數(shù)學史上級數(shù)出現(xiàn)得很早,，在兩千多年前人們就有了粗糙的級數(shù)思想,。古希臘時期，亞里士多德就知道公比小于1（大于零）的幾何級數(shù)可以求出和數(shù),。芝諾的二分法涉及到把1分解成無窮級：阿基米德在《拋物線圖形求積法》一書中,，使用幾何級數(shù)去求拋物線弓形面積，并且得出了級數(shù)：中國古代《莊子·天 下》中的“一尺之捶,，日取其半,，萬世不竭”含有極限的思想,，用數(shù)學形式表達出 來也是無窮級數(shù)。到了中世紀,，由于數(shù)學家和哲學家對一些涉及到無窮思想的悖論展開了激烈的爭論,，使得關于無窮級數(shù)的研究開展起來。最具代表的是法國數(shù)學家奧雷姆用最初等的方法證明了調(diào)和級數(shù)：是發(fā)散的,，用現(xiàn)在的形式可表示為：中世紀的級數(shù)理論,，從本質(zhì)上看沒有突破性進展，它的主要貢獻并不在于所得到的具體結果,，而是在于促使人們接受一種新的觀點,，即在數(shù)學中可以自由的承認無限過程。這對后來理解無窮過程做了鋪墊,，為形式化處理級數(shù)奠定了思想基礎,。早期數(shù)學家僅憑直覺就認為級數(shù)是可以收斂的，并將級數(shù)從有限項自然地拓展為無限項使用,，這導致了有限法則無限拓展的產(chǎn)生,。17世紀，伴隨著微積分的產(chǎn)生,，許多數(shù)學家通過微積分的基本運算與級數(shù)運算的形式化結合,，得到了一些初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式，并且級數(shù)在解析運算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具,，這就使得無窮級數(shù)成為微積分不可缺少的部分,。1669年，牛頓在他的《用無限多項方程的分析學》中,，用級數(shù)反演法給出了sinx,，cosx的冪級數(shù)，arcsinx,，arctanx和e^x的級數(shù)展開,。格雷戈里得到了tanx，secx等函數(shù)的級數(shù),，萊布尼茨也在1673年獨立地得到了sinx,，cosx和arctanx等函數(shù)的無窮級數(shù)展開式，以及圓面積和雙曲線面積的具體展開式,。在微積分的早期研究中,，有些函數(shù)如指數(shù)函數(shù)等超越函數(shù)的處理相當困難，然而人們發(fā)現(xiàn),，若用它們的級數(shù)來處理,，則非常有成效。因此，無窮級數(shù)從一開始就是萊布尼茨,、牛頓等人微積分工作的一個重要部分。有時使用無窮級數(shù)是為了計算一些特殊的量,，如π和e以及求隱函數(shù)的顯式解,。17世紀后期和18世紀，為了適應航海,、天文學和地理學的發(fā)展,，擺在數(shù)學家們面前的問題之一是函數(shù)表的插值。由于對函數(shù)表的精確度要求較高,，數(shù)學家們開始尋求較好的插值方法,，牛頓和格雷戈里給出了著名的內(nèi)插公式：1715年泰勒發(fā)表了《增量方法及其逆》，奠定了有限差分法的基礎,。17世紀,，牛頓、萊布尼茨等人曾研究過有限差分問題,，泰勒的工作則使有限差分法從局限的方法（如二項式定理,、有理函數(shù)的長除法、待定系數(shù)法等等）過渡到了一般的方法,。這本書中他給出了單變量冪級數(shù)展開的著名公式,，即泰勒級數(shù)：泰勒是第一個發(fā)表此級數(shù)的人，但他不是第一個發(fā)現(xiàn)此級數(shù)的數(shù)學家,。在他之前格雷戈里,、牛頓、萊布尼茨,、約翰·伯努利和棣莫弗等數(shù)學家都研究過此級數(shù),。例1717年泰勒運用這個級數(shù)求解方程，取得了很好的結果,，但是他的證明是不嚴格的而且沒有考慮收斂問題,，在當時影響并不太大。直到1755年,，歐拉在微分學中將泰勒級數(shù)推廣應用到多元函數(shù),，增大了泰勒級數(shù)的影響力，隨后拉格朗日用帶余項的泰勒級數(shù)作為函數(shù)論的基礎,，才正式確立了泰勒級數(shù)的重要性,。后來麥克勞林重新得到泰勒公式在口=0時的特殊情況，現(xiàn)代微積分教材中一直將這一特殊情形的泰勒級數(shù)稱為“麥克勞林級數(shù)”,。詹姆斯伯努利與約翰伯努利在級數(shù)方面做了大量的工作,。詹姆斯伯努利在1689到1704年間撰寫了5篇關于無窮級數(shù)的論文，成為當時這一領域的權威，這些論文的主題是關于函數(shù)的級數(shù)表示及其求函數(shù)的微分與積分,，求曲線下面積和曲線長等方面的應用,，所有這些級數(shù)的應用是對微積分的重大貢獻。歐拉對級數(shù)的研究?隨著級數(shù)理論的發(fā)展,，原始的級數(shù)思想已經(jīng)不能解釋一些級數(shù),，例如漸近級數(shù)，循環(huán)級數(shù),，連分數(shù)等等,。這使得許多數(shù)學家們采用更加形式化的方法來解決級數(shù)的問題，歐拉就是其中一位,。歐拉的工作非常廣泛,，他把無窮級數(shù)由一般的運算工具轉變?yōu)橐粋€重要的研究科目，使得無窮級數(shù)的應用和發(fā)展到了另一個高度,，為后來無窮級數(shù)理論的發(fā)展奠定了堅實的基礎,，并為我們展示了許多精妙的思想，留下了深刻的啟示,。下面從幾個方面討論歐拉的級數(shù)思想,。形式化觀點在18世紀無窮級數(shù)的工作中占統(tǒng)治地位，級數(shù)被看成是無窮的多項式,，并且被當作多項式來處理,，對其收斂和發(fā)散的問題沒有深入研究。歐拉多少意識到收斂性的重要,，他也看到了關于發(fā)散級數(shù)的某些困難,，特別是用它們進行計算時產(chǎn)生的困難。歐拉將收斂級數(shù)定義為,，“級數(shù)的項不斷地減小,，當級數(shù)的項數(shù)趨于無窮時，它的項完全消失,，這樣的級數(shù)被稱為收斂級數(shù)”“發(fā)散級數(shù)則就是那些不是收斂級數(shù)的級數(shù),，即級數(shù)項為某個不為零的有限量或趨于無窮的級數(shù)。在級數(shù)理論研究中,，歐拉還運用了一個原則：若級數(shù)的部分和是無窮小的,，則級數(shù)是收斂的。這個原則看起來像柯西準則的非標準版,，但卻是以一種現(xiàn)代的方式來發(fā)現(xiàn)收斂級數(shù)與發(fā)散級數(shù)的差別,。歐拉關于收斂級數(shù)的定義是不能令人滿意的，歐拉也認識到這一點,。因為歐拉曾研究過一些級數(shù),，級數(shù)的項越來越接近于，但和卻趨于無窮，如調(diào)和級數(shù),，歐拉關于這類級數(shù)也進行了研究,。在18世紀，伴隨著級數(shù)理論不斷發(fā)展,，各種初等函數(shù)的級數(shù)展開陸續(xù)得到,，并在解析運算中被普遍用來代表函數(shù)而成為微積分的有力工具。但對于級數(shù)理論本身而言,，其中最具啟發(fā)性的工作是關于調(diào)和級數(shù)和為無窮的證明。調(diào)和級數(shù)的討論引起了學者們對發(fā)散級數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結果,。并能夠用對數(shù)函數(shù)求調(diào)和級數(shù)的有限項地和,。各式相加,，并注意到每一個對數(shù)項是兩個對數(shù)之差，就得到：其中C表示無窮多個有限算術的和,，歐拉近似的計算過C的值,，并得到C=0．57721566490153286060651209……這個C現(xiàn)在通稱的歐拉常數(shù)，用γ（gamma）表示,。這是繼π,、e之后的又一個重要的數(shù)。γ的一個更精確的表示,，今天是如下得到的,。得到了這個關于y的最簡單的表達形式,，到目前為止，關于γ的性質(zhì)還沒有弄清楚（是否是代數(shù)數(shù),，是否是超越數(shù)）,。歐拉在數(shù)學領域獲得的第一個令人注目的成績就是在1735年解決了巴賽爾問題,。巴賽爾問題是指求整數(shù)倒數(shù)的平方和問題,，即：巴賽爾問題是由法國數(shù)學家門戈利在1644年提出的，后來這個問題被雅各布伯努利于1689收錄在一本名為《沒有結論的無窮級數(shù)》的書中,，并引起了數(shù)學家們的廣泛關注,。許多數(shù)學家都進行過探討，雖然大家試圖考察這類級數(shù)的收斂性，但都沒有給出級數(shù)和的精確值,，均以失敗告終,，其中包括奧雷姆,、萊布尼茨、彼得羅·門戈利、雅各布伯努利和約翰伯努利,。1731年，24歲的歐拉從他的老師約翰．f白努利那里聽說了這個難題,，經(jīng)過一年的反復研究,，發(fā)現(xiàn)了解開這個謎的鑰匙，他興奮的寫道：…完全意想不到,，我發(fā)現(xiàn)了基于π的一個絕妙公式,。 歐拉一共用四種不同的方法來解決巴賽爾問題，最著名的是第三種方法,。歐拉解決這個難題的兩個重要環(huán)節(jié)是：利用正弦函數(shù)的泰勒展開,，把正弦函數(shù)表達為無窮多項式；研究一般的代數(shù)有限多項式的性質(zhì),，將其推廣應用到無窮多項式,，即將其形式化處理。首先歐拉給出一個玎階多項式p(x),，這個多項式滿足有n個非零根a1,a2,a3,…,，an。且p(0)=1,，即有：所以p(x)=0(x≠0)的解等價于sinx=0的解，為x=±kπ,，k=1,，2，…成立,。歐拉得到的這個等式非常重要,，是解決這個問題的關鍵。接著,，歐拉將這個等式的右端展開,，得到：在這個過程中,，很明顯能夠看出歐拉處理級數(shù)的形式化方案,，通過這兩個重要環(huán)節(jié)相結合使用，歐拉發(fā)現(xiàn)了其他數(shù)學家?guī)资晡茨馨l(fā)現(xiàn)的結論,。歐拉的工作非常重要,，特別是關于整數(shù)乘方倒數(shù)與萬之間的巧妙關系,，是人類認識的一大進步。
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