老師們大家好,，今天我和大家做這樣一個話題的交流——改變學(xué)習(xí)方式,，促進(jìn)“深度學(xué)習(xí)”。首先我們一起看一段很有意思的小錄像,。我們怎樣使兒童的成長更具有成長性,？老師們可能也在想，剛才錄像中的男孩,，爸爸媽媽一秒鐘就可以把他從床上抱下來,，但是家長卻讓孩子自己試一試，他反復(fù)的嘗試,，這個嘗試的過程就是他體驗(yàn)的過程,，就是他對外界世界感悟的過程，我以為,，這個過程因?yàn)樗挠H自參與了,，這樣的過程更具有成長性。從剛才的小視頻,，我也想到我們的小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),，我們面對兒童，怎樣讓他通過我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),，使它更具有成長性呢,？改變學(xué)習(xí)方式，促進(jìn)深度學(xué)習(xí),，應(yīng)該是我們努力探索的一條道路,。不管怎樣改革，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革的正確方向,，還是老生常談,，必須堅(jiān)守兒童立場，以兒童可持續(xù)的全面發(fā)展為根本目標(biāo),，在“保護(hù)兒童成長利益”的前提下,，來開展一切教學(xué)活動（包括課內(nèi)的、課外的）,。我們要把眼光放的遠(yuǎn)一點(diǎn),，不能過于只看眼前。如果只看眼前,，一秒鐘把孩子從床上抱下來解決問題了,，但是今后孩子他自己要活動，自己要成長,，他必須要經(jīng)過一次自己不斷地參與實(shí)踐,、嘗試的這樣一個過程，失敗了再來,，不斷的感悟,、不斷積累經(jīng)驗(yàn)，這就是孩子的成長,。我想這也是對孩子成長利益的一個重要的保護(hù),。這幅圖橫坐標(biāo)上寫的是數(shù)學(xué)，我們作為一個數(shù)學(xué)研究者,，作為兒童的數(shù)學(xué)老師,，我們的確要研究數(shù)學(xué)，研究數(shù)學(xué)的本質(zhì)屬性,，要走進(jìn)數(shù)學(xué),。但是我們更要研究的是兒童,，因?yàn)槲覀兊亩ㄎ皇莾和臄?shù)學(xué)老師，我們要把兒童帶進(jìn)數(shù)學(xué)世界,，要讓兒童在數(shù)學(xué)世界里得到成長性的成長,，那我們就要懂兒童，研究他的心理發(fā)展規(guī)律,，研究他的認(rèn)知規(guī)律,，所以在縱軸上我書寫的是兒童，如何把兒童和數(shù)學(xué)教育有機(jī)地結(jié)合,，我們看到第三個軸從頂點(diǎn)伸出來了是教育,，教育是一個復(fù)雜的系統(tǒng)工程，教育的最重要的人物是教師,，我們教師的理念,、情懷、教師的能力,、技術(shù),，都會對兒童產(chǎn)生深刻的影響。因此,，作為教師要對兒童關(guān)愛,、友善，讓孩子們能夠在數(shù)學(xué)世界中感受學(xué)習(xí)的魅力,，學(xué)習(xí)的價(jià)值,，學(xué)習(xí)的力量?！?strong>做心中有人的教育”,，一定是我們必須堅(jiān)守的兒童數(shù)學(xué)教育方向。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革之路大概這么兩條途徑：一個是我們學(xué)科內(nèi)部的一種整合,，也就是我們一直強(qiáng)調(diào)的“深度學(xué)習(xí)”,，我今天要圍繞深度學(xué)習(xí)這個話題，談一談我們學(xué)習(xí)方式的改變,；另外一個途徑,，就是“跨學(xué)科的融合”，就是我們怎樣以數(shù)學(xué)學(xué)科作為一個基礎(chǔ)學(xué)科跨出去與其他學(xué)科進(jìn)行融合,，讓孩子們在一個真實(shí)的任務(wù)解決中,，在主題式的學(xué)習(xí)中，來培養(yǎng)他們的綜合的實(shí)踐能力,、創(chuàng)新意識,。強(qiáng)調(diào)“整合”是從我們學(xué)科內(nèi)部來說的，“深度學(xué)習(xí)”提出了要單元學(xué)習(xí)主題的建立，“單元學(xué)習(xí)主題”就是要進(jìn)行有機(jī)的整合,。也就是要把零散的,、碎片化的數(shù)學(xué)知識來建立起整體化、系統(tǒng)化,、邏輯化的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu),，建好這個“承重墻”,。這個“承重墻”,，當(dāng)然包括核心知識，也依然包括關(guān)鍵能力,，這些都是孩子們成長的“承重墻”,。根據(jù)核心的知識共同擁有的這種本質(zhì)屬性和相同的邏輯關(guān)系，在深度學(xué)習(xí)理念下去確定好每個單元的學(xué)習(xí)主題,，找準(zhǔn)關(guān)鍵能力培育的這個發(fā)力點(diǎn)（就是我們要聚焦哪些核心素養(yǎng)進(jìn)行培育）,，引發(fā)兒童的深度思考和主動探究，促進(jìn)兒童思維進(jìn)階的發(fā)展,，來逐步實(shí)現(xiàn)“深度學(xué)習(xí)”,，這是從數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)部的“整合”。 我們也強(qiáng)調(diào)“融合”（外部）,，就是數(shù)學(xué)學(xué)科與其他學(xué)科的融合,，我們要打破學(xué)科壁壘，站在“育人”的高度來進(jìn)行教學(xué),，使我們的兒童不被單一的學(xué)科的知識體系所束縛,，能夠綜合的運(yùn)用知識來解決實(shí)際生活中的真問題。在教學(xué)中我們可以“任務(wù)驅(qū)動”,，開展這種主題式或者項(xiàng)目式的學(xué)習(xí),，小學(xué)階段更多的還是主題式的學(xué)習(xí)，到了初中,、高中開展項(xiàng)目式的學(xué)習(xí),。開展這種跨學(xué)科綜合實(shí)踐活動，也就讓我們的兒童能夠經(jīng)歷一個完整的解決問題的過程,。在這個過程當(dāng)中,，他們會不斷的發(fā)現(xiàn)、提出問題,，分析,、解決問題，那在參與這種完整的解決問題過程中,，他們還要學(xué)會與人合作,，學(xué)會集體、小組來共同做好規(guī)劃，實(shí)施規(guī)劃和進(jìn)行評價(jià)反思等等,，那么這一系列的活動也就是從未來來適應(yīng)社會發(fā)展的需要,。一、兒童“深度學(xué)習(xí)“的學(xué)習(xí)樣態(tài)“深度學(xué)習(xí)”是在教師指導(dǎo)下引領(lǐng)兒童,，圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題,，使兒童全身心的參與體驗(yàn)成功，獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程,。這里特別談到了“教師指導(dǎo)下”教師的作用是什么,，談到了“挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題”，只有這樣我們的孩子才能有思考的樂趣,，探究的欲望,，能夠全身心的去體驗(yàn)，我也給小學(xué)的數(shù)學(xué)的深度學(xué)習(xí)畫了這樣一個像：1.深度學(xué)習(xí)是一個觸及兒童心靈的學(xué)習(xí)過程,。在這樣的學(xué)習(xí)過程中,，我們能夠看到孩子興趣的萌發(fā)和他們學(xué)習(xí)的自信，他們會在這個過程當(dāng)中獲得一種積極的情感體驗(yàn),，對后續(xù)的學(xué)習(xí)還有期待,。2.深度學(xué)習(xí)是引發(fā)兒童一個主動參與的學(xué)習(xí)過程。不是被動的去接受,，應(yīng)當(dāng)是兒童一個主動參與的學(xué)習(xí)過程,，孩子能夠自覺的想一些問題，有這種自主的意識,。3.深度學(xué)習(xí)是引發(fā)兒童持之以恒的追問和不斷的思考的學(xué)習(xí)過程,。他會在一個“問題鏈”中不斷的來產(chǎn)生新的思考。4.深度學(xué)習(xí)是一個理解性的學(xué)習(xí)過程,。就是要把握住核心概念去理解數(shù)學(xué)的本質(zhì),，能夠用這種聯(lián)系的觀點(diǎn)去分析所學(xué)的學(xué)習(xí)內(nèi)容。5.深度學(xué)習(xí)是單元學(xué)習(xí)主題的建構(gòu)式的學(xué)習(xí)過程,。通過單元學(xué)習(xí)主題的建構(gòu),，來建好核心知識、關(guān)鍵能力的“承重墻”,，同時(shí)溝通知識的關(guān)聯(lián),，打通“隔斷墻”來促進(jìn)他們的深度的理解。6.深度學(xué)習(xí)是跨學(xué)科綜合實(shí)踐的學(xué)習(xí)過程,。以數(shù)學(xué)為出發(fā)點(diǎn),，將數(shù)學(xué)與其他學(xué)科進(jìn)行融合，能夠在一個真實(shí)的問題解決中不斷地去探索,、實(shí)踐來獲得發(fā)展,，來提高孩子們的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。二、把握整體結(jié)構(gòu),，促進(jìn)深度學(xué)習(xí),。——“數(shù)與運(yùn)算”主題教學(xué)“深度學(xué)習(xí)”要“全身心的參與”,，“要有挑戰(zhàn)性的問題”,，要“有主題式的教學(xué)的建構(gòu)”的過程，那么我們就要整體地建立知識結(jié)構(gòu),，來促進(jìn)學(xué)生對問題深入的理解,。下面以“數(shù)與運(yùn)算”這個主題教學(xué)來和大家做一點(diǎn)交流。1.溝通不同數(shù)域之間的聯(lián)系,，感悟數(shù)本質(zhì)的一致性,。我們都知道數(shù)學(xué)是有聯(lián)系的,，數(shù)學(xué)是有結(jié)構(gòu)的,，數(shù)學(xué)知識是系統(tǒng)的，那么這些繁雜的知識中一定會有一些核心的概念,，統(tǒng)領(lǐng)著其他的一些小的知識點(diǎn)和概念,。我們能不能抓住關(guān)鍵問題，舉一反三,，觸類旁通,，綱舉目張，通過對整個結(jié)構(gòu)的建立,，理解他們之間的這種關(guān)系,？怎么去溝通不同數(shù)域之間的聯(lián)系，感悟數(shù)本質(zhì)的一致性呢,？先說一說數(shù),。小學(xué)階段整數(shù)、小數(shù),、分?jǐn)?shù),，不同的數(shù)域（或數(shù)集）所涉及的概念比較集中，像十進(jìn)制,、計(jì)數(shù)單位,、數(shù)位、位值,，能不能從不同的數(shù)域找到共同的數(shù)的本質(zhì)意義呢,？也就是說你不能小數(shù)只講小數(shù)的理，整數(shù)只講整數(shù)的理,，分?jǐn)?shù)講分?jǐn)?shù)的理,，數(shù)本身它是具有一致性的：數(shù)是對數(shù)量的抽象，數(shù)也是對計(jì)數(shù)單位多少的表達(dá)，這是他們的共性,。我們來看看整數(shù),、小數(shù)、分?jǐn)?shù)：324表示的是什么,？在孩子們學(xué)到324的時(shí)候,，在他的頭腦中馬上能反應(yīng)100×3、2x10,、×4,，把這三個積合起來才是324的意義；那3.24呢,？道理亦然,，3個一，2個0.1,，4個0.01之和,。我們把個，十,，百,，千?，0.1,，0.01,，1/10 ，1/100?等統(tǒng)稱為計(jì)數(shù)單位,，比如說3/4,，1/4就是3/4的單位，它是3個1/4之和,，所以說整數(shù),、小數(shù)、分?jǐn)?shù)都是對數(shù)量的抽象,，也是對計(jì)數(shù)單位多少的這樣一個表達(dá),。 我們來看小數(shù)，不管哪個版本的教材在“小數(shù)的意義”這個單元里,，大致都涉及了六方面的內(nèi)容,，也就是6個知識點(diǎn)，我做了一個簡單的梳理,。那么這六個知識點(diǎn)能不能成為一個單元學(xué)習(xí)主題呢,？如果能夠成為一個單元學(xué)習(xí)主題，又是怎樣的核心概念和關(guān)鍵能力統(tǒng)領(lǐng)小數(shù)整個單元的學(xué)習(xí)呢,？這六個知識點(diǎn)有沒有更重要的核心概念呢,？如果有,，它一定是小數(shù)的意義。那小數(shù)的意義是什么,？大家都很熟悉,，分母是10、100,、1000等的分?jǐn)?shù)可以用小數(shù)來表示,，小數(shù)的計(jì)數(shù)單位是0.1，0.01 ,，0.001等,，它也是一個十進(jìn)制。小數(shù)是怎么產(chǎn)生的呢,？我們上課的時(shí)候老師會舉很多生活中的案例,，也會改變學(xué)習(xí)方式，讓孩子們自己動手操作來體會小數(shù)產(chǎn)生的過程,，不斷的對單位進(jìn)行細(xì)化,，不斷的產(chǎn)生新小數(shù)。當(dāng)然我們還可以再開一個口,，反過來還可以從單位的累加來理解小數(shù)的意義,。小數(shù)的讀寫法、小數(shù)點(diǎn)的移動,、小數(shù)的性質(zhì)和大小的比較、小數(shù)與單位的換算,，他們都與計(jì)數(shù)單位有關(guān)系,。我們怎么讓學(xué)生去體會小數(shù)的產(chǎn)生，感受到小數(shù)學(xué)習(xí)的需要,，又通過對小數(shù)的深入的理解來感受小數(shù)的本質(zhì)意義呢,？教學(xué)中有的老師用了這樣的案例，你能說說小明的身高嗎,？1米不到怎么辦呢,？我們怎么樣來表達(dá)他的準(zhǔn)確的身高？看來用這個單位來測量這個小朋友不大合適了,，因此要把它細(xì)化成10個小一點(diǎn)的單位,，一個單位占整個一米的1/10，就是1/10米,，也就是0.1米,，以此類推。在這個過程中,，孩子們體會著十進(jìn)制,，也體會了單位的細(xì)化,。我們再繼續(xù)看小朋友長高了，現(xiàn)在10等份不能夠精確的表達(dá)他的身高,，怎么辦,？又把它繼續(xù)分，分成了100等份,，在不斷的細(xì)化單位的過程當(dāng)中引發(fā)孩子們不斷的思考,。當(dāng)然我們還可以讓孩子們自己分一分，改變學(xué)習(xí)方式就是我們的課堂要讓孩子活動起來,，在動手活動中不斷的去分,、去思考、去討論,，去真正地體驗(yàn)不斷的細(xì)分單位的過程,。再如，在除法的計(jì)算中,，1÷2不能用整數(shù)表示了,，也會用小數(shù)來表示。教學(xué)中老師們常常用不同的方式,，把這個1分成10等份,、分成100等份、分成1000等份,，還可以繼續(xù)分下去,；反過來看，擴(kuò)大10倍變成一個0.01,，0.01擴(kuò)大10倍變成一個0.1 ,；0.1擴(kuò)大10倍變成了1，1再擴(kuò)大10倍就變成了10,，相鄰的兩個計(jì)數(shù)單位間的進(jìn)率是10,。通過這種直觀的圖讓孩子體會數(shù)與數(shù)之間，單位與單位之間的關(guān)系,，那么它的背后是什么呢,？不就是對單位的細(xì)化嗎？細(xì)化成10等份,、100等份,、1000等份、10000等份,。我們學(xué)習(xí)的一位小數(shù),，兩位小數(shù)等，一定在這一群數(shù)中有最重要的數(shù)與眾不同,，0.1,、0.01 ,、0.001?等就是這一群數(shù)中的一個“特殊人物”。如,，0.6就是由6個0.1組成的,，0.66就是由66個0.01組成的。當(dāng)0.66,、0.999出現(xiàn)的時(shí)候,，我們該不該停下來讓學(xué)生進(jìn)行交流和討論呢？兩個6和三個9長得都一樣,，那他們表示的意義一樣嗎,？讓學(xué)生從位值、計(jì)數(shù)單位的意義來深入的理解數(shù)的本質(zhì),。再如,，1很重要，它是整個自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位,，一而十,，十而百，十倍十倍的去翻倍,。在這個過程當(dāng)中無窮無盡,，世界上只有10個數(shù)字，卻可以通過十進(jìn)制演繹成無窮無盡的數(shù),，今天又為學(xué)生打開了一扇窗：從整數(shù)到小數(shù)依然是對“十進(jìn)制”這個核心概念的再理解,，把1分成10等份又有了0.1，以此類推,，0.01 ,、0.001等等沒有盡頭，這是怎樣的一個數(shù)列,？那么，在老師們的腦子里是不是應(yīng)該有1不斷的累加,，不斷的細(xì)分,，把數(shù)進(jìn)行不斷的延展，無限的延展的過程,？整數(shù),、小數(shù)都是十進(jìn)制，渾然一體,。這樣的學(xué)習(xí)主題抓住了核心的要素——“十進(jìn)制,、計(jì)數(shù)單位”。讓孩子們能夠圍繞著不同的內(nèi)容,，多層次,、多角度的進(jìn)行探究,，加深對數(shù)本質(zhì)的理解；而在這個過程當(dāng)中,，讓學(xué)生自己動手操作,，讓學(xué)生多活動，畫一畫,、分一分,，當(dāng)然也離不開學(xué)生的觀察，老師啟發(fā)式地講解,，從而建好這個知識結(jié)構(gòu)的“承重墻”,，溝通不同的內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，來打通小數(shù)和整數(shù)之間的這個“隔斷墻”,。2.以“加法”為核心,，感悟運(yùn)算本質(zhì)的一致性。 剛才我講的是數(shù)本質(zhì)的一致性,，那我們來看看運(yùn)算本質(zhì)的一致性,。以“加法”為核心，在數(shù)的運(yùn)算當(dāng)中,，我們老師不能只是按照一個知識點(diǎn)一個知識點(diǎn)的去教,，孩子按照一個知識點(diǎn)一個知識點(diǎn)的去學(xué)，這樣的教學(xué)會把這些零散的,、碎片化的知識點(diǎn)存在兒童頭腦中,，它沒有結(jié)構(gòu)、沒有系統(tǒng),、沒有邏輯,，會導(dǎo)致什么問題呢？這些碎片化的知識不成系統(tǒng),、凌亂的在孩子們的腦子中,，當(dāng)他在陌生的新情境下要解決問題的時(shí)候，不能很快的產(chǎn)生關(guān)聯(lián),，不能快速的提取腦子中的主要知識,、概念去解決問題，所以孩子心中加是加,，減是減,，乘是乘，除是除,。馬芯蘭教授曾經(jīng)對整個加,、減、乘,、除的運(yùn)算做了有益的嘗試,，她提出以“和”的概念統(tǒng)領(lǐng)整個運(yùn)算過程,，馬芯蘭教學(xué)法也獲得了國家級教學(xué)成果一等獎，前輩們的這些好的經(jīng)驗(yàn)是值得我們很好的分享和學(xué)習(xí),。那么,，我們在數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)中，如何促進(jìn)有效的理解和遷移呢,？如何改變原有的教學(xué)方式,、學(xué)習(xí)方式來幫助學(xué)生進(jìn)行深度的思考呢？馬芯蘭教授在講加,、減,、乘、除意義的時(shí)候就提出來了,，我們不僅僅要知道加,、減、乘,、除分別的意義是什么,，還要把它們建立聯(lián)系。我們的孩子現(xiàn)在能夠列式：“2只小鴨子在河里游,，又游來了3只,，一共是5只”，能理解加法的意義是什么,，這是他一個現(xiàn)實(shí)水平,。但是我們希望能夠把加、減,、乘,、除的關(guān)系幫助學(xué)生講清楚，讓學(xué)生感悟到他們之間的關(guān)聯(lián),。在感悟關(guān)聯(lián)的時(shí)候,，我們一切運(yùn)算又可以從“加法”推演。馬芯蘭教授就講到了以“加法”為核心,，推出了減法,，因?yàn)闇p法就是加法的逆運(yùn)算；又引出了乘法,，因?yàn)槌朔ň褪羌臃ǖ暮啽氵\(yùn)算；那么除法呢,？除法它是乘法的逆運(yùn)算,，做除法的過程也在做的是什么？做的就是減法,。我們所期待的水平是不僅僅要建好加,、減,、乘、除的“承重墻”,，更希望能夠打通加,、減、乘,、除之間的關(guān)系,，讓這個承重墻更有力。數(shù)學(xué)是有邏輯的,，我們今天所說的改變學(xué)習(xí)方式,，就是要把老師教的邏輯改變成學(xué)的邏輯，也就是說,，多給孩子一些機(jī)會,。比如，我們?nèi)雽W(xué)不久的兒童將要學(xué)習(xí)簡單的加法“7 3”,，我們可以在這個數(shù)線模型上讓學(xué)生自己動手去數(shù)一數(shù),，一個一個的單位的往上加；“7-2”呢,，一個一個單位的往回減,。一個一個的向前數(shù)，這不就是“1”這個單位的不斷的累加過程嗎,？一個一個的往回?cái)?shù),，也是這個單位不斷的往回減的過程。那么乘法呢,？“4×3”不就是一群一群的往前數(shù)嗎,？4個1為一群。那么反過去除法呢,？18÷5是5個5個的往回減,，最后剩了3。在這個數(shù)線模型上,，我們看到了加法和減法的“互逆”的關(guān)系,，乘法和除法呢，依然有這樣的“逆運(yùn)算”的關(guān)系,。像這些能不能讓孩子自己體驗(yàn)體驗(yàn)?zāi)?？讓孩子講“7 3”的故事、“7-2”的故事,、“4×3”的故事,、“18÷5”的故事，在故事中去理解到加、減,、乘,、除之間重要的關(guān)系，以“加法”為核心,，引發(fā)出加,、減、乘,、除之間的關(guān)系,。有了這種單元學(xué)習(xí)主題，你的教學(xué)方法就要不斷的改變,，我覺得應(yīng)當(dāng)給學(xué)生一些探索的空間,，讓學(xué)生不僅僅分別清楚他們的本質(zhì)意義，更要打通這個隔斷墻,，知道他們的逆運(yùn)算的關(guān)系,，知道他們之間的重要的關(guān)聯(lián)，這樣的學(xué)習(xí)可以讓學(xué)生深刻的理解他們的本質(zhì)意義,。談到關(guān)系,，我們來看。加法模型：部分 部分=整體,；乘法模型：每份數(shù)x份數(shù)=總數(shù),。當(dāng)然在乘法模型里，我們現(xiàn)在主要講的是單價(jià),，數(shù)量和總價(jià)這個模型,，還有速度、時(shí)間和路程這個模型,。有了這樣的一個基本的框架,，你再帶領(lǐng)孩子們不斷探索：若干個不同的部分合成一個整體，從整體減去一部分不就等于另一部分嗎,？若干個相同的部分也可以走向整體,，就是一群一群地往上累加，有了乘法,；往回走,，又有了除法。過去我們講的11種簡單類型的應(yīng)用題,，實(shí)際上是我們今天作為數(shù)量關(guān)系的一個主題,，我們不是在題型上的訓(xùn)練，而是讓學(xué)生能夠有這樣的結(jié)構(gòu)：從“和”出發(fā),，把這一組組的關(guān)系,，通過讓孩子們在解決真實(shí)的問題當(dāng)中把它總結(jié)出來,，在這個過程當(dāng)中理解數(shù)量之間的關(guān)系，以核心概念形成一個比較完整的數(shù)學(xué)知識體系,，建立一種結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)思維，這樣對學(xué)生未來的數(shù)學(xué)發(fā)展很重要,。這個過程其實(shí)就是一個兒童“結(jié)構(gòu)化的思維”的培養(yǎng)過程,。學(xué)生學(xué)習(xí)方法怎么去改變，老師設(shè)計(jì)一些問題,，也讓學(xué)生提出一些問題,，比如說讓他們產(chǎn)生一些問題之后進(jìn)行辯論、反思,，來明確數(shù)學(xué)的本質(zhì),，來理解體會運(yùn)算本質(zhì)具有一致性的，他們之間是有關(guān)聯(lián)的,，從而培養(yǎng)孩子一種推理能力,、運(yùn)算能力、創(chuàng)新能力等,。再看整數(shù)加減法,，小數(shù)加減法，分?jǐn)?shù)加減法,，我們在做豎式的時(shí)候,，形式是不一樣的，整數(shù)強(qiáng)調(diào)“末尾對齊”,，小數(shù)強(qiáng)調(diào)“小數(shù)點(diǎn)對齊”,，分?jǐn)?shù)強(qiáng)調(diào)要先“通分”，它們有共同的本質(zhì)特征嗎,？它們的運(yùn)算本質(zhì)是一致的,，都是要找到相同的單位進(jìn)行累加。那么找到了相同的單位進(jìn)行加或者減,，就要讓學(xué)生去理解他們的關(guān)系,。正確的理解運(yùn)算之間的關(guān)系，是學(xué)習(xí)四則運(yùn)算的重要基礎(chǔ),，同時(shí)更是以數(shù)量關(guān)系這樣的主題來進(jìn)行解決問題的重要的依據(jù),。我們再看，整數(shù)乘除法,、小數(shù)乘除法,、分?jǐn)?shù)乘除法之間有關(guān)聯(lián)嗎？改變學(xué)習(xí)方式,，就要讓學(xué)生在這樣的學(xué)習(xí)主題當(dāng)中獲得結(jié)構(gòu)化的思維,，能夠整體的去看這些零散的、碎片化的知識。我們來看看這個例子：不管是整數(shù),、小數(shù),、還是分?jǐn)?shù)，他們都與計(jì)數(shù)單位有關(guān),。整數(shù)除法中9個10平均分成4份,，每份是兩個10，那么剩下一個10怎么辦,？得不到整十了,，就把它細(xì)化成10個一繼續(xù)分呀。但是在整數(shù)的除法學(xué)習(xí)中,，我們就到這兒止住了,。有經(jīng)驗(yàn)的老師會在這里再開一扇窗：不知道未來的學(xué)習(xí)中，我們能不能對這個“1”繼續(xù)分呢,？拓展到后續(xù)學(xué)習(xí)的聯(lián)系,，就到了小數(shù)除法了。大家看一看小數(shù)除法中“17-16”余的這個1怎么辦,？化成了10個0.1,，繼續(xù)分；分4個0.2后還余下2個0.1,，又繼續(xù)分,。整數(shù)除法和小數(shù)除法道理完全是一樣的，本質(zhì)特征都是“十進(jìn)制”,，都是把單位不斷的在進(jìn)行等分,，當(dāng)?shù)貌坏秸麄€的這樣多少個單位的時(shí)候，我們就細(xì)化成下一個等份繼續(xù)分,。分?jǐn)?shù)除法也依然,，舉一個最簡單的例子，1/2÷3,，不就是求它的1/3嗎,？我們看看1/2的1/3，讓學(xué)生自己動手畫一畫,，通過畫圖,、折紙，讓他們進(jìn)行討論,、質(zhì)疑,，得到的是多少呢？是1/6,，把1/2張長方形紙平均分成3份,，每份就是這張長方形紙的1/6,。從最簡單的除法開始都與計(jì)數(shù)單位是有關(guān)系的，特別是整數(shù)除法和小數(shù)除法“十進(jìn)制”之間的這樣一種關(guān)系,。在小數(shù)意義中我們對“數(shù)位”,、“位值”、“計(jì)數(shù)單位”這些核心概念的深入理解,。如果在當(dāng)時(shí),，有些同學(xué)對小數(shù)的意義理解還不夠，程度上還不夠深入,，那么你在講小數(shù)加減法的時(shí)候，再等一等這些小朋友,，讓他們在這里再一次理解小數(shù)的意義,，知道數(shù)意義和數(shù)運(yùn)算是相輔相成，相互依賴的,，打通數(shù)與運(yùn)算之間的“隔斷墻”,，建好數(shù)意義與數(shù)運(yùn)算的“承重墻”。整數(shù),、小數(shù),、分?jǐn)?shù)具體的豎式的計(jì)算形式不完全一樣，本質(zhì)也是一樣的,，也都是要調(diào)相同的單位上的那個數(shù)去相加或相減,，同時(shí)我們看到運(yùn)算與小數(shù)意義、整數(shù)意義也是有關(guān)聯(lián)的,，整數(shù)除法和小數(shù)除法是有關(guān)聯(lián)的,，運(yùn)算和解決問題又是有關(guān)聯(lián)的，這一個個核心知識,，通過他們的核心的概念組建成了知識群,、知識團(tuán)，構(gòu)建了一個完整的知識網(wǎng),，這樣的學(xué)習(xí)有助于孩子們的理解,。我們有了這些觀點(diǎn)之后，我們就要有這種單元學(xué)習(xí)主題建構(gòu)的教學(xué)方式,，讓孩子們在這種方式當(dāng)中獲得思考和學(xué)習(xí),。有了這種整體的把握，學(xué)生獲得的知識不是散點(diǎn),，而是有聯(lián)系的知識網(wǎng),。建立了這樣的知識的結(jié)構(gòu)，能夠以單元學(xué)習(xí)主題的視角去思考兒童的學(xué)習(xí),，它是圍繞著核心概念,、關(guān)鍵能力組建成了知識團(tuán),、知識群的探索的過程，它的知識的整體結(jié)構(gòu)是相互融通的,，所以我們經(jīng)常說舉一反三,，觸類旁通，綱舉目張就是這個道理,。這樣的學(xué)習(xí)能夠更長久地幫助學(xué)生記憶信息,，還可以更深入的理解數(shù)學(xué)概念，更有效的解決問題,。因?yàn)樗^腦中的概念是有序的排列,，在面對陌生問題的時(shí)候，他可以有序地提取數(shù)學(xué)知識的概念而進(jìn)行快速的進(jìn)行問題解決,。通過這樣的學(xué)習(xí),，不斷的促進(jìn)孩子們的理解性的學(xué)習(xí)、結(jié)構(gòu)性思維的培養(yǎng),，這種結(jié)構(gòu)彰顯了數(shù)學(xué)知識的豐富的聯(lián)系,。學(xué)習(xí)方式的改變，如果我們還是老師講,、學(xué)生聽,，一個知識點(diǎn)的這樣去講完，學(xué)生不可能融會貫通,。以“統(tǒng)計(jì)與概率”為例：“統(tǒng)計(jì)與概率”是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)領(lǐng)域之一,，我認(rèn)為它屬于核心知識，尤其是在大數(shù)據(jù)的時(shí)代,，統(tǒng)計(jì)與概率的學(xué)習(xí)價(jià)值更加凸顯出來,。主要內(nèi)容無非是這幾種：分類、統(tǒng)計(jì)圖表,，統(tǒng)計(jì)量,，概率，過去只是把平均數(shù)作為統(tǒng)計(jì)量,，現(xiàn)在通過和專家們的討論,，這些專家們站在數(shù)學(xué)本質(zhì)的角度，把百分?jǐn)?shù)也是作為一個重要的統(tǒng)計(jì)量,。數(shù)據(jù)的收集,、整理和表達(dá)包括了這么多的內(nèi)容，要干什么,？就是要讓學(xué)生去感受現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的數(shù)據(jù),，其中蘊(yùn)含著很有價(jià)值的信息,，我們能不能有效的提取，知道這些統(tǒng)計(jì)圖表,、統(tǒng)計(jì)量都是可以呈現(xiàn)和刻畫這些信息的重要的數(shù)據(jù),，來形成數(shù)據(jù)的意識。如果我們還是坐在那里出一個統(tǒng)計(jì)圖,，怎么畫,，怎么做，做的很精致,，甚至老師講學(xué)生就在那兒不斷的各種各樣的涂出來,，這是不行的。我們必須要改變學(xué)習(xí)方式,，讓孩子們真正的去做一些調(diào)研,，要想發(fā)展孩子的數(shù)據(jù)意識，這個過程是漫長的,，我們不指著一節(jié)課或者幾節(jié)課把整個統(tǒng)計(jì)的教學(xué)完成，那是不可能的,。收集數(shù)據(jù)你不改變學(xué)習(xí)方式行嗎,？這些數(shù)據(jù)不是老師拿來放在黑板上我們分析分析就得了，許多的事情是需要孩子們自己在生活中去完成的,，需要解決什么問題,，他們自己要找到真實(shí)的任務(wù)情境，找到這個真實(shí)的任務(wù),，然后根據(jù)這個任務(wù)來設(shè)計(jì)解決問題的方案和規(guī)劃,，在規(guī)劃中他們必須要親自調(diào)查研究、收集數(shù)據(jù),、整理數(shù)據(jù),，在整理的過程當(dāng)中來對數(shù)據(jù)產(chǎn)生新的認(rèn)識，這些老師和家長都是不能替代的,。比如說數(shù)據(jù),，在分析數(shù)據(jù)的時(shí)候，它的趨勢,、關(guān)系,、預(yù)測、推斷及如何進(jìn)行問題解決,，都是需要孩子們在真實(shí)情境中去體驗(yàn)的,。所以統(tǒng)計(jì)與概率，我們不能僅僅是在課堂上一塊黑板,、一只粉筆,，甚至加幾個演示文稿就解決的問題,，改變學(xué)習(xí)方式，就是要讓孩子們在真實(shí)的任務(wù)當(dāng)中去經(jīng)歷一個收集,、整理數(shù)據(jù)的真實(shí)的過程,，來培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力。在這里我重點(diǎn)講我們怎么進(jìn)行“平均數(shù)”和“百分?jǐn)?shù)”的教學(xué),。對平均數(shù)的教學(xué),，我們要多維一點(diǎn)的理解。孩子們說平均數(shù)就是除法,，不對嗎,？平均數(shù)的本質(zhì)是除法呀，我們把一個一個的數(shù)整合在一起,，然后去除以相對應(yīng)的份數(shù),，它就是除法。平均數(shù)的本質(zhì)具有代表性,，它是一種集中趨勢的刻畫,；平均數(shù)具有取值范圍，它會在最大值和最小值之間,；平均數(shù)容易受極值的影響,，具有敏感性；平均數(shù)還可以通過小樣本來推測大樣本,，像這些平均數(shù)豐富的意義,，具有統(tǒng)計(jì)價(jià)值的統(tǒng)計(jì)量。我們怎么讓孩子在學(xué)習(xí)中得到感悟呢,？比如說學(xué)生學(xué)習(xí)平均數(shù)的產(chǎn)生,，小組比賽跳繩也好，拍球也好,，哪個組水平高,？人數(shù)不一樣了，還用總數(shù)來進(jìn)行比較顯然不合適,，因此有了平均數(shù),。再如平均數(shù)具有代表性，第1組2號同學(xué),，他跳了92個,，平均也是92，這兩個92一樣嗎,？這個問題孩子挺扎心的,，明明都是92，為什么它代表的意義不一樣呢？我們就是通過這樣讓他去感受平均數(shù)具有代表性,，一個是代表個人的,，一個是代表整體的（這個小組的），是多的少的均勻之后得到的,，雖然都是92分,，它的意義是不同的。我們再通過對平均數(shù)的分析來感受它的趨中性（就是它是一種集中趨勢的表達(dá)刻畫）,，它在最大和最小值之間,。如，這個92,，一定有人跳的比92多,，也有的低于92，是均勻以后得到了它,。怎么去感受平均數(shù)也具有這樣一種隨機(jī)性呢,？比如說，把第2組再增加一位同學(xué),，這時(shí)候的平均成績會不會一定比第1組的平均成績高呢,？這個數(shù)是隨機(jī)性的，如果他跳的很多,，平均數(shù)也可以繼續(xù)提升,，如果他跳的比較少，平均數(shù)就會降下來,。再如平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義。在今年的2021年1月18日的《人民日報(bào)》報(bào)道了這樣一個事件,，就是“300顆星的故事”,，把300顆星做一個分段統(tǒng)計(jì)的時(shí)候，我們清晰的發(fā)現(xiàn)第3個100顆星只用了3年的時(shí)間,，那平均一年就能發(fā)射30多顆星,，把這三個平均數(shù)再進(jìn)行比較分析的時(shí)候，我們可以更加直觀的理解到數(shù)據(jù)的變化趨勢與程度,，來感悟我國航天事業(yè)的加速發(fā)展,。通過分段的平均數(shù)和把50年發(fā)射的300顆星求個平均數(shù)，這個意義價(jià)值的比較進(jìn)一步感受到平均數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義,。決定平均數(shù)值大小的是兩個因素：總數(shù)量和總份數(shù),，當(dāng)總數(shù)量和總份數(shù)不相同的時(shí)候，我們不能只看其中的一個因素,。如,，中國的淡水資源是全世界的第4位，但是一到人均水資源,，我們一下子跑到了121位,，什么是人均水資源,？怎么去體會這個平均數(shù)的意義呢？我想都可以讓孩子們通過閱讀資料來理解,。
大家知道生活中的百分?jǐn)?shù),，包括稅率、利率等等,，原有的百分?jǐn)?shù)意義我們保留,，這里我重點(diǎn)講百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)意義。百分?jǐn)?shù)是對隨機(jī)現(xiàn)象刻畫和表達(dá),，怎么讓學(xué)生去理解,？我舉這樣一個案例：1號2號兩位同學(xué)套圈，誰套圈的水平高,？我們要經(jīng)過比一比,，我們只給出套中的次數(shù)，你是9,，我是5,，無法比。我們再給出套圈的總次數(shù),，有了它就可以通過通分去比較出他們誰套圈的套中率高,。這個過程通過通分來找到統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，從無法比較到尋求新的數(shù)量（套圈總次數(shù)）找到他們之間的關(guān)系進(jìn)行比較,。再給出一些數(shù)據(jù)（3號,、4號），現(xiàn)在你還能統(tǒng)一到分母是20進(jìn)行比較嗎,？ 顯然不合適,，那這一次又進(jìn)行了通分，又找到了比較的辦法,，通過自主嘗試,，感受到單位統(tǒng)一的重要，不斷的去討論,，最終找到這個百分?jǐn)?shù)（以分母100）來作為一個標(biāo)準(zhǔn)更合適,。現(xiàn)在他們已經(jīng)有了一個基本的排位，如果這4人再重新組織一次這樣的套圈比賽,，名次會有變化嗎,？你能繼續(xù)來關(guān)注他們的比賽結(jié)果嗎？體會百分?jǐn)?shù)是對隨機(jī)現(xiàn)象刻畫的過程,。在百分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)過程中,，我們還可以像降水概率、手機(jī)的充電量等生活中多個這樣的實(shí)例來體會百分?jǐn)?shù)這4個重要的節(jié)點(diǎn)對判斷事物的決策作用，這些都可以在生活中去體驗(yàn),、去感受,。另外，我們還可以通過設(shè)計(jì)學(xué)生參與的實(shí)踐活動,，比如說二年級學(xué)生定踢鍵子標(biāo)準(zhǔn),，怎么就達(dá)標(biāo)呢？100個人也好,，200個人也好,，讓他們自己去收集數(shù)據(jù)，自己去實(shí)踐,，然后看一看多數(shù)的人能達(dá)到一個什么水平來定好這個標(biāo)準(zhǔn),，如果75%左右的人都能達(dá)到一定數(shù)量的標(biāo)準(zhǔn)，那可不可以把這個數(shù)量作為二年級學(xué)生踢鍵子的一個基本標(biāo)準(zhǔn)呢,？那25%沒達(dá)到,，我想他通過努力也是可以達(dá)到的。就是通過來制定一些標(biāo)準(zhǔn),，通過這樣的小樣本來推算來推測這些大樣本,，體現(xiàn)百分?jǐn)?shù)的統(tǒng)計(jì)價(jià)值，百分?jǐn)?shù)是數(shù)量之間的倍比關(guān)系的,。今天我們從統(tǒng)計(jì)意義這個角度來說,，就是從統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)價(jià)值的思考,，它能夠體現(xiàn)對隨機(jī)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,。最典型的是GDP，GDP的年增長是隨機(jī)的,，對于一個國家增長情況的判斷,，不能只用一個簡單的數(shù)量來進(jìn)行表達(dá)，因?yàn)槊總€國家的體量大小不一樣,，它就要找到它們之間的重要的比的關(guān)系，那么百分?jǐn)?shù)在這里發(fā)揮了重要的作用,，它可以有一個這樣的標(biāo)準(zhǔn),，這樣的一把尺子來進(jìn)行比較。改變學(xué)習(xí)方式,，促進(jìn)孩子們的深度學(xué)習(xí),，在“統(tǒng)計(jì)”教學(xué)當(dāng)中我們需要學(xué)生做一些真實(shí)的調(diào)研，需要他們對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析整理,；在“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)當(dāng)中,，他們可以讓他們自己親自畫一畫，來做一些小組的合作學(xué)習(xí)、對話交流,，通過這種學(xué)習(xí)方式的改變,，讓他們能夠?qū)?shù)學(xué)的本質(zhì)理解；通過在挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)活動中,，讓他們不斷的發(fā)現(xiàn),、提出問題并進(jìn)而積極的解決問題，在這個過程中去感受數(shù)學(xué)的魅力,，數(shù)學(xué)的價(jià)值,，數(shù)學(xué)的力量，那么從而喚起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣,、信心和積極的情感體驗(yàn),，讓他們對未來的學(xué)習(xí)更有期待，從而更加熱愛數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),，不斷的實(shí)現(xiàn)每個孩子自身的成長性的成長,。感謝： 中國教育學(xué)會小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會
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