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作者：張?zhí)烊?/a> 規(guī)范場論中的幾位物理大師 和量子物理類似,，規(guī)范場論并非是哪一個人的獨創(chuàng)，而是由許多位大師級科學(xué)家共同接力創(chuàng)作的用數(shù)學(xué)理論描寫物理過程的真與美的結(jié)合,。 1687年,，牛頓在他的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中，首次發(fā)表了萬有引力定律,，將地上的重量和天上星體間的作用力統(tǒng)一在一起,。從那個時候開始，物理學(xué)家就做起了“統(tǒng)一夢”：企圖將萬事萬物統(tǒng)一在一個單一物理理論的框架中,。按照還原論的觀點,，追蹤萬事萬物最后都可以歸結(jié)為若干“基本粒子”以及這些粒子之間的“相互作用”。 迄今為止,，物理學(xué)公認(rèn)了粒子若干,，而基本相互作用只有4種：引力、電磁力,、弱相互作用和強相互作用,。規(guī)范場論就是描述相互作用的基本理論。相對于基本粒子標(biāo)準(zhǔn)模型而言,，規(guī)范場論本身就好比是一種“膠子”作用的功能,。 現(xiàn)在一般認(rèn)為，最早提出規(guī)范理論概念的是德國數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl,，1885-1955）,。他曾經(jīng)履職蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院數(shù)學(xué)系系主任，在那里和年長幾歲的愛因斯坦是同事,。受愛因斯坦的影響,，他于1918年撰寫《時間,、空間、物質(zhì)》回溯了相對論物理的發(fā)展,。同年,，外爾引入規(guī)范（gauge，即尺度變換）的概念,，并給出了規(guī)范理論最早的例子,。 作為數(shù)學(xué)家多少有幾分詩人氣質(zhì)。外爾遨游在數(shù)學(xué)王國,，長期受數(shù)學(xué)美之熏陶,，時不時會冒出幾句詩意的話語。他曾經(jīng)用“蘇黎世一只孤獨的狼”來描述他自己被他的偶像愛因斯坦批評之后感覺失望,、迷茫的心態(tài),。那是外爾研究統(tǒng)一場論時的一段故事。 外爾提出規(guī)范概念與他追求“對稱統(tǒng)一美”有關(guān),。他特別欣賞自然界的對稱美,。上世紀(jì)50年代初，他在普林斯頓大學(xué)作過一系列有關(guān)對稱的演講,，后來還寫成一本名為《對稱》的科普小書,，廣受讀者歡迎。 和愛因斯坦一樣,，外爾也是在納粹執(zhí)政后避難于美國成為普林斯頓高等研究院早期的重要成員,。由于愛因斯坦追求統(tǒng)一場論數(shù)年未果，外爾企圖將愛因斯坦有關(guān)統(tǒng)一的想法在某種程度上數(shù)學(xué)化,。他用規(guī)范變換做了嘗試：用時空的幾何性質(zhì)來統(tǒng)一描述電磁場和引力場,。盡管是一個不成功的錯誤模型，但外爾的嘗試卻如同道爾頓最早提出原子模型一樣,，開啟了規(guī)范場理論進入物理學(xué)的大門,。 自然界存在四種相互作用，其中強,、弱相互作用僅存在于微觀世界,，我們能直接感知的只有引力和電磁力。外爾深感廣義相對論,、麥克斯韋電磁理論既真又美,，首先想到的便是用他欣賞的規(guī)范理論將引力和電磁力這兩者統(tǒng)一起來。 “統(tǒng)一”就是要尋求不同理論之間的某種對稱性,，而規(guī)范不變便是系統(tǒng)的某種內(nèi)在對稱性的數(shù)學(xué)表達,。但對稱在某種變換下不變所表述的變量具有冗余性，出現(xiàn)某些多余的東西,。 例如雪花的形狀是六角對稱的,，當(dāng)它旋轉(zhuǎn)60度,、120度、180度等角度時（或者說是從不同的角度去看）,，它的形狀不變,，因而可以只用它1/6的形狀便能描述整體。按照這樣的道理,，物理理論中的某種內(nèi)在對稱就可以描述為“規(guī)范不變”,。然而“規(guī)范不變”在物理理論中具有冗余性，一個典型通俗的例子便是電路中的“電壓”,。顯然,，電力系統(tǒng)對絕對電壓值的“平移”具有對稱性。但另一方面,，人們知道220伏的交流電可以導(dǎo)致人觸電傷亡，而小鳥立于幾萬伏的高壓線上卻似乎一點危險也沒有,。這說明用絕對的電壓值來描述電力系統(tǒng)在某種情況下可能是多余的,。絕對電壓相對于小鳥的兩個腳V1和V2不是真正起作用的物理量，兩點之間的電壓差V=V1-V2才具有實在的物理效應(yīng),。因此,，用兩個數(shù)值（V1、V2）來表示系統(tǒng)的危險性是多余的,，有一個數(shù)值V就足夠了,。電路中（包括電子線路）設(shè)計一根“接地”線也是這個道理。 除了“電壓具有平移規(guī)范對稱性”,，重力場也具有類似的平移規(guī)范對稱性,。比如，父母們不太在乎小孩從他們五樓房間的床上往地板上跳,，卻不能容許孩子從五樓的平臺跳到樓下的草地上,。這是因為重力場的物理效應(yīng)一般可以不管“絕對高度”，關(guān)鍵在于高度的相對差距,。 根據(jù)麥克斯韋電磁理論,，電磁場可以用電場E和磁場H來描述，也可以用考慮相對論效應(yīng)的4維電磁勢A來更為方便地描述,。但是,，只有電場和磁場才與物理效應(yīng)直接相關(guān)，而電磁勢與物理效應(yīng)不存在一一對應(yīng),，屬于理論上的冗余,。就像“絕對電壓”不能電死鳥兒一樣，電磁勢的值不完全等效于物理作用,。事實上,，經(jīng)典電磁理論對于同樣的電場和磁場,，其電磁勢A不是唯一的，如果四維電磁勢A作如下規(guī)范變換時,，電場E和磁場H保持不變： A → A ? ? θ(x) （1） 其中θ是一個任意函數(shù),，這說明對于描述同樣的電磁場，四維矢量勢A不唯一,。也就是規(guī)范變換對于電磁系統(tǒng)用4維矢量勢來表述電磁場是一種冗余,。 外爾認(rèn)為可以利用電磁勢的冗余性。他的做法是：當(dāng)四維電磁勢A作如（1）的規(guī)范變換時,，給廣義相對論的時空黎曼度規(guī)乘上一個尺度（規(guī)范）因子 λ(x) = eθ(x) ： gij → eθ(x) gij . （2） 如此得來的“新度規(guī)”,，在形式上可以包容電磁場，數(shù)學(xué)上看起來也非常美妙,，視乎閃耀著新思想的火花,。然而，當(dāng)他興致勃勃地將他的文章寄給愛因斯坦后,，得到的反饋卻不怎么的,。愛因斯坦一方面贊賞外爾的設(shè)想是“天才之作、神來之筆”,，一方面又從物理的角度強烈批評他的文章脫離了物理的真實性,。外爾在度規(guī)函數(shù)中引入一個任意的函數(shù)λ(x)，這相當(dāng)于在4維時空中的每一個點都可以有任意不同的長度單位和時間單位,，也就是有任意不同標(biāo)度的鐘與尺,，這在物理上是不可能被接受的。因此,，外爾企圖統(tǒng)一電磁和引力的模型失敗了,，盡管它具有數(shù)學(xué)之美，卻失去了物理之真,。 愛因斯坦的反對意見雖然使外爾失望,，卻也激勵了他進一步求真求美的興趣。他的好友薛定諤對量子力學(xué)的研究也深深影響了他,。后來,，外爾帶著“量子”的新武器重返規(guī)范場課題，將他原來的理論作了如下兩點改變： 1. 規(guī)范變換不是作用在度規(guī)張量gij上,，而是作用在電子標(biāo)量場f上,； 2. 變換中尺度因子的指數(shù)乘了一個i，也就是-1的平方根,。 這一次,，聰明的外爾回避了“老大難”的引力場統(tǒng)一問題，轉(zhuǎn)而研究電磁場和電子的相互作用。他將原來的規(guī)范因子乘以虛數(shù)i,，使之成了電子波的“相”因子,，意味著引入電子的波動性進入了量子力學(xué)。于是,，外爾的電磁規(guī)范變換成為以下由兩個變換組成的聯(lián)合運算： f → eiqθ(x)f ,， A → A ? iq?θ(x). （3） 經(jīng)典規(guī)范變換和量子規(guī)范變換之比較 從圖中可以看出，經(jīng)典電磁場的規(guī)范變換只是電磁勢A在變換,，使得E和B的變化引起電子所受作用力F發(fā)生變化,，但電子完全處于被動不變的位置。量子理論中的規(guī)范變換則把電子場f的相因子變換與電磁勢A的補償變換結(jié)合起來了,，電子不再是被動的,，而是電子場與電磁場通過相互作用兩者一起變換。 改進后的外爾規(guī)范理論沒有了愛因斯坦當(dāng)年所批評的“鐘和尺”不確定的問題,，能夠成功地應(yīng)用于量子電動力學(xué)中,。其中電子場f可以看成是波函數(shù)f(x)的電子幾率幅，其絕對值的平方是電子在時空中某一點出現(xiàn)的幾率,，而復(fù)數(shù)相位的絕對大小沒有物理意義,，有意義的只是不同時空點之間的相位差，它影響到幾率波的干涉效應(yīng),。將幾率幅乘上一個相因子eiqθ(x)，意味著幾率幅的相位變化一個角度qθ(x),，對計算幾率沒有絲毫影響,。 在規(guī)范變換作用下，如果能使得物理規(guī)律保持不變而引入的場,，被稱之為規(guī)范場,。如果物理規(guī)律符合量子理論，便是量子化的規(guī)范場,。因此,，符合變換（3）的電磁場是第一個量子規(guī)范場。根據(jù)諾特定理,，對稱與守恒相對應(yīng),。量子化電磁場的規(guī)范不變對稱性，對應(yīng)于電荷（q）守恒定律,。如果用群論表示,，相因子對稱就是U(1)群對稱。而酉群U(1)是1維復(fù)數(shù)群,，與實數(shù)2維空間的旋轉(zhuǎn)群SO(2)同構(gòu),，即電磁規(guī)范場符合U(1)對稱，或旋轉(zhuǎn)對稱。 二維旋轉(zhuǎn)U(1)是可交換的,，被稱為阿貝爾群,。但大多數(shù)對稱性對應(yīng)的是更為復(fù)雜的、不能交換順序的非阿貝爾群,。例如,，三維旋轉(zhuǎn)群就是不能交換順序的“非阿貝爾”群。當(dāng)物理學(xué)家們試圖將電磁規(guī)范場推廣到另外兩種相互作用（強,、弱）時,，便碰到了非阿貝爾規(guī)范場帶來的困難。后來,，楊振寧和米爾斯研究這個問題終于有了突破性進展,。 那是在1949年春天，外爾退休后已經(jīng)離開了普林斯頓,。這一年,，楊振寧（Chen-Ning Franklin Yang，1922-）前往普林斯頓高等研究院不僅接租了外爾的房子,，還接替了外爾在理論物理上的位置,。按戴森的說法，他成為了理論物理界的一只領(lǐng)頭鳥,。 與外爾相同,，楊振寧也注重追求物理真及數(shù)學(xué)美。 四種相互作用中的電磁力和引力是長程力,，作用范圍大,；另外兩種是短程力，只表現(xiàn)于微觀世界,。beta衰變中存在著弱力,，費米曾在1930年代對其作出了最早的描述。對強相互作用的認(rèn)識始于1947年發(fā)現(xiàn)了與核子作用的π介子及其它“強子”,。強作用是指核子（質(zhì)子或中子）之間的核力,，它比弱相互作用的力程長（約為10-15m），作用強度最大（是電磁力的137倍）,，能夠使核子結(jié)合成原子核,。 當(dāng)強相互作用被認(rèn)識之后，立馬成為研究者的首選,。由于強作用比其它三種基本作用有更大的對稱性,，需要用新的理論方法來進行解釋。這正好符合楊振寧要推廣規(guī)范場的想法,。 到了1953-1954年,，楊振寧暫時離開高等研究院到紐約長島的布魯克海文實驗室工作一段時期。在那里他和來自哥倫比亞大學(xué)的博士生米爾斯使用同一個辦公室。當(dāng)時除了布魯克海文實驗室發(fā)現(xiàn)新粒子,，世界各地也不斷傳來多種介子被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的消息,。這使得楊振寧感到迫切需要尋找一個描述粒子間相互作用的有效理論。他和米爾斯清楚地意識到描述同位旋對稱性的SU(2)是一種“非阿貝爾群”,，與外爾的電磁規(guī)范理論的對稱性U(1)完全不同,，因而需要不同的數(shù)學(xué)運算。 比如,，將四維電磁矢量勢A推廣到他們設(shè)想的楊-米爾斯場可用B來表示,。A是電子場的勢，B是楊-米爾斯場的勢,。這樣,，楊-米爾斯場描述的對象是兩個分量的同位旋，與其相對應(yīng)的B就不是原來類似A的矢量場了,，而是成為2x2的矩陣場B,。二維矩陣不對易，在相應(yīng)的張量Fmn表達式中需要加上一項對易子（見圖）,。 從電磁規(guī)范場到非阿貝爾規(guī)范場 據(jù)楊振寧后來回憶,，當(dāng)他和米爾斯認(rèn)識到需要加上對易子一項時，“我們知道我們挖到寶貝了,！”,。正是因為兩人卓有成效的合作，他們在《物理評論》上接連發(fā)表了兩篇論文,，提出了著名的楊-米爾斯規(guī)范場論,。 1954年2月，楊-米的論文尚未寄出,，楊振寧應(yīng)邀到普林斯頓研究院作報告。那年正逢泡利在高研院工作一年,，當(dāng)楊在黑板上寫下他們將A推廣到B的第一個公式時,，“上帝鞭子”開始發(fā)言了：“這個B場對應(yīng)的質(zhì)量是多少？”泡利的發(fā)問急得楊振寧一身冷汗,，因為這個問題一針見血地點到了“死穴”,。隨后泡利又問了一遍同樣的問題，楊只好支支吾吾地說事情很復(fù)雜,。泡利聽了便冒出一句他常用的妙語：“這是個很不充分的借口”,。這場景使楊振寧分外尷尬，幾乎無非繼續(xù)報告下去,。幸虧主持人奧本海墨出來打圓場,，泡利方才作罷。 泡利的評論說明他當(dāng)時已經(jīng)思考過推廣規(guī)范場到強弱相互作用的問題，并且意識到了規(guī)范理論中有一個不那么容易解決的質(zhì)量難點,。因為規(guī)范理論中的傳播子都是沒有質(zhì)量的,，不然就不能保持規(guī)范不變。在電磁規(guī)范場理論中,，作用的傳播子是光子,，而光子正好沒有質(zhì)量。但強相互作用不同于電磁力,，電磁力是遠程力,，強弱相互作用都是短程力，短程力的傳播粒子一定有質(zhì)量,，這便是泡利當(dāng)時所提出的問題,。正是這個質(zhì)量難題，讓規(guī)范理論退出舞臺默默等待了20年,，直到希格斯機制的提出和希格斯玻色子被發(fā)現(xiàn)才最終解決了這個質(zhì)量問題,。 楊-米爾斯理論的原意是要解決強相互作用問題，盡管這個目的沒有立即達到,，但卻構(gòu)造了一個非阿貝爾規(guī)范場的模型,，為所有已知粒子及其相互作用提供了一個框架和基礎(chǔ)。 史蒂芬·溫伯格（Steven Weinberg）與他的中學(xué)同班同學(xué)謝爾頓·格拉肖（Sheldon Glashow）,，還有阿卜杜斯·薩拉姆（Abdus Salam）一起,，用規(guī)范理論解決了弱電統(tǒng)一U(1) *SU(2)。他們因此共同獲得1979年諾貝爾物理學(xué)獎,。 類似于量子電動力學(xué)(QED),，強相互作用可被基于SU(3)規(guī)范對稱性的量子色動力學(xué) (QCD)描述。至此,，在眾多物理學(xué)家的努力下,，按照規(guī)范理論將除引力之外的電磁及弱強作用統(tǒng)一起來，即實現(xiàn)了對稱群U(1) *SU(2)*SU(3)的統(tǒng)一,，并在此基礎(chǔ)上建立了標(biāo)準(zhǔn)模型,。 楊-米爾斯（Yang-Mills）規(guī)范理論不僅是物理學(xué)中標(biāo)準(zhǔn)模型的基礎(chǔ)，還頗受數(shù)學(xué)家們的青睞,，對于純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展也起到了一定的推動作用,。規(guī)范場論中的規(guī)范勢，恰是數(shù)學(xué)家在20世紀(jì)30～40年代以來深入研究過的纖維叢上的聯(lián)絡(luò),。這個聯(lián)系激起數(shù)學(xué)家對規(guī)范場方程進行了許多深入的研究,。 邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah，1929-2019）是英國黎巴嫩裔,，他在1966年榮獲菲爾茲獎,，被譽為當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一,。阿蒂亞的早期工作主要集中在代數(shù)幾何領(lǐng)域。70年代后他的興趣轉(zhuǎn)向規(guī)范場論,，著力研究瞬子和磁單極子的數(shù)學(xué)性質(zhì),。他出版的專題文集《楊-米爾斯場的幾何學(xué)》(Geometry of Yang-Mills Fields)，使眾多數(shù)學(xué)家對規(guī)范場日益重視,。近30年來,，他對低維拓撲和無窮維流形幾何的研究對量子場論和弦理論有著深刻影響。 愛德華·威滕是理論物理學(xué)家,，他同樣獲得過菲爾茲獎,。威滕所做的理論物理研究也和楊-米爾斯場有關(guān)。他對物理統(tǒng)一理論（弦論）所做出的杰出貢獻就是另外的話題了,。 |
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