第2招：一爭高下 - 利用指對冪函數(shù)性質(zhì)比較大小

1.求同存異:如果兩個指數(shù)(或?qū)?shù))的底數(shù)相同,則可通過指數(shù)(真數(shù))的大小與指數(shù)(或?qū)?shù))函數(shù)的單調(diào)性判斷出指數(shù)(或?qū)?shù))的關(guān)系,所以要熟練運用公式,盡量將比較的對象轉(zhuǎn)化為某一部分相同的情況.

2.利用特殊值作“中間量”:在指對數(shù)中通?？蓛?yōu)先選擇“,,”對所比較的數(shù)進行劃分,然后再進行比較,有時可以簡化比較的步驟(在兵法上可稱為“分割包圍,各個擊破”),也有一些題目需要選擇特殊的常數(shù)對所比較的數(shù)的值進行估計.

3.利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小:例:在上單調(diào)遞增,則,,(在單調(diào)區(qū)間內(nèi),單調(diào)性是自變量大小關(guān)系與函數(shù)值大小關(guān)系的橋梁).

總之,比較數(shù)式的大小,若同底,考慮指數(shù)函數(shù)(或?qū)?shù)函數(shù)),若同指,則考慮冪函數(shù),再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,若不同底,也不同指,則其基本方法是“同底法”,即把不同底的對數(shù)式化為同底的對數(shù)式,然后根據(jù)單調(diào)性來解決,或者利用中間量法.

方法一:估算法

就是把復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為較簡單的問題,求出答案的近似值,或把有關(guān)數(shù)值擴大或縮小,從而對運算結(jié)果確定出一個范圍或作出一個估計,進而作出判斷的方法.

例如比較與的大小.

因為,進而可估計是一個大于且小于的數(shù),從而便于比較,同理可得為大于且小于的數(shù),所以.

方法二:數(shù)形結(jié)合法

就是利用函數(shù)圖象或數(shù)學(xué)結(jié)果的幾何意義,將比較大小與某些函數(shù)圖象結(jié)合起來,利用函數(shù)圖象性質(zhì),再輔以簡單計算,確定正確答案的方法.

例如已知,,,則( )

A.

B.

C.

D.

因為,在同一平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)

,,的圖象,如圖所示:

由圖象知,由于函數(shù)為增函數(shù),∴

,∴,故選C.

方法三:單調(diào)性比較法

解題時根據(jù)實際情況來構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進行比較大小,如果指數(shù)相同,而底數(shù)不同則構(gòu)造冪函數(shù),若底數(shù)相同而指數(shù)不同則構(gòu)造指數(shù)函數(shù),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較大小.

例如(2020·全國卷II理·11)若,則( )

A.

B.

C.

D.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性.由,得,即

,設(shè)函數(shù),則,因為函數(shù)在上為增函數(shù),在上為減函數(shù),則在上為增函數(shù),所以函數(shù)在上為增函數(shù),所以,所以,所以,故選A

方法四:對數(shù)法比較大小

題型特點:有些題目可以用函數(shù)方法或中間量的方法來比較大小,但是有些題目,靠上述手段很難比較大小,我們就需要新的武器——對數(shù)法比大小.

例如比較與的大小.

設(shè),則,設(shè),則,等號兩邊同時取對數(shù)有,,所以,所以,即.

(2020·全國卷III理·12)已知,,設(shè),,,則( )

A.

B.

C.

D.

【答案】A

【解析】本題考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),、不等式的性質(zhì).易知,,,由

,知,因為

,,所以,,即,,又因為,,所以,即,綜上所述,,故選A.

1.（2021八省聯(lián)考）已知且,且,且,則( )

A.

B.

C.

D.

2.(原創(chuàng)）已知,,,則,,的大小關(guān)系為( )

A.

B.

C.

D.

3.（原創(chuàng)）三個數(shù),,大小關(guān)系是( )

A.

B.

C.

D.