人類(lèi)空間充滿(mǎn)了流體

“大部分宇宙充滿(mǎn)著類(lèi)型不一的流體,，”對(duì)流體動(dòng)力學(xué)有特別興趣的美國(guó)Haverford學(xué)院物理教授Jerry Gollub說(shuō)，“它們的重要性體現(xiàn)在天體物理,、工程,、醫(yī)藥、健康,、化學(xué),、地球物理等眾多學(xué)科里。流體運(yùn)動(dòng)構(gòu)成多尺度意義下的自然現(xiàn)象,，具有影響社會(huì)的許多應(yīng)用,?！?/p>

人們對(duì)流體的迷戀歷史悠久。流體的代表物水具有如此多樣的能力——屈服卻強(qiáng)大,、包容卻自由,、寧?kù)o、混亂,、甚而憤怒——已經(jīng)激勵(lì)一代代詩(shī)人和科學(xué)家；流體的科學(xué)研究可以追溯到阿基米德,，或可能更早些,。今天科學(xué)家研究所有的流體，包括氣體,、顆粒狀流體,、粘性流體及彈性流體。應(yīng)用范圍從納米技術(shù)的微觀流體用途,，到了解血液流動(dòng),、眼淚的形成、空氣動(dòng)力學(xué),、預(yù)測(cè)天氣模式,，以至了解外層空間的氣體云行為。關(guān)于流體流動(dòng)本質(zhì)的問(wèn)題比比皆是,?！傲黧w動(dòng)力學(xué)不像基本粒子物理那樣被幾個(gè)特殊問(wèn)題所左右，”Gollub說(shuō),?！傲黧w動(dòng)力學(xué)中包含著巨大的多樣性?！?/p>

雖然流體力學(xué)的許多研究由應(yīng)用驅(qū)動(dòng),，但很有意思的是它同樣存在著一些需要回答的根本問(wèn)題。其中最基本的問(wèn)題——數(shù)學(xué)上如何最佳刻畫(huà)流體的流動(dòng)——在最一般情形下仍然未被解答,。當(dāng)流體平滑地流過(guò)一個(gè)通道時(shí),，相關(guān)的數(shù)學(xué)刻畫(huà)沒(méi)有問(wèn)題。但是你怎樣對(duì)付混沌的甚至湍急的流動(dòng),，比如說(shuō)急促的山澗激流,？

傳統(tǒng)處理

圖1：二維流體的速度向量場(chǎng)示意圖。藍(lán)色和紅色分別表示正時(shí)針和反時(shí)針旋轉(zhuǎn),。給定的磁場(chǎng)和電流導(dǎo)致了流體的運(yùn)動(dòng),。

為設(shè)置場(chǎng)景，我們先來(lái)看看關(guān)于流體流動(dòng)的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)處理,。想象在某個(gè)容器內(nèi)運(yùn)動(dòng)著的一種流體,，你想描繪它在一個(gè)時(shí)間段內(nèi)的運(yùn)動(dòng),。這個(gè)運(yùn)動(dòng)的最重要的描繪物是空間中每一點(diǎn)(x,y,z)和時(shí)間上每一點(diǎn)t的流體速度。速度是向量,；它的方向表示了流體的流動(dòng)方向,，而它的大小則是流體的速度值。因?yàn)榭臻g和時(shí)間是連續(xù)的,，一個(gè)完整的描述將需要無(wú)窮多個(gè)向量,，在每個(gè)位置和每個(gè)時(shí)刻都要有一個(gè)?？臻g點(diǎn)(x,y,z)和時(shí)刻t相應(yīng)的速度向量函數(shù)v(x,y,z,t)稱(chēng)為一個(gè)速度場(chǎng),。

在某些情況下，19世紀(jì)初期法國(guó)工程師與物理學(xué)家Claude-Louis Navier和英國(guó)數(shù)學(xué)家George Gabriel Stokes共同建立的流體運(yùn)動(dòng)的納維-斯托克斯(Navier-Stokes)方程可用來(lái)得到速度場(chǎng),。他們的方程基于質(zhì)量與動(dòng)量守恒律,，將不同位置和不同時(shí)刻的速度變化聯(lián)系起來(lái)。因?yàn)檫@些方程包含了變化率,，以導(dǎo)數(shù)的方式成形,，因此被稱(chēng)為偏微分方程組。這些方程組在給定條件下的解（假如存在并能被找到）恰恰就是可能的速度向量函數(shù)v(x,y,z,t),。

上述描述僅是理論刻畫(huà),，但實(shí)際情形并非那么簡(jiǎn)單。偏微分方程組一般難以求解,，尤其當(dāng)它們是非線(xiàn)性的時(shí)候,，納維-斯托克斯方程也不例外。在某些簡(jiǎn)單情形下,，有可能得到解析解,，即能顯式寫(xiě)下來(lái)的解，但在眾多物理上有趣的情形下,，例如湍流,，解析解根本得不到。更有甚者,，沒(méi)人知道一般情形下三維不可壓縮流體有物理意義的解是否存在,。這里“不可壓縮”表示流體的密度處處相同，數(shù)學(xué)上即流體速度場(chǎng)的散度處處為0,。事實(shí)上,，納維-斯托克斯方程通解的存在性證明是數(shù)學(xué)上最重要的問(wèn)題之一；美國(guó)的克萊數(shù)學(xué)研究所(Clay Mathematics Institute)為此懸賞了一百萬(wàn)美元的獎(jiǎng)金,。

看到包括飛機(jī)制造在內(nèi)的眾多現(xiàn)代工程都依賴(lài)于流體動(dòng)力學(xué),，這些理論上的不完善似乎令人擔(dān)憂(yōu)。然而,為了實(shí)際目的,，科學(xué)家和工程師利用理論方法,、計(jì)算機(jī)模擬和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)在時(shí)空上來(lái)近似速度場(chǎng),。數(shù)值方法得到的計(jì)算結(jié)果效果很好，但需要的計(jì)算能力是非常巨大的,。設(shè)想你要描繪一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的立方體中的流體運(yùn)動(dòng),，你想知道間距為1毫米的速度，計(jì)算時(shí)在每根數(shù)軸上你必須給出100個(gè)數(shù)點(diǎn),。你有三個(gè)數(shù)軸,，故在時(shí)間的每一個(gè)時(shí)刻你總共必須指定一百萬(wàn)個(gè)數(shù)。這樣面臨著計(jì)算機(jī)儲(chǔ)存和運(yùn)算速度的需求,。假設(shè)這點(diǎn)可以得到滿(mǎn)足,，但對(duì)于這么多數(shù)據(jù)你能做什么呢？大量的變量即使是高速計(jì)算機(jī)處理也會(huì)變得困難,。很多科學(xué)家并不欣賞蠻力的數(shù)值方法，因?yàn)檫@種處理方式完全談不上優(yōu)雅,。問(wèn)題是有描述流體流動(dòng)的更好方法嗎,？

新思想

圖2：實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的渦的結(jié)構(gòu)，這是一種規(guī)則渦的情形,。
圖3：規(guī)則的渦的形狀遭到破壞,，導(dǎo)致了不可預(yù)測(cè)的混沌狀的空間結(jié)構(gòu)。

Gollub相信試驗(yàn)揭示隱藏模式的力量,，正是試驗(yàn)使得他和耶魯大學(xué)的合作者Nicholas Ouellette得到他們的新發(fā)現(xiàn),。在流體動(dòng)力學(xué)里描述湍流是個(gè)圣杯的東西。作為湍流的某種前兆,，Ouellette和Gollub已經(jīng)提出了時(shí)空混沌的問(wèn)題,。展現(xiàn)時(shí)空混沌的流體在空間里是無(wú)序的，并在時(shí)間上也是不可預(yù)測(cè)的,，也就是說(shuō)流體目前狀態(tài)的知識(shí)并不能讓下一個(gè)瞬間可預(yù)測(cè),。相反，我們預(yù)測(cè)未來(lái)的能力隨著時(shí)間的推移逐漸變得不準(zhǔn)確,，而這種不確定性依時(shí)間推移指數(shù)式地增加,。另一方面，雖然該行為是復(fù)雜的,，但它還不像“強(qiáng)湍流”那么野性,，后者許多尺度（所有尺寸的渦流）的運(yùn)動(dòng)同時(shí)出現(xiàn)?！拔覀円呀?jīng)感興趣于研究由漩渦集合組成的流動(dòng)或流通區(qū)域,”Gollub說(shuō),。這樣的流動(dòng)能展示時(shí)空混沌?！澳阍鯓佑行У孛枥L這樣的流動(dòng),？你真的如傳統(tǒng)上做的那樣需要整個(gè)的速度場(chǎng)信息,，或用更簡(jiǎn)單的東西達(dá)到目的？”

在他們的試驗(yàn)中,，Ouellette和Gollub考慮一層薄薄的導(dǎo)電流體,，在那里所有流體活動(dòng)發(fā)生在一個(gè)水平面上。為跟蹤流體,，他們把成千上萬(wàn)的熒光聚苯乙烯示蹤粒子放進(jìn)流體,。然后他們用磁鐵和電流讓流體流動(dòng)，并生成了一個(gè)漩渦圖案,。通過(guò)改變電流,，他們能夠控制流動(dòng)的復(fù)雜性：對(duì)小驅(qū)動(dòng)電流，漩渦停留在固定的位置上（見(jiàn)圖2）,，而當(dāng)電流大些時(shí),，這些漩渦掙脫出來(lái)，不可預(yù)測(cè)地移來(lái)移去,。這就形成了一種混沌狀態(tài),。“隨著時(shí)間的推移,，漩渦以一種極不規(guī)則的方式運(yùn)動(dòng),。十秒鐘后的模式與之前的看上去完全不同，并且似乎從不重復(fù)自己,?！保ㄒ?jiàn)相關(guān)視頻1）

圖4：在橢圓點(diǎn)和雙曲點(diǎn)附近的流體流動(dòng)。

英美的這個(gè)研究小組不是通過(guò)在大量的點(diǎn)上測(cè)量速度來(lái)描述這個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng),，而是決定尋找刻畫(huà)整個(gè)流動(dòng)的幾何特征,。他們感興趣于兩類(lèi)特殊點(diǎn)的集合：那些稱(chēng)為橢圓點(diǎn)的位于漩渦中心的點(diǎn)以及雙曲點(diǎn)或鞍點(diǎn)（見(jiàn)圖4）；后者這些點(diǎn)流入時(shí)沿著一個(gè)方向收斂而流出時(shí)則沿著另一個(gè)方向發(fā)散,。橢圓點(diǎn)讓流線(xiàn)圍著它們旋轉(zhuǎn),，而雙曲點(diǎn)可導(dǎo)致各種復(fù)雜現(xiàn)象，比如在四個(gè)漩渦相遇之點(diǎn),，其相鄰漩渦對(duì)以不同方向旋轉(zhuǎn),。這些類(lèi)型的點(diǎn)告訴你，在給定的時(shí)間點(diǎn),，哪里漩渦居中,，哪里漩渦將結(jié)束而新的漩渦將開(kāi)始。問(wèn)題是這些信息可充分刻畫(huà)整個(gè)流動(dòng)嗎,？

還有一個(gè)問(wèn)題：如何找到這些特殊點(diǎn),？一個(gè)可能性是找速度為零的點(diǎn)，但這很難精確做到,。但是Ouellette有一個(gè)聰明的想法,。他發(fā)現(xiàn)靠近橢圓點(diǎn)示蹤粒子以非常小的圓圈流通,，而靠近雙曲點(diǎn)它們則以尖角相轉(zhuǎn)。在這兩種情況下,，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)出非常大的曲率,。這樣微分幾何的思想就可以派上用場(chǎng)了。通過(guò)測(cè)量示蹤粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡的曲率,，就可以給出找到這些特殊點(diǎn)的一個(gè)可靠方式,。

相關(guān)視頻1

湍流的生與滅

圖5：流體流動(dòng)中的特殊點(diǎn)。圓圈代表橢圓點(diǎn),，
而加號(hào)代表雙曲點(diǎn),。

一旦找到了特殊點(diǎn)，通過(guò)跟蹤它們隨時(shí)間推移的行為,，學(xué)者們發(fā)現(xiàn)了一些令人驚奇的模式,。最有趣的現(xiàn)象是這些特殊點(diǎn)能生能滅，并且成對(duì)地出現(xiàn)或消失,。 Gollub解釋道,，“雙曲點(diǎn)和橢圓點(diǎn)可互相消滅對(duì)方，使其在該區(qū)域不留下特別的功能,。同時(shí)也有相反的事情發(fā)生：一個(gè)雙曲點(diǎn)和一個(gè)橢圓點(diǎn)一起生成。這是非常驚人的,?！保ㄒ?jiàn)圖5和相關(guān)視頻2）

盡管令人驚奇，但它能告訴我們關(guān)于系統(tǒng)有用的東西嗎,？學(xué)者們使用不同的驅(qū)動(dòng)電流來(lái)反復(fù)試驗(yàn),，并在每個(gè)強(qiáng)度下測(cè)量特殊點(diǎn)的生滅頻率。他們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有趣的相關(guān)性：特殊點(diǎn)的發(fā)生率原來(lái)是流動(dòng)中混沌烈度的一個(gè)極好測(cè)量,。流體的典型速度可以由一個(gè)叫雷諾數(shù)的量來(lái)測(cè)量(參考 The buzz of the bumblebees ),。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，一旦通過(guò)某個(gè)臨界值,，特殊點(diǎn)生滅頻率的增長(zhǎng)速度線(xiàn)性依賴(lài)于雷諾數(shù),。更進(jìn)一步的觀察發(fā)現(xiàn)，該速率與其它關(guān)于時(shí)空混沌強(qiáng)度的測(cè)度相關(guān)得很好,。換言之,，特殊點(diǎn)的生滅率為時(shí)空混沌狀態(tài)的一個(gè)典型特征。

橢圓和雙曲點(diǎn)似乎也闡明關(guān)于流體流動(dòng)的另一個(gè)重要問(wèn)題,，即混沌是否突然出現(xiàn)或逐步發(fā)展,。Ouellette和Gollub的實(shí)驗(yàn)可以測(cè)定臨界雷諾數(shù)，這個(gè)臨界數(shù)能夠確定特殊點(diǎn)的生與滅,，也就是時(shí)空混沌的起始點(diǎn),。在略低的雷諾數(shù)下,，流體可能是弱依賴(lài)于時(shí)間，即弱不可預(yù)測(cè)的,。Gollub說(shuō)：“由于時(shí)空混沌的起始基本上是強(qiáng)大不可預(yù)測(cè)性的,，所以了解流體不同狀態(tài)間的區(qū)別，是了解混沌的一個(gè)極重要的環(huán)節(jié),?！?/p>

圖6：在混沌流中的橢圓點(diǎn)和雙曲點(diǎn)的路徑。重要的問(wèn)題是這些路徑能夠被數(shù)學(xué)描述嗎,？

Gollub和Ouellette的結(jié)論是實(shí)驗(yàn)和復(fù)雜數(shù)學(xué)思想的一個(gè)有趣的聯(lián)姻,，并且是在一個(gè)重要的方向上的充滿(mǎn)希望的第一步：用相對(duì)小數(shù)目的幾何特征來(lái)描述異常復(fù)雜的物理現(xiàn)象。但還有許多需要做的事情,?！拔覀冞€未能以一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)方式來(lái)表達(dá)我們的研究結(jié)果。例如,，隨著時(shí)間的推移,，我們的特殊點(diǎn)徘徊在周?chē)臻g內(nèi)形成復(fù)雜糾纏的路徑（見(jiàn)圖6）。我們希望能用描述這些軌跡的方程來(lái)表達(dá)相關(guān)的流體動(dòng)力學(xué),，至少在統(tǒng)計(jì)的意義上可以做到,。這是一個(gè)我們還沒(méi)有達(dá)到的目標(biāo)，并且我們甚至不知道是否有可能做到這一點(diǎn),?！?

能夠用一組描述幾何特征的簡(jiǎn)單方程來(lái)取代流體運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典納維-斯托克斯方程，這一遠(yuǎn)景會(huì)激發(fā)許多流體動(dòng)力學(xué)家,。所以,，Ouellette和Gollub的發(fā)現(xiàn)是否為一場(chǎng)革命？Gollub留有余地地說(shuō),，這是一條“值得走的研究之路,，我們?cè)陬A(yù)測(cè)科學(xué)或數(shù)學(xué)的進(jìn)步意義方面通常很差勁。我不知道我們的工作是否會(huì)被證明是重要的,，但這不是我們工作的動(dòng)機(jī),。我們這樣做是因?yàn)樗怯腥さ模且驗(yàn)樵谖覀冋谘芯康男螤詈托问街杏畜w現(xiàn)物理美的東西,，有體現(xiàn)物理現(xiàn)象和數(shù)學(xué)之間有益結(jié)合的元素,。它變得有用是我們期望的，但不是期待的,?！?/p>

相關(guān)視頻2