圖1：規(guī)范場論的大師們

撰文 | 張?zhí)烊?/strong>

責(zé)編 | 寧   茜,、呂浩然

赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）是德國數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家,，對數(shù)學(xué)和理論物理做出了杰出的貢獻(xiàn)，被公認(rèn)為是20世紀(jì)最有影響力的數(shù)學(xué)家之一,。

數(shù)學(xué)家多少有幾分詩人氣質(zhì),，外爾就給人這樣的印象。也許是在神圣的數(shù)學(xué)王國中遨游，長期受“美”的熏陶所致,，他時不時會冒出幾句詩意的話語,。外爾曾經(jīng)用“蘇黎世一只孤獨的狼”來描述被自己崇拜的偶像愛因斯坦批評時，那種失望和迷茫的心態(tài),。這是外爾研究統(tǒng)一場論時的一段故事,。

外爾對“美”有一種獨特的欣賞方式，他特別欣賞自然界的對稱美,。外爾上世紀(jì)50年代初在普林斯頓大學(xué)作了一系列有關(guān)對稱的演講,，后來寫成一本名為《對稱》的科普小書，廣受讀者歡迎,。規(guī)范理論的誕生,，便與外爾追求“對稱統(tǒng)一美”的工作有關(guān)。

外爾所著的《對稱》一書

外爾曾任蘇黎世聯(lián)邦理工學(xué)院數(shù)學(xué)系的系主任,，在那里和年長幾歲的愛因斯坦是同事,，也深受愛因斯坦的影響。在他1918年的《空間,，時間,，物質(zhì)》一書中，外爾回溯了相對論物理的發(fā)展,。同一年,，他引入了規(guī)范（gauge，即尺度變換）的概念,，并給出了規(guī)范理論最早的例子,。

1933年納粹執(zhí)政時，外爾也和愛因斯坦一樣,，相繼避難于美國,，成為普林斯頓高等研究院早期的重要成員。愛因斯坦追求統(tǒng)一場論數(shù)年未果,，外爾則企圖將愛因斯坦有關(guān)統(tǒng)一的想法在某種程度上數(shù)學(xué)化,。外爾用規(guī)范變換作了一個不成功的嘗試：企圖用時空的幾何性質(zhì)來統(tǒng)一描述電磁場和引力場。這雖然是一個錯誤的模型,，但卻開啟了規(guī)范場理論進(jìn)入物理學(xué)的大門,。

四種相互作用中的強(qiáng)、弱相互作用僅存在于微觀世界,，人們在日常生活中最熟悉的,、科學(xué)家們研究最成熟的，是引力和電磁力,。當(dāng)年的外爾,，深切感受到廣義相對論及麥克斯韋電磁理論既真又美的特點,。因此，外爾首先想到的,，便是用他欣賞的規(guī)范理論,，將這兩者統(tǒng)一起來。

所謂“統(tǒng)一”,，實質(zhì)上就是尋求不同理論之間的某種對稱性,，而規(guī)范不變便是系統(tǒng)某種內(nèi)在對稱性的數(shù)學(xué)表達(dá)。

對稱的意思就是在某種變換下不變,，就好像外爾《對稱》一書封面上的蝴蝶,，沿中線轉(zhuǎn)180度還是一樣的。因而表述它的變量具有冗余性,，有某些多余的東西,。例如：我們說雪花的形狀是六角對稱的，意思是說當(dāng)我們將它以中心點旋轉(zhuǎn)60度,、120度,、180度等角度時，它的形狀不變,，因而可以只用它1/6的形狀,，便能描述整體。將這個概念用到物理上,，即物理理論中的某種內(nèi)在對稱，可以被描述為規(guī)范理論中的“規(guī)范不變”,。

電路中 “電壓” 的概念,，是物理理論中具有冗余變量的通俗例子。大家都知道220伏特的交流電是危險的,，接觸到便會置人于死地,，幾萬伏特的高壓線就更不用說了。但是,，你可能也注意到立于高壓線上的鳥兒,，卻似乎一點危險也沒有感到，仍然能夠自由自在地活蹦亂跳,，那是什么原因呢,？

這是因為用“絕對的電壓值”來描述電力系統(tǒng)具有某種冗余性。因為電力系統(tǒng)對絕對電壓值的“平移”具有對稱性,。絕對電壓V0并不是真正起作用的物理量,，鳥兒兩個腳的V1和V2之間的“電壓差”V（V=V1-V2）才具有實在的物理效應(yīng)。也就是說,，用兩個數(shù)值（V1,、V2）來表示系統(tǒng)的危險性是多余的，只需要一個數(shù)值V就足夠了。這也就是為什么在電路中（包括電子線路）,，“接地”的概念是很重要的原因,。

用物理語言解釋以上例子，可以說成是“電壓具有平移規(guī)范對稱性”,。

重力場也具有與上述電力系統(tǒng)類似的平移規(guī)范對稱性,。就像父母不在乎孩子從五樓房間的床上跳到地板上，但絕對不允許孩子從五樓的平臺跳到樓下的草地上,。這兒的物理效應(yīng)也是這樣,，不管“絕對高度”，只取決于高度的相對差距而已,。

同樣類似的“規(guī)范”概念可以搬到經(jīng)典電磁場中,，只不過比上述的“平移規(guī)范”具有更為復(fù)雜的形式。平移規(guī)范對稱性是整體規(guī)范變換的實例,，可以用電路接地,，即定義一個整體的零點“地”來解決。電磁場規(guī)范變換則是局部時空場的變換,，即隨著時空點的不同而不同,。

根據(jù)麥克斯韋電磁理論，電磁場可以用電場E和磁場H來描述,，也可以用考慮相對論效應(yīng)的4維電磁勢A來更為方便地描述,。但是，根據(jù)經(jīng)典電磁理論,，只有電場和磁場才與物理效應(yīng)有關(guān),，電磁勢與物理效應(yīng)不是一一對應(yīng)的，它具有一定冗余性,，就像“絕對電壓”很高的值并不能電死鳥兒一樣,，電磁勢的值不完全等效于物理作用。經(jīng)典電磁理論中,，對于同樣的電場和磁場,，電磁勢A不是唯一的，如果四維電磁勢A作如下規(guī)范變換時,，電場E和磁場H保持不變：

其中θ是一個任意函數(shù),，這說明對于描述同樣的電磁場，四維矢量勢A不唯一,。上文的規(guī)范變換一詞,，便反映了電磁系統(tǒng)用4維矢量勢來表述電磁場時的冗余性。

外爾認(rèn)為可以“利用”電磁勢的這個冗余性,。他的做法是：當(dāng)四維電磁勢A作如（1）的規(guī)范變換時,，給廣義相對論的時空黎曼度規(guī)乘上一個尺度（規(guī)范）因子λ(x)  = e^θ(x) ：

如此得來的“新度規(guī)”,，在形式上可以包容電磁場，數(shù)學(xué)上看起來非常美妙,，閃耀著新思想的火花,。然而，當(dāng)外爾興致勃勃地將他的文章寄給愛因斯坦后,，得到的反饋卻不咋地,。愛因斯坦一方面贊賞外爾幾何是“天才之作、神來之筆”,，一方面又從物理的角度,，強(qiáng)烈批評了這篇文章脫離了物理的真實性。

因為從物理上講,，外爾在度規(guī)函數(shù)中引入一個任意的函數(shù)λ(x),，即相當(dāng)于在4維時空中的每一個點都可以有任意不同的長度單位和時間單位，也就是有任意不同標(biāo)度的鐘與尺,，好比我在家里的臥室里測量結(jié)果是“高2米,、年齡20歲”，但到了廚房就被測量成了“高4米,、年齡10歲”,，這在物理上是不可能被接受的。

因此,，外爾企圖統(tǒng)一電磁和引力的模型失敗了,，盡管它具有數(shù)學(xué)之美，卻失去了物理之真,。

愛因斯坦的反對意見讓外爾失望,，卻也進(jìn)一步激勵了他求真求美的興趣。外爾的好友薛定諤（Erwin Schr?dinger,，1887 -1961）對量子力學(xué)的研究也深深影響了他。后來,，外爾帶著“量子”的新武器,，再次返回到規(guī)范場這個課題，并將其原來的理論作了如下兩點改變：

1. 規(guī)范變換不是作用在度規(guī)張量g_ij上,，而是作用在電子標(biāo)量場f上;

2. 在原來變換中尺度因子的指數(shù)上,，乘了一個i，也就是-1的平方根,。

這一次,，聰明的外爾回避了“老大難”的引力場統(tǒng)一問題，轉(zhuǎn)而研究電磁場和電子的相互作用,。此外,，外爾將原來的規(guī)范因子,，乘上了虛數(shù)i，改變成了電子波的“相”因子,，意味著引入了電子的波動性,，進(jìn)入了量子力學(xué)。

在上述兩點改變下,，外爾的電磁規(guī)范變換成為以下由兩個變換組成的聯(lián)合運算：

f → e^iqθ(x)f ,， A → A ? iq? θ(x)（3）  

 圖2：經(jīng)典規(guī)范變換和量子規(guī)范變換之不同

圖2的（a）和（b）分別直觀地說明了經(jīng)典規(guī)范變換（1）和量子規(guī)范變換（3）的不同。經(jīng)典電磁場的規(guī)范變換,，只是電磁勢A自己變換,，然后使得E和B變化而引起電子所受作用力F的變化，電子完全處于被動的位置,。量子理論中的規(guī)范變換,，將電子場f的相因子變換，以及電磁勢A的補(bǔ)償變換結(jié)合起來,，電子不再是被動的,，而是通過電子場與電磁場相互作用，兩者一起變換,。

公式（3）中,，為了更簡單明了，將電子的場函數(shù)f取為標(biāo)量函數(shù),，但實際上,，它是代表薛定諤方程（或狄拉克方程）的解，不是標(biāo)量,。此外,，量子規(guī)范變換的公式（3）僅與粒子的電荷q有關(guān)。實際上,，物理學(xué)家為了方便,，一般采用一種特別的單位，稱之為自然單位,，其中令約化普朗克常數(shù)和光速c都為1,。

改進(jìn)后的外爾規(guī)范理論，已經(jīng)不是原來的尺度變換理論,，而變成了“相因子變換”理論,。它沒有了愛因斯坦當(dāng)年所批評的“鐘和尺”不確定的問題，被成功地應(yīng)用于量子電動力學(xué)中,，為實驗所精確證實,。量子化之后的四維矢量勢A，也正確地描述了與電子相互作用的電磁場,。

在量子理論中,，電子場f,，或者是波函數(shù)f(x)表示的是電子的幾率幅，它的絕對值的平方是電子在時空中某一點出現(xiàn)的幾率,，而復(fù)數(shù)相位的絕對大小沒有物理意義,，有意義的只是不同時空點之間的相位差，它影響到幾率波的干涉效應(yīng),。因此,，規(guī)范變換中將幾率幅乘上一個相因子e^iqθ(x)，意味著幾率幅的相位變化了一個角度qθ(x),，對計算幾率絲毫沒有影響,。

在規(guī)范變換作用下，如果能使得物理規(guī)律保持不變而引入的場,，被稱之為規(guī)范場,。如果物理規(guī)律符合量子理論，便是量子化的規(guī)范場,。

因此,，符合變換（3）的電磁場是第一個量子規(guī)范場（光子場）。根據(jù)諾特定理,，對稱與守恒相對應(yīng),。量子化電磁場的規(guī)范不變對稱性，對應(yīng)于電荷（q）守恒定律,。使用群論的語言,，相因子對稱也就是U(1)群對稱。酉群U(1)是1維復(fù)數(shù)群,，與實數(shù)2維空間的旋轉(zhuǎn)群SO(2)同構(gòu),，也就是說，電磁規(guī)范場符合U(1)對稱,，即“平面上的旋轉(zhuǎn)對稱”,。

二維旋轉(zhuǎn)U(1)是可交換的，被稱為阿貝爾群,。大多數(shù)對稱性對應(yīng)的是更為復(fù)雜的,、不能交換順序的非阿貝爾群。例如,，三維旋轉(zhuǎn)群就是不能交換順序的“非阿貝爾”群。當(dāng)物理學(xué)家們試圖將電磁規(guī)范場推廣到另外兩種相互作用（強(qiáng),、弱）時,，便碰到了非阿貝爾規(guī)范場（non-Abelian gauge field）的問題。這個問題最后被楊振寧（Chen-Ning Yang,，1922-）和米爾斯（Robert Laurence Mills,，1927-1999）首先突破,。因此，之后便將非阿貝爾規(guī)范場稱為楊-米爾斯場（Yang-Mills field）,。

1949年春天,，楊振寧前往普林斯頓高等研究院作研究。同一年,，外爾退休離開了普林斯頓,，楊振寧搬進(jìn)了外爾的舊居，并成為高等研究院的永久成員,。

楊振寧不僅接租了外爾的房子,，還接替了外爾在理論物理界的位置，按照戴森（Freeman Dyson,，1923 -2020）的說法,，“成為了理論物理界的一只領(lǐng)頭鳥”[1]。更有趣的是,，楊振寧對外爾在規(guī)范理論方面的工作非常感興趣,。這個共同的興趣——對物理真及數(shù)學(xué)美的追求，激勵他之后對外爾的規(guī)范理論作了一個漂亮的推廣,。

四種相互作用中的電磁力和引力是長程力,，作用范圍大，因此日常生活中就能感覺到,，另外兩種是短程力,，只表現(xiàn)于微觀世界。弱力在beta衰變中存在,，費米（Enrico Fermi,，1901-1954）在20世紀(jì)30年代對其作出了最早的描述。對強(qiáng)相互作用的認(rèn)識始于1947年發(fā)現(xiàn)與核子作用的π介子及其它“強(qiáng)子”,。強(qiáng)作用比弱相互作用的力程長（約為10^-15m）,，作用最強(qiáng)（電磁力的137倍），它是核子（質(zhì)子或中子）之間的核力,，是使核子結(jié)合成原子核的相互作用,，因而成為當(dāng)時研究者的首選。

強(qiáng)相互作用比其他三種基本作用有更大的對稱性,，需要有新的物理學(xué)說來解釋此現(xiàn)象,。這點正好符合了楊振寧要推廣規(guī)范場的想法。

1953-1954年,，楊振寧暫時離開高等研究院,，到紐約長島的布魯克海文國家實驗室（Brookhaven National Laboratory , BNL）工作了一段時期，正好和來自哥倫比亞大學(xué)的博士生米爾斯使用同一個辦公室。布魯克海文實驗室有當(dāng)時世界上最大的粒子加速器,，世界各地也不斷傳來多種介子被陸續(xù)發(fā)現(xiàn)的消息,，這些實驗使得兩位物理學(xué)家既振奮又雄心勃勃，楊振寧認(rèn)為迫切需要一個描述粒子間相互作用的有效理論,，他對規(guī)范理論的思考也有了重大的突破,。他和米爾斯認(rèn)識到描述同位旋對稱性的SU(2)是一種“非阿貝爾群”，與外爾的電磁規(guī)范理論的對稱性U(1)完全不同,，需要進(jìn)行不同的數(shù)學(xué)運算,。

比如，將四維電磁矢量勢A,，推廣到楊-米爾斯場的情況時,，勢場用B來表示。A是電子場的勢,，B是楊-米爾斯場的勢,。因為楊-米爾斯場描述的對象是兩個分量的同位旋， 與其相對應(yīng)的B 也不是原來類似A的矢量場了,，而是成為2x2的矩陣場B,。而二維矩陣是不對易的，因而,，在相應(yīng)的張量Fmn表達(dá)式中需要加上一項對易子,，見圖3。

楊振寧和米爾斯認(rèn)識到這點,，加上對易子一項,。如楊振寧在回憶中說：“我們知道我們挖到寶貝了！”[2],。通過兩人卓有成效的合作,，他們在《物理評論》上接連發(fā)表了兩篇論文，提出楊-米爾斯規(guī)范場論,。

寄出文章之前,，1954年的2月，楊振寧應(yīng)邀到普林斯頓研究院作報告,，正逢泡利在高研院工作一年,。當(dāng)楊在黑板上寫下他們將A推廣到B的第一個公式時，“上帝鞭子”泡利開始發(fā)言了：“這個B場對應(yīng)的質(zhì)量是多少,？” ,，急得楊振寧一身冷汗，因為這個問題一針見血地點到了他們的“死穴”,。之后泡利又問了一遍同樣的問題,，楊只好回復(fù)說事情很復(fù)雜，泡利聽后便冒出一句他常用的妙語：“這是個很不充分的借口”。當(dāng)時的場景使楊振寧分外尷尬,，報告幾乎做不下去，虧得主持人奧本海默（Julius Robert Oppenheimer,， 1904-1967）出來打圓場,，泡利方才作罷，之后一直不語,。

泡利尖銳的評論,，說明他當(dāng)時已經(jīng)思考過推廣規(guī)范場到強(qiáng)弱相互作用的問題，并且意識到了規(guī)范理論中有一個不那么容易解決的質(zhì)量難點,。因為規(guī)范理論中的傳播子都是沒有靜止質(zhì)量的,，否則便不能保持規(guī)范不變。在電磁規(guī)范場理論中,，作用傳播子是光子,，光子正好本來就沒有靜止質(zhì)量。但是,，強(qiáng)相互作用不同于電磁力,，電磁力是遠(yuǎn)程力，強(qiáng)弱相互作用都是短程力,，短程力的傳播粒子一定有質(zhì)量,，這便是泡利當(dāng)時所提出的問題。這個質(zhì)量的難題,，讓規(guī)范理論默默等待了20年,。

從上一篇的介紹可知，之后的希格斯機(jī)制（Higgs Mechanism）,，解決了這個質(zhì)量問題,。

當(dāng)年楊-米爾斯理論的原意是要解決強(qiáng)相互作用問題,，盡管這個目的沒有立即達(dá)到，但卻構(gòu)造了一個非阿貝爾規(guī)范場的模型,，為所有已知粒子及其相互作用提供了一個框架和基礎(chǔ),。

史蒂芬·溫伯格（Steven Weinberg，1933-）與謝爾頓·格拉肖（Sheldon Glashow,，1932-）,、及阿卜杜斯·薩拉姆（Abdus Salam，1926-1996）,，用規(guī)范理論解決了弱電統(tǒng)一問題U(1) *SU(2),，由此3人共同獲得了1979年的諾貝爾物理學(xué)獎（見下一篇）。

類似于量子電動力學(xué)（QED），強(qiáng)相互作用可被基于SU(3)規(guī)范對稱性的量子色動力學(xué) （QCD）描述,。因此,，在眾多物理學(xué)家們的努力下，將除了引力之外的電磁及強(qiáng)弱相互作用,，用規(guī)范理論（對稱群U(1) *SU(2)*SU(3)）統(tǒng)一起來,，并在此基礎(chǔ)上建立了我們下一篇將介紹的標(biāo)準(zhǔn)模型。即使是尚未統(tǒng)一到標(biāo)準(zhǔn)模型中的引力,，也完全可以包括進(jìn)經(jīng)典規(guī)范場的理論之中,。

楊-米爾斯規(guī)范理論，不僅僅是物理學(xué)中統(tǒng)一理論的基礎(chǔ),，還頗受數(shù)學(xué)家們的青睞,，對于純粹數(shù)學(xué)的發(fā)展，起到了一定的推動作用,。

規(guī)范場論中的規(guī)范勢,，恰是數(shù)學(xué)家在20世紀(jì)30-40年代以來深入研究過的纖維叢上的聯(lián)絡(luò)。這個聯(lián)系激起了數(shù)學(xué)家對規(guī)范場方程進(jìn)行了許多深入的研究,。

邁克爾·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah,，1929-2019）是黎巴嫩裔英國人，他在1966年榮獲菲爾茲獎（Fields Medal）,，被譽(yù)為當(dāng)代最偉大的數(shù)學(xué)家之一,。

阿蒂亞的早期工作主要集中在代數(shù)幾何領(lǐng)域。70年代后他的興趣轉(zhuǎn)向規(guī)范場論,，著力研究瞬子和磁單極子的數(shù)學(xué)性質(zhì),。他出版的專題文集《楊-米爾斯場的幾何學(xué)》（Geometryof Yang-Mills Fields），使眾多數(shù)學(xué)家對規(guī)范場日益重視,。近30年來,，在量子場論和弦理論的研究中，他對低維拓?fù)浜蜔o窮維流形幾何的研究,，深刻影響了愛德華·威滕（EdwardWitten,，1951-）等數(shù)學(xué)物理學(xué)家。

1990年的國際數(shù)學(xué)家大會有四位菲爾茲獎獲獎?wù)撸和?、德林菲爾德（V.Drinfel'd,，1954-）、瓊斯（Vaughan Jones,，1952-2020）,、森重文（Shigffumi Mori，1951-）,。除了森重文,，其他三人的工作都和楊-米爾斯場有關(guān),。其中，威滕是理論物理學(xué)家,，對物理統(tǒng)一理論做出了杰出的貢獻(xiàn),，我們將于以后介紹他對弦論的杰出貢獻(xiàn)。