原題

原題：如圖,，在△ABC中,，AB=3，AC=2,，∠BAC=60度,，D，E分別是邊AB,，AC上的點(diǎn),，AE=1,，且向量AD·向量AE=1/2，則|AD|=,？

若P是線段DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),，則向量BP·向量CP的最小值為多少？

圖一

這道題主要是求兩個(gè)動(dòng)向量乘積的最小值,，相當(dāng)是兩個(gè)變量求最小值的情況,。

對于這樣的題在求不等式的時(shí)候我們是常見的，但一般都是通過不等式的變形將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化成一個(gè)變量的形式去求其最小值,。

這里也存在同樣的思想——將兩個(gè)變量轉(zhuǎn)化成一個(gè)變量的形式,。

但是唯一不同的是不等式將兩個(gè)變化轉(zhuǎn)化的過程中，有明確的已知條件和使用的基本不等式,，而在向量中就似乎看不到什么已知和使用的公式,，其實(shí)它們都是存在的。

下面就講解的過程詳細(xì)地說明該題的解法,。

第一問

第一問是求向量AD的模長,，即線段AD的長度。

這一問比較簡單,，只需要找到關(guān)于AD的關(guān)系式進(jìn)行求解即可,。

因?yàn)橄蛄緼D·向量AE=1/2，且向量AD·向量AE=|AD|·|AE|·cos∠BAC,，所以|AD|·|AE|·cos∠BAC=1/2.

因?yàn)锳E=1,，∠BAC=60度，所有|AD|·1·cos60度=1/2,，解得到|AD|=1,。

在三角形ADE中，根據(jù)余弦定理DE=1,，所以三角形ADE是等邊三角形,。

第二問

第二問是求動(dòng)向量BP和動(dòng)向量CP的乘積的最小值。

其實(shí)求向量乘積的最小值和其他函數(shù)求最小值的情況基本相同,。

向量中隱藏的公式就是向量三角形的加法法則和向量平行四邊形加法法則,，這些法則就是將向量轉(zhuǎn)化的工具。

圖二

因?yàn)橄蛄緽P和向量CP是動(dòng)向量,，要想求它們乘積的最小值,，就要將其轉(zhuǎn)化。

在三角形BDP中,，根據(jù)向量三角形加法法則有向量BP=向量BD+向量DP,；

在三角形CEP中，根據(jù)向量三角形加法法則有向量CP=向量CE+向量EP。

所以向量BP·向量CP=(向量BD+向量DP)(向量CE+向量EP)

=向量BD·向量CE+向量BD·向量EP+向量DP·向量CE+向量DP·向量EP

因?yàn)橄蛄緽D和向量CE的夾角就是∠BAC,，因?yàn)椤螧AC=60度,，所以向量BD和向量CE的夾角就是60度，因?yàn)锳B=3,，AC=2,，AE=1，由第一問知AD=1,，所以BD=2,，CE=1，所以向量BD·向量CE=|BD|·|CE|·cos∠BAC=2×1×1/2=1,；

因?yàn)橄蛄緽D和向量EP的夾角是∠BDE,，因?yàn)椤螧DE是三角形ADE的外角，且三角形ADE是等邊三角形,，所以∠BDE=120度,，BD=2，所以向量BD·向量EP=|BD|·|EP|·cos∠BDE=－|EP|,；

因?yàn)橄蛄緿P和向量CE的夾角是∠DEC,，∠DEC也是三角形ADE的外角，所以∠DEC=120度,，且CE=1,，所以向量DP·向量CE=|DP|·|CE|·cos∠DEC=－|DP|/2；

因?yàn)橄蛄緿P和向量EP是兩個(gè)反向向量,，所以向量DP·向量EP=－|DP|·|EP|,。

綜上所述，向量BP·向量CP=1－|EP|－|DP|/2－|DP|·|EP|.

因?yàn)閨EP|+|DP|=|DE|=1,，所以上述的“向量BP·向量CP=1－|EP|－|DP|/2－|DP|·|EP|”中的兩個(gè)變量|EP|和|DP|的和是定值,，所以就可以通過這個(gè)定值，將等式“向量BP·向量CP=1－|EP|－|DP|/2－|DP|·|EP|”轉(zhuǎn)化成一個(gè)變量的形式,。

圖三

設(shè)|DP|=x,，則|EP|=1－x，0<x<1,。< p="">

所以向量BP·向量CP=1－|EP|－|DP|/2－|DP|·|EP|=1－1+x－x/2－(1－x)x=x^2－x/2=x^2－x/2+(1/4)^2－(1/4)^2=(x－1/4)^2－1/16.

即,，當(dāng)x=1/4時(shí),，向量BP·向量CP取最小值－1/16.

總結(jié)

對于向量很多同學(xué)都不是很理解,，甚至不知道該如何入手，其實(shí)向量也和實(shí)數(shù)一樣都有自己轉(zhuǎn)化的公式和對應(yīng)的關(guān)系,，要想學(xué)好向量就要將向量中存在的所有的公式熟練的掌握并能運(yùn)用到計(jì)算之中,。

向量題中的很多思路都和實(shí)數(shù)之間的運(yùn)算思路是相同，例如，遇到動(dòng)向量就要將動(dòng)向量通過向量公式轉(zhuǎn)化成定量的形式去計(jì)算,。

在△ABC中有向量GA+向量GB+向量GC=0向量能得出一個(gè)什么樣的已知,？

高中：向量簡單的加法隱藏著什么已知條件？往往是解題的關(guān)鍵,！

若向量AP=λ·向量AB+μ·向量AD求λ+μ最大值,？關(guān)鍵λ+μ用向量咋表示？

向量m=(c－a,sinB),n=(b－a,sinA+sinC)求sinA,？四個(gè)常用重要知識(shí)點(diǎn)

在△ABC中若向量AB·AC=9AO·EC求模AB=λAC,？不知這些就得不出已知