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傳奇數(shù)學家康威,生命游戲的創(chuàng)造者,,最偉大的數(shù)學玩家

 老胡說科學 2021-05-12

2020年4月11日,,約翰·霍頓·康威因新冠病逝,,享年82歲。這位杰出的數(shù)學家的研究領域包括群論,、扭結理論,、幾何、分析,、組合博弈論,、代數(shù)、算法,,甚至理論物理學,。

康威發(fā)明了一種游戲,叫做“生命游戲”(Game of Life),,它在50年后仍令人著迷,。據(jù)康威說,他最重要的貢獻是他概念化了一個叫做超現(xiàn)實數(shù)字的奇妙數(shù)字系統(tǒng),。這系統(tǒng)包括整數(shù)、實數(shù),、超限數(shù)和無窮小,,這種結構以前沒有人想象得到,在這種結構中,,所有東西都可以進行相加,、相乘等運算。

與康威共事過的人都說,,他思維敏捷,,一聽到一個問題陳述,他通常就已經(jīng)有了解決方案,??低铝τ跒槊總€人設計數(shù)學,這讓他致力于發(fā)明讓休閑數(shù)學愛好者感興趣的謎題,,比如著名的考拉茲猜想,。

根號2的無理性

最令人驚訝和重要的數(shù)學發(fā)現(xiàn)之一是根號2的無理性——一個邊長為一個單位的正方形對角線的長度。它不能表示為正整數(shù)n和m的商,。這是數(shù)學上第一個否定的發(fā)現(xiàn),,它表明人類并不是創(chuàng)造了控制數(shù)字的定律,而是在探索未知數(shù)學領域的過程中發(fā)現(xiàn)了這些定律,。

雖然這個定理有很多證明,,但最直觀的是康威在2005年出版的一本書中提到的一個非常簡單的圖解。若根號2是n和m的商,,也就是說,,2 = n^2/m^2,。則存在邊等于n的正方形,其面積是邊等于m的正方形的兩倍,。我們假設在圖中,,m是滿足這個方程的最小正整數(shù)。這個假設只有在沒有更小的正整數(shù)滿足時才成立,。

這個形狀中的兩個紅色方塊必須與中間的紫色方塊(兩個藍色方塊重疊的地方)擁有相同的面積,。

我們的推理要求兩個藍色方塊的面積必須等于紅色方塊(A)的面積。因此,,兩個藍色方塊沒有覆蓋的面積等于兩個藍色方塊都覆蓋的面積的兩倍,。換句話說,有兩個相等的小正方形(紅色,,B),,它們的面積和較大的正方形(紫色,B)的面積相同,。這意味著新的小正方形的每條邊都等于整數(shù)n - m,,紫色大正方形的每條邊都等于整數(shù)n - 2(n - m) = 2m - n。

簡而言之,,邊m的平方不是滿足幾何方程的最小值,。結果是矛盾的,因此假設是錯誤的,,因此根號2不是兩個整數(shù)的商,,這意味著它是一個無理數(shù)。用同樣的方法,,我們可以證明3的平方根是無理數(shù),。

兩個巫師的謎語

20世紀60年代,康威設計了一個極其棘手的謎題,,直到最近才引發(fā)了很多討論,,2013年,麻省理工學院的塔尼亞·霍瓦諾娃發(fā)表了一篇論文,。以下是那篇論文中出現(xiàn)的謎題:

昨天晚上,,我在一輛公共汽車上坐在兩個巫師后面,聽到了下面的話:

A:“我有正整數(shù)個數(shù)的孩子,,他們的年齡是正整數(shù),,和是這輛車的車號,乘積是我自己的年齡,?!?/span>

B:“如果您把您的年齡和孩子的數(shù)目告訴我,也許我就能算出他們每個人的年齡了,?!?/span>

A:“不,。”

B:“啊哈,!我終于知道你多大了,!”

公交車的車號是多少?

當然,,你必須假定巫師B知道公交車的車號,。還要注意,巫師們可以非常年輕,,也可以非常年老,,巫師A很可能是兩萬歲的老人。

下面是解題過程,,我只能在程序的幫助下完全理解和驗證,。我不能重現(xiàn)所有的計算,但你可以相信我的話,。

讓我們把巫師A的年齡記為A,,把公交車車牌記為b,把巫師A的孩子數(shù)記為c,。例如,,假設車號為b = 5。以下是孩子的數(shù)量,、年齡分布和巫師A的年齡:

  • c=5,年齡分別為1,1,1,1,1,;因此a=1,;

  • c=4,年齡分別為1,1,1,2,;因此a=2,;

  • c=3,年齡分別為1,1,3,;因此a=3,;

  • c=3,年齡分別為1,2,2,;因此a=4,;

  • c=2,年齡分別為1,4,;因此a=4,;

  • c=2,年齡分別為2,3,;因此a=6,;

  • c=1,,年齡分別為5;因此a=5,;

在每種情況下,,知道巫師A的年齡和孩子的數(shù)量表明后者可能的年齡。因為巫師A回答“不”,,而巫師B知道車號,,這意味著b不等于5。

類似地,,你可以通過逐個驗算可能的車號來解決這個問題,,找出那些可以知道巫師的年齡和他的孩子的數(shù)量,但不能知道每個孩子的年齡的車號(這個車號的屬性標記為P),。計算b = 1, 2, 3,…12(就像我們剛才對b = 5所做的那樣),,結果表明b = 12是擁有P的最小數(shù)。

事實上,,對于b = 12和c = 4,,這四個孩子有兩組可能的年齡——(2,2,2,6)和(1,3,4,4),這兩組給出巫師的年齡都是相同的:A = 48,。因此,,對于b = 12,即使知道c = 4,,a = 48,,也無法推斷出這四個孩子的年齡。這是否意味著b = 12是解,?

不幸的是,,并不一定。對于車號b = 13的情況,,例如,,這三個孩子的兩組年齡——(1, 6, 6)和(2, 2, 9),a=36,,巫師B不能從巫師A的年齡或他的孩子的數(shù)量得出他的孩子的年齡,。

知道b = 12并不比知道b = 13更能確定孩子的年齡。當面對這個謎題時,,大多數(shù)人經(jīng)?;卮稹癰 = 12”,好像這個謎題在某種程度上暗示了b的最小可能解是正確的,。但謎題并沒有做出這樣的斷言,。此外,如果沒有進一步的推理,你無法在b = 12和b = 13之間進行選擇,,也無法在b的其他值之間進行選擇,,正如我進一步的計算所顯示的那樣。

然而b = 12才是正確答案,,其原因是這個謎題中最有趣和最意想不到的部分,。康威精心設計了他的謎題,,你必須考慮巫師B的最后陳述,,在巫師A的“不”之后,巫師B回答說,,“啊哈,!我終于知道你多大了!”這樣就排除了b = 13,。

事實上,,對于b = 13,有兩個額外的年齡集——(1,2,2,2,6)和(1,1,3,4,4),,可以得出a = 48,。換句話說,如果車號是13,,巫師B不能從他的否定答案中推斷出巫師A的年齡,,因為他的年齡可以是36或48。因此,,應該排除b = 13,。

然而,當我們考慮b = 13的年齡序列并加上1時,,消去b = 13就會排除b = 14,。這樣做表明,兒童的年齡集——(1,1,6,6)和(1,2,2,9)——的乘積是a = 36,,而另兩個年齡集——(1,1,2,2,6)和(1,1,1,3,4,4)——的乘積是a = 48。同樣可以排除b = 15,,并且一個接一個地排除了所有大于12的b,。

因此,只有車號12 (b = 12)以及兩個年齡集(2,2,2,6)和(1,3,4,4)唯一決定了巫師A的年齡:A = 48,。

我承認我不明白康威是如何想出這個令人難以置信的謎題的,!

科拉茲猜想( Collatz conjecture)

考慮一個函數(shù)(f),對于偶數(shù)的正整數(shù)(n)給出n/2,,對于奇數(shù)的正整數(shù)(n)給出3n + 1,。例如,從7開始,,應用f,,首先得到22,,然后是11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1等等。一但得到1,,就進入了循環(huán),。

無論你從哪個整數(shù)n開始,你似乎總是以1結束,,然后陷入一個循環(huán),。計算機計算測試了這個特性,它適用于至少87 x 2^60(大約10^20)的所有n,。然而,,還沒有證明這總是正確的,也沒有發(fā)現(xiàn)一個初始的n可以持續(xù)到無窮,,或者得到除4,,2,1之外的循環(huán),。

這個問題被稱為科拉茲猜想,。數(shù)學家們做了大量的工作,其中一些已經(jīng)編入了一本書,。問題的陳述非常簡單,,吸引了許多業(yè)余數(shù)學愛好者,經(jīng)常有人生成找到了答案,,但到目前為止,,要么是錯誤的,要么是不可理解的,。

面對這樣一個簡單的挑戰(zhàn),,康威無法抗拒。1972年,,他發(fā)表了關于這一猜想的第一篇論文,,在論文中,他提出了類似的公式化問題,,并證明了它們的不可預測性,。對于起始整數(shù)的某些值,由f的變體生成的序列最終不會到達1,,但集合理論不能證明這一點,。更一般地說,對于任何證明(S)的邏輯系統(tǒng),,都存在這個范疇的問題,,對于一個不以1結束的序列有一個起點,它不能被S證明。

2013年,,康威用概率論證再次提出了這個問題,,他認為科拉茲猜想本身無法用數(shù)學中常用的公理系統(tǒng)來證明。這并不是科拉茲猜想不可定論的決定性證明,。但他提出的各種論證似乎強烈地表明,,每個人在試圖證明這個猜想時出錯并非偶然。

所有的數(shù)學家都會遇到他們無法解決的問題,,康威也不例外,。然而,作為一個邏輯學家,,他能夠證明不可決定性,,并詳細闡述論證,表明這個簡單而棘手的問題將無限期地挑戰(zhàn)數(shù)學家,。

生命游戲

生命的游戲,,首次在1970年的《科學美國人》的馬丁·加德納的數(shù)學游戲?qū)谥薪榻B,仍在研究中,,而它帶來的所有難題都還沒有解決,。在一個無限的二維矩形網(wǎng)格中,一個正方形的細胞可能是活的,,也可能是死的,,或者細胞從活的(黑色)變成死的(白色),反之亦然,,代代相傳,。或者細胞可能保持穩(wěn)定,,這取決于它最近的8個相鄰細胞是死的還是活的,。如果相鄰方格活著的細胞數(shù)量過多,這個細胞會因為資源匱乏而在下一個時刻死去,;相反,,如果周圍活細胞過少,這個細胞會因太孤單而死去。

進化的規(guī)律是:當一個方格周圍有2個或3個活細胞時,,方格中的活細胞在下一個時刻繼續(xù)存活,;即使這個時刻方格中沒有活細胞,在下一個時刻也會“誕生”活細胞,。理想情況下,活細胞的數(shù)量與n^2成比例增加,,其中n為一代的數(shù)量,。網(wǎng)格穩(wěn)定部分的最佳活細胞密度為1/2。1997年,哈佛大學的諾姆·埃爾金斯用29頁的篇幅證明了這一點,。

2020年4月,,計算機科學家Mateusz Na?ciszewski發(fā)現(xiàn)了《生命游戲:終極版》頂部呈現(xiàn)的非凡模式。它是已知最小的模式,,一旦啟動,,就會以二次速度增長,覆蓋密度為1/2的穩(wěn)定活細胞種群的網(wǎng)格,。因此,,這種模式在速度和密度方面是最好的。該構型從183個細胞開始,。我們在不同的尺度上繪制了第0代和另外兩代,。人們認為不可能超過183,但這還沒有得到證明,。還要注意,,有些模式可以計算素數(shù),甚至可以顯示π = 3.14159的十進制數(shù)字圖形,。

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