返樸 

關(guān)注返樸（ID：fanpu2019）,閱讀更多！6小時前

一個物理系統(tǒng)中的相變可以是連續(xù)的，如鐵磁相變,，或者是不連續(xù)的,，如氣液相變。一個連續(xù)相變點的長程性質(zhì)可以有比原系統(tǒng)更高的對稱性,，這被稱之為演生對稱,。如果原系統(tǒng)沒有連續(xù)旋轉(zhuǎn)對稱性，只有180度旋轉(zhuǎn)對稱性,，那么連續(xù)相變點也只有180度旋轉(zhuǎn)對稱性?？扇绻到y(tǒng)有90度旋轉(zhuǎn)對稱性,，那么連續(xù)相變點就有可能有更大的連續(xù)旋轉(zhuǎn)對稱性。我們對連續(xù)相變點的演生對稱性有很好的物理理解,，但數(shù)學上的嚴格證明還是很困難的,。今天這篇文章介紹了這方面的一個最新進展。

——文小剛

撰文 | 潘佳棟

審校 | 劉培源

50多年來,，數(shù)學家一直在尋找一種嚴謹?shù)姆椒▉碜C明對稱性在物理系統(tǒng)從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)時是普遍存在的,。被稱為共形不變性（conformal invariance）的對稱性，實際上包含三個獨立的對稱性,。

現(xiàn)在,，在2020年12月發(fā)布的證明[1]中，一個由五名數(shù)學家組成的團隊更接近證明出共形不變性是物理系統(tǒng)在相變時的必要特征,。這項工作確定了旋轉(zhuǎn)不變性（共形不變性中三個對稱性之一）存在于各種物理系統(tǒng)的相變邊緣上,。

以色列魏茨曼科學研究所的加迪·科茲馬（Gady Kozma）[2]說：“這是一項重大貢獻，它已經(jīng)發(fā)布了很長時間,?！?/p>

圖1：通過多孔介質(zhì)的滲流模型，與最近關(guān)于相變對稱性的重要工作有關(guān),。

旋轉(zhuǎn)不變性是圓表現(xiàn)出的對稱性,。將圓旋轉(zhuǎn)任意度數(shù)，它看起來都一樣,。這意味著在處于相變邊緣的物理系統(tǒng)中,，無論系統(tǒng)模型如何旋轉(zhuǎn)，系統(tǒng)都可以表現(xiàn)出一些相同的屬性,。

早期的結(jié)果已經(jīng)證明旋轉(zhuǎn)不變性適用于兩個特定模型,，但他們的方法不夠靈活，無法應用于其他模型,。 新的證明標志著旋轉(zhuǎn)不變性是一系列模型中的普遍現(xiàn)象,。

法國高等科學研究所 (IHES) 和日內(nèi)瓦大學的雨果·杜米尼爾·科平（Hugo Duminil-Copin）[3]說：“這種普遍性結(jié)果更加有趣”，因為這意味著無論物理系統(tǒng)模型之間有什么差異,，都會出現(xiàn)相同的現(xiàn)象,。

杜米尼爾·科平與里昂高等師范學院的卡羅爾·卡杰坦·科茲洛夫斯基（Karol Kajetan Kozlowski）[4],、日內(nèi)瓦大學的德米特里·克拉春（Dmitry Krachun）、弗里堡大學的伊昂·馬諾萊斯庫（Ioan Manolescu）[5]以及IHES和巴黎薩克雷大學的Mendes Oulamara[6]是這項工作的合作者,。

這項新工作帶來了新的希望,，數(shù)學家們可能正在接近一個更加宏大的結(jié)果：這些物理模型是共形不變的。 在過去的幾十年里,，數(shù)學家已經(jīng)證明了共形不變性適用于一些特定的模型,，但他們一直無法證明它適用于所有模型。這個新的證明為獲得全面的結(jié)果奠定了基礎(chǔ),。

日內(nèi)瓦大學的斯坦尼斯拉夫·斯米爾諾夫（Stanislav Smirnov）[7]說：“這是一個非常大的突破,，共形不變性現(xiàn)在看起來觸手可及?！?/p>

1. 神奇的時刻

一種狀態(tài)和另一種狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換是自然界中一些最令人著迷的事件,。 有些是突然的，比如水加熱成蒸汽或冷卻成冰時的轉(zhuǎn)變,。其他的,，比如在新工作中研究的相變，它在兩種狀態(tài)之間有一個模糊的邊界,。正是在這些臨界點,，系統(tǒng)處在過渡狀態(tài)。

數(shù)學家們試圖用簡化的模型來抑制這種現(xiàn)象,。

舉個例子,，當你加熱鐵時，當它超過一定溫度,，它會失去磁性,。這種變化發(fā)生在數(shù)以百萬計的原子作為微型磁鐵翻轉(zhuǎn)并且不再與它們鄰居的磁性位置對齊時。大約1000華氏度,，熱效應獲得勝利,，磁鐵就變成了一塊金屬。

數(shù)學家用伊辛模型[8]研究這個過程,。它將一個鐵塊想象成一個二維方形格子,，很像一張方格紙上的網(wǎng)格。 該模型將鐵原子置于晶格線的交點處,，并將它們表示為向上或向下的箭頭,。

伊辛模型在1950年代被廣泛用作表示臨界點附近物理系統(tǒng)的工具。這包括失去磁性的金屬,、空氣中的汽液轉(zhuǎn)變和金屬有序和無序之間的轉(zhuǎn)換,。這些都是不同類型的系統(tǒng)，它們在微觀層面上以不同的方式運行。

然后,，在1970年,，年輕的物理學家亞歷山大·波利亞科夫（ Alexander Polyakov）[9]預測[10]，盡管這些系統(tǒng)存在明顯差異,，但這些系統(tǒng)在其臨界點都表現(xiàn)出共形不變性,。經(jīng)過數(shù)十年的分析，物理學家相信波利亞科夫是對的,，但是數(shù)學家們面對著嚴格證明的艱巨工作,。

2. 對稱性的對稱性

共形不變性由三種類型的對稱性組成，它們共同組成一種更廣泛的對稱性,。研究人員可以移動物體（平移對稱）,，將它們旋轉(zhuǎn)任意度數(shù)（旋轉(zhuǎn)對稱），或更改它們的大?。硕葘ΨQ），所有這些都不會改變它們的任何角度,。

杜米尼爾·科平（Duminil-Copin）說：“對于共形不變性,，有時我稱之為'統(tǒng)治對稱性的對稱性’，這是因為它是一種整體對稱性,，比其他三種對稱性更強,。”

共形不變性以更微妙的方式出現(xiàn)在物理模型中,。在伊辛模型中,，當磁性仍然完整且尚未發(fā)生相變時，大多數(shù)箭頭的指向可以形成巨大的原子團,。 還有一些小原子團,，其中所有箭頭都指向下方。但是在臨界溫度下,，原子可以以更遠的距離相互影響,。在臨界點，各處的原子排列都變得不穩(wěn)定：大小不一,、箭頭朝上或朝下的原子團同時出現(xiàn),，磁性臨近消失。

圖2：系統(tǒng)發(fā)生相變前和發(fā)生相變后,。圖中不同的顏色表示不同的磁場方向,。大多數(shù)原子排列按磁場方向?qū)R，并且此時格點并非共形不變的：發(fā)生相變前和發(fā)生相變后的具有相同磁場方向的原子團的大小不同,。

圖3：系統(tǒng)發(fā)生相變過程中,。原子迅速改變它的磁場方向，網(wǎng)格具有共形不變性：前面和后面的具有相同磁場方向的原子團大小相同。

在這個臨界點,，數(shù)學家觀察模型并研究箭頭之間的相關(guān)性,，這表示了給定一對格點指向同一方向的可能性。在此設(shè)置中,，共形不變性意味著可以平移,、旋轉(zhuǎn)和縮放網(wǎng)格，而不會改變這些相關(guān)性,。也就是說,，如果兩個箭頭有50%的機會指向同一方向，然后使用這些對稱性,，那么在晶格中占據(jù)相同位置的箭頭也有50%的機會對齊,。

結(jié)果是，如果將原始晶格模型與變換后晶格模型進行比較,，將無法分辨原來的和新的模型,。重要的是，相變之前的伊辛模型并不是這樣的,。在那里,，如果將格子的頂角調(diào)整為與原始大小相同的大小，這將增加向下箭頭原子團的大小,，從而很明顯得到哪個格子是原來的,。

共形不變性具有直接的物理意義：它表明即使調(diào)整物質(zhì)的微觀細節(jié)，系統(tǒng)的全局行為也不會改變,。 它還暗示了某種優(yōu)雅的數(shù)學,，就像整個系統(tǒng)正在打破其總體形式并成為其他東西一樣。

3. 第一個證明

2001 年,，斯米爾諾夫提出了物理模型中共形不變性的第一個嚴格數(shù)學證明[11],。 它適用于滲流模型，即液體在多孔介質(zhì)（如石頭）中穿過的過程,。

斯米爾諾夫研究了三角形格子上的滲透,，其中水只能流過“開放”的頂點。最初,，每個頂點對水流開放的概率相同,。 當概率較低時，水流穿過石頭的可能性較低,。

但是隨著研究人員慢慢增加概率,，會出現(xiàn)一個點，有足夠多的頂點打開以創(chuàng)建穿越石頭的第一條路徑,。斯米爾諾夫證明,，在臨界點處,，三角形晶格是共形不變的，這意味著無論如何使用共形對稱對其進行變換,，都會發(fā)生滲流,。

五年后，斯米爾諾夫在2006年的國際數(shù)學家大會上宣布他證明了共形不變性[12],，這一次是在伊辛模型中,。結(jié)合他2001年的證明，這項工作為他贏得了數(shù)學界的最高榮譽“菲爾茲獎”,。

從那以后的幾年里,，研究人員提出了一些其他證明，為一些特定模型建立了共形不變性,，但是沒有人能夠證明波利亞科夫所設(shè)想的共形不變性的普遍性,。

紐約大學阿布扎比分校的數(shù)學物理學家費德里科·卡米亞（Federico Camia）[13]說：“之前的證明是針對特定模型的。你需要有一個非常具體的工具來證明一個非常具體的模型,?！?/p>

斯米爾諾夫本人承認，他的兩個證明都依賴于他使用的兩個模型中存在但通常不可用的某種“魔法”,。他說,，“這項新工作是第一個打破這種模式的工作——它證明了旋轉(zhuǎn)不變性，這是共形不變性的核心特征,，在物理模型中廣泛存在?！?/p>

4. 一次一個

杜米尼爾·科平在2000年代后期首次開始考慮證明共形不變性的普遍性,，他當時還是斯米爾諾夫在日內(nèi)瓦大學的研究生。 他對導師證明的輝煌以及他們的局限性有著獨特的理解,。 斯米爾諾夫繞過了分別證明所有三個對稱性的需要,，而是找到了建立共形不變性的直接途徑——就像通往山頂?shù)慕輳揭粯印?/p>

“他是一個了不起的問題解決者。 他在這座巨大的山上找到入口,，證明了兩種統(tǒng)計物理學模型的共形不變性,，就像他經(jīng)過難點一樣?！倍琶啄釥枴た破秸f,。

在研究生畢業(yè)后的幾年里，杜米尼爾·科平致力于提出新的證明,。當他和他的合作者開始認真研究共形不變性時,，他們已經(jīng)準備好采用與斯米爾諾夫不同的方法。他們沒有用魔法冒險,，而是回到了波利亞科夫和后來的物理學家提出的共形不變性的最初假設(shè),。

圖4：法國高等科學研究所和日內(nèi)瓦大學的杜米尼爾·科平和他的合作者正在采用一次一個對稱的方法來證明共形不變性的普遍性,。

物理學家需要分三個步驟進行證明，共性不變性都存在對稱性：平移不變性,、旋轉(zhuǎn)不變性和標度不變性,，分別證明它們中的每一個就會得到共形不變性?？紤]到這一點,，研究人員首先著手證明標度不變性，他們認為旋轉(zhuǎn)不變性將是最困難的對稱性,。在嘗試時,，他們認識到他們可以證明在方形和矩形網(wǎng)格上的各種滲流模型的臨界點存在旋轉(zhuǎn)不變性。

他們使用了概率論中概率耦合（coupling）的方法,，該方法可以直接比較方形晶格與旋轉(zhuǎn)矩形晶格的大規(guī)模演化行為,。 通過將這種方法與另一個稱為可積系統(tǒng)領(lǐng)域的思想相結(jié)合，該領(lǐng)域研究演化系統(tǒng)中的隱藏結(jié)構(gòu),，他們能夠證明模型中相變點的行為是相同的——從而建立旋轉(zhuǎn)不變性,。之后他們證明了他們的結(jié)果可以擴展到其他物理模型。

最終結(jié)果證明了旋轉(zhuǎn)不變性是二維模型的普遍屬性,。他們工作的成功表明,，融合不同數(shù)學領(lǐng)域的類似方法對于在共形不變性方面取得進一步的研究進展是必要的。

“我認為,，在共形不變性的論證和相變研究中,，你需要一點點證明。你不能只從一個角度來證明它,?！倍琶啄釥枴た破秸f。

5. 最后的步驟

自斯米爾諾夫2001年的證明以來,，數(shù)學家第一次對證明共形不變性的普遍性有了新的認識,。 與早期的工作不同，這個新結(jié)果開辟了新的方法,。通過使用遵循自下而上的方法,，他們希望一次證明一個組成部分的對稱性。

現(xiàn)在,，隨著旋轉(zhuǎn)不變性被證明,，杜米尼爾·科平和他的同事們將目光投向了標度不變性，這是他們最初的目標,?？紤]到最近關(guān)于旋轉(zhuǎn)對稱的工作，標度不變性的證明將使數(shù)學家處于證明完全共形不變性的時刻,，證明方法的靈活性使研究人員對其感到樂觀,。

“我認為第三步很快就會被證明,，”杜米尼爾·科平說?！叭绻皇俏覀?，那就是更聰明的人，但我可以肯定這很快就會發(fā)生,?！比欢D(zhuǎn)不變性的證明耗費了五年時間,，所以下一個結(jié)果可能還需要一些時間,。 盡管如此，斯米爾諾夫還是希望共形不變性最終可以被證明,。斯米爾諾夫說：“這可能需要一周時間,，也可能需要五年，但我比11月時樂觀得多,?！?/p>

參考文獻

[1]https:///abs/2012.11672

[2]http://www.wisdom./profile/scientists/kozma-profile.html

[3]https://www./en/professeur/hugo-duminil-copin-2/

[4]http://www./PHYSIQUE/presentation/annuaire/kozlowski-karol

[5]https://homeweb./manolesc/Pub/

[6]https://www./~oulamara/

[7]http://www./~smirnov/

[8]https://www./the-cartoon-picture-of-magnets-that-has-transformed-science-20200624/

[9]https://phy./people/alexander-polyakov

[10]http:///cgi-bin/articles/download.cgi/1737/article_26381.pdf

[11]https:///abs/0909.4499

[12]https://www./~smirnov/papers/icm-publ.pdf

[13]https://nyuad./en/academics/divisions/science/faculty/federico-camia.html

本文經(jīng)授權(quán)轉(zhuǎn)載自微信公眾號“集智俱樂部”，原標題為《數(shù)學家證明相變的對稱性：從旋轉(zhuǎn)對稱性到標度不變性》,。原文鏈接：

https://www./mathematicians-prove-symmetry-of-phase-transitions-20210708/