，能求簡單函數(shù)的定義域。

②在實際情境中,，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法,、列表法、解析法）表示函數(shù),，理解函數(shù)圖象的作用,。

③通過具體實例，了解簡單的分段函數(shù),，并能簡單應(yīng)用,。

（2）函數(shù)性質(zhì)

①借助函數(shù)圖象，會用符號語言表達函數(shù)的單調(diào)性,、最大值,、最小值，理解它們的作用和實際意義,。

②結(jié)合具體函數(shù),，了解奇偶性的概念和幾何意義。

③結(jié)合三角函數(shù),，了解周期性的概念和幾何意義,。

（3）^*函數(shù)的形成與發(fā)展（[1]標有*的內(nèi)容為選學(xué)內(nèi)容，不作為考試要求。）

收集函數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料,，撰寫論文,，論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果,、主要人物,、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻。

2．冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)

冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是最基本的,、應(yīng)用最廣泛的函數(shù),，是進一步研究數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生學(xué)會用函數(shù)圖象和代數(shù)運算的方法研究這些函數(shù)的性質(zhì),；理解這些函數(shù)中所蘊含的運算規(guī)律；運用這些函數(shù)建立模型,，解決簡單的實際問題,，體會這些函數(shù)在解決實際問題中的作用,。

內(nèi)容包括：冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),。

（1）冪函數(shù)

通過具體實例,，結(jié)合

的圖象，理解它們的變化規(guī)律,，了解冪函數(shù),。

（2）指數(shù)函數(shù)

②通過具體實例，了解指數(shù)函數(shù)的實際意義,，理解指數(shù)函數(shù)的概念,。

③能用描點法或借助計算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點,。

（3)對數(shù)函數(shù)

①理解對數(shù)的概念和運算性質(zhì),，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)。

②通過具體實例,，了解對數(shù)函數(shù)的概念,。能用描點法或借助計算工具畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點,。

④^*收集,、閱讀對數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述對數(shù)發(fā)明

的過程以及對數(shù)對簡化運算的作用,。

3．三角函數(shù)

三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù),。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關(guān)系的基礎(chǔ)上,，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念,，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性,、奇偶性（對稱性）,、單調(diào)性和最大（小）值等性質(zhì),；探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關(guān)系,；利用三角函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，解決實際問題,。

內(nèi)容包括：角與弧度,、三角函數(shù)概念和性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,、三角恒等變換,、三角函數(shù)應(yīng)用。

（1）角與弧度

了解任意角的概念和弧度制,，能進行弧度與角度的互化,，體會引入弧度制的必要性（參見案例3）。

（2）三角函數(shù)概念和性質(zhì)

①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦,、余弦,、正切）的定義，能畫出這些三角函數(shù)的圖象,，了解三角函數(shù)的周期性,、奇偶性、最大（?。┲?。借助單位圓的對稱性，利用定義推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（,，α ±π的正弦,、余弦、正切）,。

②借助圖象理解正弦函數(shù)在,、余弦函數(shù)上、正切函數(shù)在

上的性質(zhì),。

③結(jié)合具體實例,，了解的實際意義,；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ,，A的意義,，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響。

（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

（4）三角恒等變換

①經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程,，知道兩角差余弦公式的意義,。

②能從兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦,、正切公式,，二倍角的正弦、余弦,、正切公式,，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系。

③能運用上述公式進行簡單的恒等變換（包括推導(dǎo)出積化和差,、和差化積,、半角公式，這三組公式不要求記憶）,。

（5）三角函數(shù)應(yīng)用

會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題,，體會可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫事物周期變化的數(shù)學(xué)模型（參見案例4）。

4．函數(shù)應(yīng)用

函數(shù)應(yīng)用不僅體現(xiàn)在用函數(shù)解決數(shù)學(xué)問題,，更重要的是用函數(shù)解決實際問題,。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生掌握運用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法（二分法）,；理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程,；運用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出,、分析和解決問題,。

內(nèi)容包括：二分法與求方程近似解、函數(shù)與數(shù)學(xué)模型,。

（1）二分法與求方程近似解

①結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象,，了解函數(shù)的零點與方程解的關(guān)系。

②結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點,，了解函數(shù)零點存在定理,，探索用二分法求方程近似解的思路并會畫程序框圖，能借助計算工具用二分法求方程近似解,，了解用二分法求方程近似解具有一般性,。

（2）函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

①理解函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語言和工具。在實際情境中,，會選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實問題的變化規(guī)律,。

②結(jié)合現(xiàn)實情境中的具體問題，利用計算工具，比較對數(shù)函數(shù),、一元一次函數(shù),、指數(shù)函數(shù)增長速度的差異，理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語的現(xiàn)實含義,。

③收集,、閱讀一些現(xiàn)實生活、生產(chǎn)實際或者經(jīng)濟領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型,，體會人們是如何借助函數(shù)刻畫實際問題的,，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實意義。

【教學(xué)提示】

教師應(yīng)把本主題的內(nèi)容視為一個整體,，引導(dǎo)學(xué)生從變量之間依賴關(guān)系,、實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系、函數(shù)圖象的幾何直觀等角度整體認識函數(shù)概念,；通過梳理函數(shù)的單調(diào)性,、周期性、奇偶性（對稱性）,、最大（?。┲档龋J識函數(shù)的整體性質(zhì),；經(jīng)歷運用函數(shù)解決實際問題的全過程,。

函數(shù)概念的引入，可以用學(xué)生熟悉的例子為背景進行抽象,。例如,，可以從學(xué)生已知的、基于變量關(guān)系的函數(shù)定義入手,，引導(dǎo)學(xué)生通過生活或數(shù)學(xué)中的問題,，構(gòu)建函數(shù)的一般概念，體會用對應(yīng)關(guān)系定義函數(shù)的必要性,，感悟數(shù)學(xué)抽象的層次,。

函數(shù)單調(diào)性的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)生正確地使用符號語言刻畫函數(shù)最本質(zhì)的性質(zhì)——單調(diào)性（參見案例5）,。在函數(shù)定義域,、值域以及函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)過程中，應(yīng)避免編制偏題,、怪題,，避免繁瑣的技巧訓(xùn)練。

指數(shù)函數(shù)的教學(xué),，應(yīng)關(guān)注指數(shù)函數(shù)的運算法則和變化規(guī)律,，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)到有理指數(shù)冪,、再到實數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)函數(shù)的運算法則和變化規(guī)律,。

對數(shù)函數(shù)的教學(xué),，應(yīng)通過比較同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)（例如），認識它們互為反函數(shù),。

三角函數(shù)的教學(xué),，應(yīng)發(fā)揮單位圓的作用，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實際情境,，借助單位圓的直觀,，探索三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)（參見案例6）。在三角恒等變換的教學(xué)中,，可以采用不同的方式得到三角恒等變換基本公式,；也可以在向量的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生利用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式,。

函數(shù)應(yīng)用的教學(xué),，要引導(dǎo)學(xué)生理解如何用函數(shù)描述客觀世界事物的變化規(guī)律，體會冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等函數(shù)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系（參見案例7）,。

鼓勵學(xué)生運用信息技術(shù)學(xué)習(xí),、探索和解決問題。例如,，利用計算器,、計算機畫出冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù),、三角函數(shù)等的圖象，探索,、比較它們的變化規(guī)律,，研究函數(shù)的性質(zhì)，求方程的近似解等（參見案例8）,。

可以組織學(xué)生收集、閱讀函數(shù)的形成與發(fā)展的歷史資料,，結(jié)合內(nèi)容撰寫報告,，論述函數(shù)發(fā)展的過程、重要結(jié)果,、主要人物,、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻,。

【學(xué)業(yè)要求】

能夠從兩個變量之間的依賴關(guān)系、實數(shù)集合之間的對應(yīng)關(guān)系,、函數(shù)圖象的幾何直觀等多個角度,，理解函數(shù)的意義與數(shù)學(xué)表達；理解函數(shù)符號表達與抽象定義之間的關(guān)聯(lián),，知道函數(shù)抽象概念的意義,。

能夠理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲?，了解函數(shù)的奇偶性、周期性,；掌握一些基本函數(shù)類（一元一次函數(shù),、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù),、冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù),、三角函數(shù)等）的背景,、概念和性質(zhì)。

能夠?qū)唵蔚膶嶋H問題,，選擇適當?shù)暮瘮?shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型,，解決問題；能夠從函數(shù)的觀點認識方程,，并運用函數(shù)的性質(zhì)求方程的近似解,；能夠從函數(shù)觀點認識不等式，并運用函數(shù)的性質(zhì)解不等式,。

重點提升數(shù)學(xué)抽象,、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算,、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng),。

主題三　幾何與代數(shù)

幾何與代數(shù)是高中數(shù)學(xué)課程的主線之一。在必修課程與選擇性必修課程中,，突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合,，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián),，加強對數(shù)學(xué)整體性的理解,。

【內(nèi)容標準】

內(nèi)容包括：平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù),、立體幾何初步,。

1．平面向量及應(yīng)用

向量理論具有深刻的數(shù)學(xué)內(nèi)涵,、豐富的物理背景。向量既是代數(shù)研究對象,，也是幾何研究對象,，是溝通幾何與代數(shù)的橋梁。向量是描述直線,、曲線,、平面、曲面以及高維空間數(shù)學(xué)問題的基本工具,，是進一步學(xué)習(xí)和研究其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域問題的基礎(chǔ),，在解決實際問題中發(fā)揮重要作用。本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生理解平面向量的幾何意義和代數(shù)意義,；掌握平面向量的概念、運算,、向量基本定理以及向量的應(yīng)用,；用向量語言、方法表述和解決現(xiàn)實生活,、數(shù)學(xué)和物理中的問題,。

內(nèi)容包括：向量概念、向量運算,、向量基本定理及坐標表示,、向量應(yīng)用。

（1）向量概念

①通過對力,、速度,、位移等的分析，了解平面向量的實際背景,，理解平面向量的意義和兩個向量相等的含義,。

②理解平面向量的幾何表示和基本要素。

（2）向量運算

①借助實例和平面向量的幾何表示,，掌握平面向量加,、減運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義,。

②通過實例分析,，掌握平面向量數(shù)乘運算及運算規(guī)則，理解其幾何意義,。理解兩個平面向量共線的含義,。

③了解平面向量的線性運算性質(zhì)及其幾何意義。

④通過物理中功等實例,，理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義,，會計算平面向量的數(shù)量積。

⑤通過幾何直觀,，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）,。

⑥會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系。

（3）向量基本定理及坐標表示

①理解平面向量基本定理及其意義,。

②借助平面直角坐標系,，掌握平面向量的正交分解及坐標表示。

③會用坐標表示平面向量的加,、減運算與數(shù)乘運算,。

④能用坐標表示平面向量的數(shù)量積，會表示兩個平面向量的夾角,。

⑤能用坐標表示平面向量共線,、垂直的條件。

（4）向量應(yīng)用與解三角形

①會用向量方法解決簡單的平面幾何問題,、力學(xué)問題以及其他實際問題,，體會向量在解決數(shù)學(xué)和實際問題中的作用。

②借助向量的運算,，探索三角形邊長與角度的關(guān)系,，掌握余弦定理、正弦定理,。

③能用余弦定理,、正弦定理解決簡單的實際問題。

2．復(fù)數(shù)

復(fù)數(shù)是一類重要的運算對象,，有廣泛的應(yīng)用,。本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過方程求解,，理解引入復(fù)數(shù)的必要性,，了解數(shù)系的擴充，掌握復(fù)數(shù)的表示,、運算及其幾何意義,。

內(nèi)容包括：復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的運算,、*復(fù)數(shù)的三角表示,。

（1）復(fù)數(shù)的概念

①通過方程的解，認識復(fù)數(shù),。

②理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義,，理解兩個復(fù)數(shù)相等的含義。

（2）復(fù)數(shù)的運算

掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示的四則運算,，了解復(fù)數(shù)加,、減運算的幾何意義,。

（3）*復(fù)數(shù)的三角表示

通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示,，了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式與三角表示之間的關(guān)系,，了解復(fù)數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義,。

3．立體幾何初步

立體幾何研究現(xiàn)實世界中物體的形狀,、大小與位置關(guān)系。本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生以長方體為載體,，認識和理解空間點、直線,、平面的位置關(guān)系,；用數(shù)學(xué)語言表述有關(guān)平行、垂直的性質(zhì)與判定,，并對某些結(jié)論進行論證,；了解一些簡單幾何體的表面積與體積的計算方法；運用直觀感知,、操作確認,、推理論證、度量計算等認識和探索空間圖形的性質(zhì),，建立空間觀念,。

內(nèi)容包括：基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系,、*幾何學(xué)的發(fā)展,。

（1）基本立體圖形

①利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形,，認識柱,、錐、臺,、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征,，能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)。

②知道球,、棱柱,、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式,，能用公式解決簡單的實際問題,。

③能用斜二測法畫出簡單空間圖形（長方體、球、圓柱,、圓錐,、棱柱及其簡單組合）的直觀圖。

（2）基本圖形位置關(guān)系

①借助長方體,，在直觀認識空間點,、直線,、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上,，抽象出空間點、直線,、平面的位置關(guān)系的定義,，了解以下基本事實（基本事實1~4也稱公理）和定理。

基本事實1：過不在一條直線上的三個點,，有且只有一個平面,。

基本事實2：如果一條直線上的兩個點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi),。

基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點,，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線平行,。

定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,，那么這兩個角相等或互補。

②從上述定義和基本事實出發(fā),，借助長方體,，通過直觀感知，了解空間中直線與直線,、直線與平面,、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系，歸納出以下判定定理,，并加以證明,。

◆一條直線與一個平面平行，如果過該直線的平面與此平面相交,，那么該直線與交線平行,。

◆兩個平面平行，若果另一個平面與這兩個平面相交,，那么兩條交線平行,。

◆垂直于同一個平面的兩條直線平行。

◆兩個平面垂直,，如果一個平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個平面的交線,，那么這條直線與另一個平面垂直。

③從上述定義和基本事實出發(fā)，借助長方體,，通過直觀感知,，了解空間中直線與直線、直線與平面,、平面與平面的平行和垂直的關(guān)系,，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明,。

◆若果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,，那么該直線與此平面平行。

◆如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行,，那么這兩個平面平行,。

◆如果一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么該直線與此平面垂直,。

◆如果一個平面過另一個平面的垂線,，那么這兩個平面垂直。

④能用已獲得的結(jié)論證明空間基本圖形位置關(guān)系的簡單命題,。

（3）*幾何學(xué)的發(fā)展

收集,、閱讀幾何發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文,，論述幾何發(fā)展的過程,、重要結(jié)果、主要人物,、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻,。

【教學(xué)提示】

在平面向量及其應(yīng)用的教學(xué)活動中，應(yīng)從力,、速度,、加速度等實際情境入手，從物理,、幾何,、代數(shù)三個角度理解向量的概念與運算法則，引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方法探索實數(shù)運算與向量運算的共性與差異,，可以通過力的分解引出向量基本定理,，建立基底的概念和向量的坐標表示；可以引導(dǎo)學(xué)生運用向量解決一些物理和幾何問題,。例如,，利用向量計算力使物體沿某方向運動所作的功，利用向量解決與平面內(nèi)兩條直線平行或垂直有關(guān)的問題等,。對于向量的非正交分解只要求學(xué)生作一般了解,，不必展開,。

在復(fù)數(shù)的教學(xué)中，應(yīng)注重對復(fù)數(shù)的表示及幾何意義的理解,，避免繁瑣的計算與技巧訓(xùn)練,。對于有余力的學(xué)生，可以安排一些引申內(nèi)容,，如復(fù)數(shù)的三角表示等,。可以適當?shù)厝谌霐?shù)學(xué)文化,，讓學(xué)生體會數(shù)系擴充過程中理性思維的作用（參見案例10）,。

立體幾何初步的教學(xué)重點是幫助學(xué)生逐步形成空間觀念，應(yīng)遵循從整體到局部,、從具體到抽象的原則,，提供豐富的實物模型或利用計算機軟件呈現(xiàn)空間幾何體，幫助學(xué)生認識空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征,，進一步掌握在平面上表示空間圖形的方法和技能。通過對圖形的觀察和操作,，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出描述基本圖形平行,、垂直關(guān)系的命題，逐步學(xué)會用準確的數(shù)學(xué)語言表達這些命題,，直觀解釋命題的含義和表述證明的思路,，并證明其中一些命題，對相應(yīng)的判定定理只要求直觀感知,、操作確認,，在選擇性必修課程中將用向量方法對這些定理加以論證。

可以使用信息技術(shù)展示空間圖形,，為理解和掌握圖形幾何性質(zhì)（包括證明）提供直觀,。教師可以指導(dǎo)和幫助學(xué)生選擇一些立體幾何問題作為數(shù)學(xué)探究活動的課題（參見案例11）。

可以組織學(xué)生收集,、閱讀幾何學(xué)發(fā)展的歷史資料,，結(jié)合內(nèi)容撰寫報告，論述幾何學(xué)發(fā)展過程中的重要結(jié)果,、主要人物,、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻。

【學(xué)業(yè)要求】

能夠從多種角度理解向量概念和運算法則,，掌握向量基本定理,；能夠運用向量運算解決簡單的幾何和物理問題，知道數(shù)學(xué)運算與邏輯推理的關(guān)系,。

能夠理解復(fù)數(shù)的概念,，掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運算,。

能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征,，解決簡單的實際問題,。能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果。能夠證明簡單的幾何命題（平行,、垂直的性質(zhì)定理）,，并會進行簡單應(yīng)用。

重點提升直觀想象,、邏輯推理,、數(shù)學(xué)運算和教學(xué)抽象素養(yǎng)。

主題四  概率與統(tǒng)計

概率的研究對象是隨機現(xiàn)象,，為人們從不確定性的角度認識客觀世界提供重要的思維模式和解決問題的方法,。統(tǒng)計的研究對象是數(shù)據(jù)，核心是數(shù)據(jù)分析,。概率為統(tǒng)計的發(fā)展提供理論基礎(chǔ),。

【內(nèi)容要求】

內(nèi)容包括：概率、統(tǒng)計,。

1．概率

本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生結(jié)合具體實例，理解樣本點,、有限樣本空間,、隨機事件，會計算古典概型中簡單隨機事件的概率,，加深對隨機現(xiàn)象的認識和理解,。

內(nèi)容包括：隨機事件與概率、隨機事件的獨立性,。

（1）隨機事件與概率

①結(jié)合具體實例,，理解樣本點和有限樣本空間的含義，理解隨機事件與樣本點的關(guān)系（參見案例12）,。了解隨機事伴的并,、交與互斥的含義，能結(jié)合實例進行隨機事件的并,、交運算,。

②結(jié)合具體實例，理解古典概型,，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率,。

③通過實例，理解概率的性質(zhì),，掌握隨機事件概率的運算法則,。

④結(jié)合實例,，會用頻率估計概率。

（2）隨機事件的獨立性

結(jié)合有限樣本空間,，了解兩個隨機事件獨立性的含義,。結(jié)合古典概型，利用獨立性計算概率,。

2．統(tǒng)計

本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)收集和整理的方法、數(shù)據(jù)直觀圖表的表示方法,、數(shù)據(jù)統(tǒng)計特征的刻畫方法,，通過具體實例，感悟在實際生活中進行科學(xué)決策的必要性和可能性,；體會統(tǒng)計思維與確定性思維的差異,、歸納推斷與演繹證明的差異；通過實際操作,、計算機模擬等活動,，積累數(shù)據(jù)分析的經(jīng)驗。

內(nèi)容包括：獲取數(shù)據(jù)的基本途徑及相關(guān)概念,、抽樣,、統(tǒng)計圖表、用樣本估計總體,。

（1）獲取數(shù)據(jù)的基本途徑及相關(guān)概念

①知道獲取數(shù)據(jù)的基本途徑，包括：統(tǒng)計報表和年鑒,、社會調(diào)查,、試驗設(shè)計、普查和抽樣,、互聯(lián)網(wǎng)等,。

②了解總體、樣本,、樣本量的概念,，了解數(shù)據(jù)的隨機性。

（2）抽樣

①簡單隨機抽樣

通過實例,，了解簡單隨機抽樣的含義及其解決問題的過程,，掌握兩種簡單隨機抽樣方法：抽簽法和隨機數(shù)法。會計算樣本均值和樣本方差,，了解樣本與總體的關(guān)系,。

②分層隨機抽樣

通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍,，了解分層隨機抽樣的必要性,，掌握各層樣本量比例分配的方法,。結(jié)合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值和樣本方差（參見案例13）,。

③抽樣方法的選擇

在簡單的實際情境中,，能根據(jù)實際問題的特點，設(shè)計恰當?shù)某闃臃椒ń鉀Q問題,。

（3）統(tǒng)計圖表

如根據(jù)實際問題的特點,，選擇恰當?shù)慕y(tǒng)計圖表對數(shù)據(jù)進行可視化描述，體會合理使用統(tǒng)計圖表的重要性,。

（4）用樣本估計總體

①結(jié)合實例,，能用樣本估計總體的集中趨勢參數(shù)（平均數(shù)、中位數(shù),、眾數(shù)）,，理解集中趨勢參數(shù)的統(tǒng)計含義。

⑦結(jié)合實例,，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)（標準差,、方差、極差）,，理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義,。

③結(jié)合實例，能用樣本估計總體的取值規(guī)律,。

④結(jié)合實例,，能用樣本估計百分位數(shù)，理解百分位數(shù)的統(tǒng)計含義（參見案例14）,。

【教學(xué)提示】

在概率的教學(xué)中,，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過日常生活中的實例了解隨機事件與概率的意義。在隨機事件和樣本空間的教學(xué)中,，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過古典概型,，認識樣本空間，理解隨機事件發(fā)生的含義,；理解古典概型的特征,，試驗結(jié)果的有限性和每一個試驗結(jié)果出現(xiàn)的等可能性，知道只有在這種特征下,，才能定義出古典概型中隨機事件發(fā)生的概率,。教學(xué)中要適當介紹基本計數(shù)方法（如樹狀圖、列表等）,，計算古典概率中隨機事件發(fā)生的概率,。

在統(tǒng)計的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實際問題的需求,，選擇不同的抽樣方法獲取數(shù)據(jù),，理解數(shù)據(jù)蘊含的信息,，根據(jù)數(shù)據(jù)分析的需求，選擇適當?shù)慕y(tǒng)計圖表描述和表達數(shù)據(jù),，并從樣本數(shù)據(jù)中提取需要的數(shù)字特征,，估計總體的統(tǒng)計規(guī)律，解決相應(yīng)的實際問題．對統(tǒng)計中的基本概念（如總體,、樣本,、樣本量等），應(yīng)結(jié)合具體問題進行描述性說明,，在此基礎(chǔ)上適當引入嚴格的定義,，并利用數(shù)字特征（平均值、方差等）和數(shù)據(jù)直觀圖表（直方圖,、散點圖等）進行數(shù)據(jù)分析,。

統(tǒng)計學(xué)的教學(xué)活動應(yīng)通過典型案例進行。教學(xué)中應(yīng)通過對一些典型案例的處理,，使學(xué)生經(jīng)歷較為系統(tǒng)的數(shù)據(jù)處理全過程,，在此過程中學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)分析的方法，理解數(shù)據(jù)分析的思路,，運用所學(xué)知識和方法解決實際問題,。

可以鼓勵學(xué)生盡可能運用計算器、計算機進行模擬活動,，處理數(shù)據(jù),，更好地體會概率的意義和統(tǒng)計思想。例如,，利用計算器產(chǎn)生隨機數(shù)來模擬擲硬幣試驗等,，利用計算機來計算樣本量較大的數(shù)據(jù)的樣本均值、樣本方差等,。

【學(xué)業(yè)要求】

能夠掌握古典概率的基本特征，根據(jù)實際問題構(gòu)建概率模型,，解決簡單的實際問題,。能夠借助古典概型初步認識有限樣本空間、隨機事件,，以及隨機事件的概率,。

能夠根據(jù)實際問題的需求，選擇恰當?shù)某闃臃椒ǐ@取樣本數(shù)據(jù),，并從中提取需要的數(shù)字特征推斷總體,，能夠正確運用數(shù)據(jù)分析的方法解決簡單的實際問題。

能夠區(qū)別統(tǒng)計思維與確定性思維的差異,、歸納推斷與演繹證明的差異,。能夠結(jié)合具體問題,，理解統(tǒng)計推斷結(jié)果的或然性，正確運用統(tǒng)計結(jié)果解釋實際問題,。

重點提升數(shù)據(jù)分析,、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng),。

主題五  數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動

【內(nèi)容要求】

數(shù)學(xué)建模活動是對現(xiàn)實問題進行數(shù)學(xué)抽象,，用數(shù)學(xué)語言表達問題,、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的過程。主要包括：在實際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題,、提出問題,，分析問題、構(gòu)建模型,，確定參數(shù),、計算求解，檢驗結(jié)果,、改進模型,，最終解決實際問題。數(shù)學(xué)建摸活動是基本數(shù)學(xué)思維運用模型解決實際問題的一類綜合實踐活動,，是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容,。

數(shù)學(xué)建模活動的基本過程如下：

數(shù)學(xué)探究活動是圍繞某個具體的數(shù)學(xué)問題,，開展自主探究,、合作研究并最終解決問題的過程。具體表現(xiàn)為：發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問題,，猜測合理的數(shù)學(xué)結(jié)論,，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索,、合作研究論證數(shù)學(xué)結(jié)論,。數(shù)學(xué)探究活動是運用數(shù)學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題的一類綜合實踐活動，也是高中階段數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容,。

數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動以課題研究的形式開展，在必修課程中,，要求學(xué)生完成其中的一個課題研究．

【教學(xué)提示】

課題可以由教師給定,，也可以由學(xué)生與教師協(xié)商確定，課題研究的過程包括選題、開題,，做題,、結(jié)題四個環(huán)節(jié)。學(xué)生需要撰寫開題報告,，教師要組織開展開題交流活動,，開題報告應(yīng)包括選題意義、文獻綜述,、解決問題思路,、研究計劃、預(yù)期結(jié)果等,。做題是解決問題的過程,，包括描述問題、教學(xué)表達,、建立模型,、求解模型、得到結(jié)論,、反思完善等,。結(jié)題包括撰寫研究報告和報告研究結(jié)果，由教師組織學(xué)生開展結(jié)題答辯,。根據(jù)選題的內(nèi)容,，報告可以采用專題作業(yè)、測量報告,、算法程序,、制作的實物、研究報告或小論文等多種形式（參見案例15）

    在數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動中,，鼓勵學(xué)生使用信息技術(shù)。

【學(xué)業(yè)要求】

經(jīng)歷數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動的全過程,，整理資料，撰寫研究報告或小論文,，并進行報告,、交流。對于研究報告或小論文的評價,，教師應(yīng)組織評價小組，可以邀請校外專家,、社會人士,、家長等參與評價，也可以組織學(xué)生互評,。教師要引導(dǎo)學(xué)生遵循學(xué)術(shù)規(guī)范,，堅守誠信底線,。研究報告或小論文及其評價應(yīng)存入學(xué)生個人學(xué)習(xí)檔案，為大學(xué)招生提供參考和依據(jù),。學(xué)生可以采取獨立完成或者小組合作（2~3人為宜）的方式,，完成課題研究（參見案例19）。

重點提升數(shù)學(xué)建模,、數(shù)學(xué)抽象,、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運算,、邏輯推理和直觀形象素養(yǎng),。

（二）選擇性必修課程

選擇性必修課程包括四個主題，分別是函數(shù),、幾何與代數(shù),、概率與統(tǒng)計、數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動,。數(shù)學(xué)文化融入課程內(nèi)容。

選擇性必修課程共6學(xué)分108課時,，表2給出了課時分配建議,，教材編寫、教學(xué)實施時可以根據(jù)實際作適當調(diào)整,。

表2選擇性必修課程課時分配表

主題一   函數(shù)

在必修課程中,，學(xué)生學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念和性質(zhì),，總結(jié)了研究函數(shù)的整本方法，掌握了一些具體的基本函數(shù)類,，探索了函數(shù)的應(yīng)用,。在本主題中，學(xué)生將學(xué)習(xí)數(shù)列和一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,。數(shù)列是一類特殊的函數(shù),，是數(shù)學(xué)重要的研究對象，是研究其他類型函數(shù)的基本工具,，在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用,。導(dǎo)數(shù)是微積分的核心內(nèi)容之一，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本概念,，蘊含微積分的基本思想,，導(dǎo)數(shù)定量地刻畫了函數(shù)的局部變化，是研究函數(shù)性質(zhì)的基本工具。

【內(nèi)容要求】

內(nèi)容包括：數(shù)列,、一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,。

1．數(shù)列

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過對日常生活中實際問題的分析,，了解數(shù)列的概念,；探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律，建立通項公式和前n項和公式：能運用等差數(shù)列,、等比數(shù)列解決簡單的實際問題和數(shù)學(xué)問題,，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實意義與應(yīng)用；了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù),、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會數(shù)學(xué)的整體性,。

內(nèi)容包括,，數(shù)列概念、等差數(shù)列,、等比數(shù)列,、*數(shù)學(xué)歸納法。

（1）數(shù)列概念

通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實例,，了解數(shù)列的概念和表示方法（列表,、圖象、通項公式）,，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù),。

（2）等差數(shù)列

①通過生活中的實例，理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義,。

②探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式,，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系。

③能在具體的問題情境中,，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,，并解決相應(yīng)的問題。

④體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系,。

（3）等比數(shù)列

①通過生活中的實例,，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義。

②探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式,，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系,。

③能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系,，并解決相應(yīng)的問題,。

④體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,。

（4）*數(shù)學(xué)歸納法

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題,。

2.一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過豐富的實際背景理解導(dǎo)數(shù)的概念,，掌握導(dǎo)數(shù)的基本運算,，運用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，并解決一些實際問題,。

內(nèi)容包括：導(dǎo)數(shù)概念及其意義,、導(dǎo)數(shù)運算、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用,、*微積分的創(chuàng)立與發(fā)展,。

（1）導(dǎo)數(shù)概念及其意義

①通過實例分析，經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,，了解導(dǎo)數(shù)概念的實際背景,，知道導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時變化率的數(shù)學(xué)表達，體會導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵與思想,。

②體會極限思想,。

③通過函數(shù)圖象直觀理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

（2）導(dǎo)數(shù)運算

①能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=c,，的導(dǎo)數(shù),。

②能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則，求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù),；能求簡單的復(fù)合函數(shù)（限于形如f（ax+b））的導(dǎo)數(shù),。

③會使用導(dǎo)數(shù)公式表。

（3）導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用

①結(jié)合實例,，借助幾何直觀了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；對于多項式函數(shù),，能求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,。

②借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件,；能利用導(dǎo)數(shù)求某些函數(shù)的極大值,、極小值以及給定閉區(qū)間上不超過三次的多項式函數(shù)的最大值、最小值,，體會導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性,、極值、最大（?。┲档年P(guān)系,。

（4）*微積分的創(chuàng)立與發(fā)展收集,、閱讀對最積分的創(chuàng)立和發(fā)展起重大作用的有關(guān)資料，包括一些量要歷史人物（牛頓,、萊布尼茨,、柯西、魏爾斯特拉斯等）和事件,，采取獨立完成或者小組合作的方式,。完成一篇有關(guān)微積分創(chuàng)立與發(fā)展的研究報告。

【教學(xué)提示】

在數(shù)列的教學(xué)中,，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過具體實例（如購房貸款,、放射性物質(zhì)的衰變、人口增長等）,，理解等差數(shù)列,、等比數(shù)列的概念、性質(zhì)和應(yīng)用,，引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)列中各個量之間的基本關(guān)系,。應(yīng)特別強調(diào)數(shù)列作為一類特殊的函數(shù)在解決實際問題中的作用，突出等差數(shù)列,、等比數(shù)列的本質(zhì),，引導(dǎo)學(xué)生通過類比的方法探索等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系,，加深對數(shù)列及函數(shù)概念的理解,。

在教學(xué)中可以組織學(xué)生收集、閱讀數(shù)列方面的研究成果,，特別是我國古代的優(yōu)秀研究成果,，如“楊輝三角”、《四元玉鑒》等,，撰寫小論文,，論述數(shù)列發(fā)展的過程、重要結(jié)果,、主要人物,、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻，感悟我國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就,。

在一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用的教學(xué)中,，應(yīng)通過豐富的實際背景和具體實例引入導(dǎo)數(shù)的概念，例如斜率,、增長率,、膨脹率、效率,、密度,、速度,、加速度等，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程,，了解導(dǎo)數(shù)是如何刻畫瞬時變化率的,，感悟極限的思想；應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過具體實例感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實際問題中的作用,，體會導(dǎo)數(shù)的意義,。學(xué)生對導(dǎo)數(shù)概念的理解不可能一步到位，導(dǎo)數(shù)概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該貫穿在一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用學(xué)習(xí)的始終,。一般地，在高中階段研究與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的問題中,，涉及的函數(shù)部是可導(dǎo)函數(shù),。

在教學(xué)中可以組織學(xué)生收集、閱讀微積分創(chuàng)立與發(fā)展的歷史資料,，撰寫小論文,，論述微積分創(chuàng)立與發(fā)展的過程、重要結(jié)果,、主要人物,、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻。

【學(xué)業(yè)要求】

能夠結(jié)合具體實例,，理解通項公式對于數(shù)列的重要性,，知道通項公式是這類函數(shù)的解析表達式；通過等差數(shù)列和等比數(shù)列的研究,，感悟數(shù)列是可以用來刻畫現(xiàn)實世界中一類具有遞推規(guī)律事物的數(shù)學(xué)模型,。掌握通項公式與前n項和公式的關(guān)系；能夠運用數(shù)列解決簡單的實際問題,。

能夠通過具體情境,，直觀理解導(dǎo)數(shù)概念，感悟極限思想,，知道極限思想是人類深刻認識和表達現(xiàn)實世界必備的思維品質(zhì),。理解導(dǎo)數(shù)是一種借助極限的運算，掌握導(dǎo)數(shù)的基本運算規(guī)則,，能求簡單函數(shù)和簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),。能夠運用導(dǎo)數(shù)研究簡單函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律，能夠利用導(dǎo)數(shù)解決簡單的實際問題,。知道微積分創(chuàng)立過程,，以及微積分對數(shù)學(xué)發(fā)展的作用。

重點提升數(shù)學(xué)抽象,、數(shù)學(xué)運算,、直觀想象,、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理素養(yǎng)。

主題二   幾何與代數(shù)

在必修課程學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上,，本主題將學(xué)習(xí)空間向量,，并運用空間向量研究立體幾何中圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系。解析幾何是數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的標志性成果,，是微積分創(chuàng)立的基礎(chǔ),。本主題將學(xué)習(xí)平面解析幾何，通過建立坐標系,，借助直線,、圓與圓錐曲線的幾何特征，導(dǎo)出相應(yīng)方程,；用代數(shù)方法研究它們的幾何性質(zhì),，體現(xiàn)形與數(shù)的結(jié)合。

【內(nèi)容要求】

內(nèi)容包括：空間向量與立體幾有,、平面解析幾何,。

1．空間向量與立體幾何

本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)平面向量的基礎(chǔ)上,，利用類比的方法理解空間向量的概念,、運算、基本定理和應(yīng)用,，體會平面向量和空間向量的共性和差異,，運用向量的方法研究空間基本圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，體會向量方法和綜合幾何方法的共性和差異,，運用向量方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題,，感悟向量是研究幾何問題的有效工具。

內(nèi)容包括：空間直角坐標系,、空間向量及其運算,、向量基本定理及坐標表示、空間向量的應(yīng)用,。

（1）空間直角坐標系

①在平面直角坐標系的基礎(chǔ)上,，了解空間直角坐標系，感受建立空間直角坐標系的必要性,，會用空間直角坐標系刻畫點的位置,。

②借助特殊長方體（所有被分別與坐標軸平行)頂點的坐標。

探索并得出空間兩點間的距離公式,。

（2）空間向量及其運算

①經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程,，了解空間向量的概念。

②經(jīng)歷由平面向量的運算及其法則推廣到空間向量的過程,。

（3）向量基本定理及坐標表示

①了解空間向量基本定理及其意義,，掌握空間向量的正交分解及其坐標表示,。

②掌握空間向量的線性運算及其坐標表示。

③掌握空間向量的數(shù)量積及其坐標表示,。

④了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義（參見案例9）,。

（4）空間向量的應(yīng)用

①能用向量語言指述直線和平面，理解直線的方向向量與平面的法向量,。

②能用向量語言表述直線與直線,、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直與平行關(guān)系,。

③能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線,、平面位置關(guān)系的判定定理。

④能用向量方法解決點到直線,、點到平面,、相互平行的直線、相互平行的平面的距離問題（參見案例16）和簡單夾角問題,，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量方法在研究幾何問題中的作用,。

2．平面解析幾何

本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生在平面直角坐標系中，認識直線,、圍,、橢圓、拋物線,、雙曲線的幾何特征,，建立它們的標準方程；運用代數(shù)方法進一步認識圓錐曲線的性質(zhì)以及它們的位置關(guān)系,，運用平面解析幾何方法解決簡單的數(shù)學(xué)問題和實際問題,，感悟平面解析幾何中蘊含的數(shù)學(xué)思想。

內(nèi)容包括：直線與方程,、圓與方程,、圓錐曲線與方程、平面解析幾何的形成與發(fā)展,。

（1）直線與方程

①在平面直角坐標系中,，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素,。

②理解直線的傾斜角和斜率的概念,，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線斜率的計算公式,。

③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直,。

④根據(jù)確定直線位置的幾何要素,，探索并掌握直線方程的幾種形式（點斜式、兩點式及一般式）,。

⑤能用解方程組的方法求兩條直線的交點坐標,。

⑥探索并掌握平面上兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,，會求兩條平行直線間的距離,。

（2）圓與方程

①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中,，探索并掌握圓的標準方程與一般方程,。

②能根據(jù)給定直線、圓的方程,，判斷直線與圓,、圓與圓的位置關(guān)系。

③能用直線和圓的方程解決一些簡單的數(shù)學(xué)問題與實際問題,。

（3）圓錐曲線與方程

①了解圓錐曲線的實際背景,，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用。

②經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程,，掌握橢圓的定義,、標準方程及簡單幾何性質(zhì)。

③了解拋物線與雙曲線的定義,、幾何圖形和標準方程,，以及它們的簡單幾何性質(zhì)。

④通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí),，進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想,。

⑤了解橢圓、拋物線的簡單應(yīng)用,。

（4）*平面解析幾何的形成與發(fā)展

收集,、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文,、論述平面解析幾何發(fā)展的過程,、重要結(jié)果、主要人物,、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻,。

【教學(xué)提示】

本主題的研究對象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數(shù)方法,。

在空間向量與立體幾何的教學(xué)中,，應(yīng)重視以下兩方面；第一，引導(dǎo)學(xué)生運用類比的方法,，經(jīng)歷向量及其運算由平面向空間的推廣過程,，探素空間向量與平面向量的共性和差異，引發(fā)學(xué)生思考維數(shù)增加所帶來的影響：第二,，鼓勵學(xué)生靈活選擇運用向量方法與綜合幾何方法,，從不同角度解決立體幾何問題（如距離間題），通過對比體會向量方法的優(yōu)勢,。在上述過程中,，引導(dǎo)學(xué)生理解向量基本定理的本質(zhì)，感悟“基”的思想,，并運用它解決立體幾何中的問題,。

在平面解析幾何的教學(xué)中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷以下過程：首先,，通過實例了解幾何圖形的背景,，例如，通過行星運行軌道,、拋物運動軌跡等,，使學(xué)生了解圓錐曲線的背景與應(yīng)用；進而,，結(jié)合情境清晰地描述圖形的幾何特征與問題,，例如，兩點決定一條直線,，橢圓是到兩個定點的距離之和為定長的動點的軌跡等，再結(jié)合具體問題合理地建立坐標系,，用代數(shù)語言描述這些特征與問題,；最后，借助幾何圖形的特點,，形成解決問題的思路,，通過直觀想象和代數(shù)運算得到結(jié)果，并給出幾何解釋,，解決問題,。

應(yīng)充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用，通過計算機軟件向?qū)W生演示方程中參數(shù)的變化對方程所表示的曲線的影響,，使學(xué)生進一步理解曲線與方程的關(guān)系,。在教學(xué)中，可以組織學(xué)生收集,、閱讀平面解析幾何的形成與發(fā)展的歷史資料,，撰寫小論文，論述平面解析幾何發(fā)展的過程、重要結(jié)果,、主要人物,、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻。

【學(xué)業(yè)要求】

能夠理解空間向量的概念,、運算,、背景和作用；能夠依托空間向量建立空間圖形及圖形關(guān)系的想象力,；能夠掌握空間向量基本定理,，體會其作用，并能簡單應(yīng)用,；能夠運用空間向量解決一些簡單的實際問題,，體會用向量解決一類問題的想路。

能夠掌握平面解析幾何解決問題的基本過程：根據(jù)具體問題情境的特點,，建立平面直角坐標系,；根據(jù)幾何問題和圖形的特點，用代數(shù)語言把幾何問題轉(zhuǎn)化成為代數(shù)問題,；根據(jù)對幾何問題（圖形）的分析,，探索解決問題的思路，運用代數(shù)方法得到結(jié)論,，給出代數(shù)結(jié)論合理的幾何解釋,，解決幾何問題。

能夠根據(jù)不同的情境,，建立平面直線和圓的方程,，建立橢圓、拋物線,、雙曲線的標準方程,，能夠運用代數(shù)的方法研究上述曲線之間的基本關(guān)系，能夠運用平面解析幾何的思想解決一些簡單的實際問題,。

重點提升直觀想象,、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模,、邏輯推理和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),。

主題三　概率與統(tǒng)計

本主題是必修課程中概率與統(tǒng)計內(nèi)容的延續(xù)，將學(xué)習(xí)計數(shù)原理,、概率,、統(tǒng)計的相關(guān)知識。計數(shù)原理的內(nèi)容包括兩個基本計數(shù)原理,、排列與組合,、二項式定理。概率的內(nèi)容包括隨機事件的條件概率、離散型隨機變量及其分布列,、正態(tài)分布,。統(tǒng)計的內(nèi)容包括成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性、一元線性回歸模型,、2×2列聯(lián)表,。

【內(nèi)容要求】

內(nèi)容包括：計數(shù)原理、概率,、統(tǒng)計,。

1．計數(shù)原理

分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的基礎(chǔ)，稱為基本計數(shù)原理,。本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生理解兩個基本計數(shù)原理，運用計數(shù)原理探索排列,、組合,、二項式定理等問題。

內(nèi)容包括：兩個基本計數(shù)原理,、排列與組合,、二項式定理。

（1）兩個基本計數(shù)原理

通過實例,，了解分類加法計數(shù)原理,、分步乘法計數(shù)原理及其意義。

（2）排列與組合

通過實例,，理解排列,、組合的概念，能利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式,、組合數(shù)公式,。

（3）二項式定理

能用多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理（參見案例17，18）,，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題。

2．概率

本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生了解條件概率及其與獨立性的關(guān)系,，能進行簡單計算；感悟離散型隨機變量及其分布列的含義,，知道可以通過隨機變量更好地刻畫隨機現(xiàn)象,；理解伯努利試驗，掌握二項分布,，了解超幾何分布,；感悟服從正態(tài)分布的隨機變量，知道連續(xù)型隨機變量；基于隨機變量及其分布解決簡單的實際問題,。

內(nèi)容包括,，隨機事件的條件概率、離散型隨機變量及其分布列,、正態(tài)分布,。

（1）隨機事件的條件概率

①結(jié)合古典概型，了解條件概率,，能計算簡單隨機事件的條件概率,。

②結(jié)合古典概型，了解條件概率與獨立性的關(guān)系,。

③結(jié)合古典概型,，會利用乘法公式計算概率。

④結(jié)合古典概型,，會利用全概率公式計算概率,。*了解貝葉斯公式。

（2）離散型隨機變量及其分布列

①通過具體實例,，了解離散型隨機變量的概念,，理解離散型隨機變量分布及其數(shù)字特征（均值、方差）,。

②通過具體實例,，了解伯努利試驗，掌握二項分布及其數(shù)字特征,，并能解決簡單的實際問題,。

③通過具體實例，了解超幾何分布及其均值,，并能解決簡單的實際問題,。

（3）正態(tài)分布

①通過誤差模型，了解服從正態(tài)分布的隨機變量,。通過具體實例,、借助頻率直方圖的幾何直觀，了解正態(tài)分布的特征,。

②了解正態(tài)分布的均值,、方差及其含義。

3．統(tǒng)計

本單元的學(xué)習(xí),，可以幫助學(xué)生了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義,，了解一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表，運用這些方法解決簡單的實際問題,。會利用統(tǒng)計軟件進行數(shù)據(jù)分析,。

內(nèi)容包括：成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性,、一元線性回歸模型、2×2列聯(lián)表,。

（1）成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計相關(guān)性

①結(jié)合實例,，了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計含義，了解樣本相關(guān)系數(shù)與標準化數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系,。

②結(jié)合實例,，會通過相關(guān)系數(shù)比較多組成對數(shù)據(jù)的相關(guān)性。

（2）一元線性回歸模型

①結(jié)合具體實例,，了解一元線性回歸模型的含義,，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義，了解最小二乘原理,，掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計方法,，會使用相關(guān)的統(tǒng)計軟件。

②針對實際問題,，會用一元線性回歸模型進行預(yù)測,。

（3）2×2列聯(lián)表

①通過實例，理解2×2列聯(lián)表的統(tǒng)計意義,。

②通過實例,，了解2×2列聯(lián)表獨立性檢驗及其應(yīng)用。

【教學(xué)提示】

教師應(yīng)通過典型案例開展教學(xué)活動,，案例的情境應(yīng)是豐富的,、有趣的、學(xué)生熟悉的,。在案例教學(xué)中要重視過程,，層次清楚，從具體到抽象,，從實際到理論,。

在計數(shù)原理的教學(xué)中，應(yīng)結(jié)合具體情境,，引導(dǎo)學(xué)生理解許多計數(shù)問題可以歸結(jié)為分類和分步兩類問題,，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)計數(shù)原理分析問題、解決問題,。

在概率的教學(xué)中,，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生通過具體實例，理解可以用隨機變量更好地刻畫隨機現(xiàn)象,，感悟隨機變量與隨機事件的關(guān)系,；理解隨機事件獨立性與條件概率之間的關(guān)系,；通過二項分布,、超幾何分布,、正態(tài)分布的學(xué)習(xí)，理解隨機變量及其分布,。在教學(xué)過程中,，應(yīng)在引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)知識解決一些實際問題的基礎(chǔ)上，適當進行嚴格,、準確的描述,。

在統(tǒng)計的教學(xué)中，應(yīng)通過具體案例,，引導(dǎo)學(xué)生理解兩個隨機變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進行分析,；理解利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機關(guān)系，進行預(yù)測,；理解利用2×2列聯(lián)表可以檢驗兩個隨機變量的獨立性,。在教學(xué)過程中，應(yīng)通過具體案例引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)據(jù)分析的全過程,，并鼓勵學(xué)生使用相應(yīng)的統(tǒng)計軟件,。

【學(xué)業(yè)要求】

能夠結(jié)合具體實例，識別和理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理及其作用,，并能夠運用這些原理解決簡單的實際問題,。

能夠結(jié)合具體實例，理解排列,、組合,、二項式定理與兩個計數(shù)原理的關(guān)系，能夠運用兩個計數(shù)原理推導(dǎo)排列,、組合,、二項式定理的相關(guān)公式，并能夠運用它們解決簡單的實際問題,，特別是概率中的某些問題,。

能夠結(jié)合具體實例，理解隨機事件的獨立性和條件概率的關(guān)系,，理解離散型隨機變量在描述隨機現(xiàn)象中的作用,，掌握兩個基本概率模型及其應(yīng)用，了解正態(tài)分布的作用,，進一步深入理解隨機思想在解決實際問題中的作用,。

能夠解決成對數(shù)據(jù)統(tǒng)計相關(guān)性的簡單實際問題。能夠結(jié)合具體實例,，掌握運用一元線性回歸分析的方法,。掌握運用2×2列聯(lián)表的方法，解決獨立性檢驗的簡單實際問題,。

重點提升數(shù)據(jù)分標,、數(shù)學(xué)建模,、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng),。

主題四　數(shù)學(xué)建?；顒优c數(shù)學(xué)探究活動

【內(nèi)容要求】

數(shù)學(xué)建模活動與數(shù)學(xué)探究活動以課題研究的形式開展,。在選擇性必修課程中,，要求學(xué)生完成一個課題研究，可以是數(shù)學(xué)建模的課題研究,，也可以是數(shù)學(xué)探究的課題研究,。課題可以是學(xué)生在學(xué)習(xí)必修課程時已完成課題的延續(xù)，或者是新的課題,。

【教學(xué)提示】

選題可以在教師的指導(dǎo)下,，自主選題，也可以在必修課程中數(shù)學(xué)建?；顒踊驍?shù)學(xué)探究活動的研究基礎(chǔ)上繼續(xù)進行深入探究,。類似必修課程的要求，課題研究應(yīng)經(jīng)歷選題,、開題,、做題、結(jié)題四個環(huán)節(jié),。如果選題不變,，需要在研究報告中說明與必修課程中研究的差異，深入研究的新思路,、新方法,，得到的新結(jié)果。根據(jù)選題的內(nèi)容,，報告可以采用專題作業(yè),、測量報告、算法程序,、制作的實物或研究論文等多種形式,。

【學(xué)業(yè)要求】

參考必修課程的主題五。

（三）選修課程（略）