立體幾何關(guān)于線面夾角或者面面夾角的問題，通常有兩種常用的解法,，一種是通過建立坐標(biāo)系，用向量的知識解。這種方法套路性很強(qiáng),，掌握之后,，相當(dāng)于手握一把解決此類問題的萬能鑰匙。另一種當(dāng)然是幾何法了,，找到該夾角,，在夾角所在的直角三角形中，利用三角函數(shù)的基本概念解決起來,，可能更加簡便,。幾何法的主要難點(diǎn)在于找到這個(gè)夾角。通常受限于空間想象力,，這個(gè)夾角都很難被找到,。或者找到了,，又很難湊足求解的條件,。

那么底是建系向量法好，還是幾何法好呢,？其實(shí)這個(gè)問題并不矛盾的,。因?yàn)榻ㄏ迪蛄糠ǎ枰业揭粋€(gè)適合建系的點(diǎn),，作為原點(diǎn),，還需要三條“兩兩 互相垂直”的直線，作為空間坐標(biāo)系的三條軸,。因此,，我們在找建系的位置時(shí)，大可以同時(shí)找一找,，這個(gè)夾角,。如果發(fā)現(xiàn)這個(gè)夾角太難找到，就立即放棄幾何法,，專心攻破建系向量法,。如果夾角很容易找到，又何必去建立坐標(biāo)系呢,？比如下面這道2022高考數(shù)學(xué)理科全國甲卷的立體幾何問題,，它的線面夾角就非常容易找到。只是找到了,，你未必能意識到,，它就是你要找的線面夾角。這是怎么回事呢,？我們先來看題吧,！

在四棱錐P-ABCD中,，PD⊥底面ABCD，CD//AB, AD=DC=CB=1,，AB=2,，DP=根號3.

(1)證明：BD⊥PA；

(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

分析：(1)運(yùn)用逆向思維,，想要證明BD垂直于PA,，可以通過證明BD垂直于平面PAD，而PD垂直于BD,，所以只要證明BD垂直于AD就可以了,。為此，需要取AB的中點(diǎn)E,，并連接CE,，DE，就可以得到菱形BCDE,，和平行四邊形ADCE,，從而證明AD垂直于BD了。

(2)如果建系的話,，就以D為原點(diǎn),，BD為x軸，AD為y軸,，PD為z軸,。也是挺直接的。不過PD和平面PAB的線面夾角也是很容易找到的,。只要取AE的中點(diǎn)F,，即AB靠近A點(diǎn)的那個(gè)四等分點(diǎn)。連接DF和PF,，那么,，角DPF就是我們要找的線面夾角。

這是因?yàn)槿切蜛DE易證一個(gè)等腰三角形,，AE是底邊,，所以DF垂直于AB，又PD垂直于AB,，所以AB垂直于平面PDF,。只要過D作DG垂直于PF于點(diǎn)G，那么DG就同時(shí)垂直于AB,，也就垂直于平面PAB,，所以角DPF就是PD和平面PAB的線面夾角。因?yàn)樗暇€面夾角的定義,。

然而我們并不需要作出DG來,，因?yàn)槿切蜳DF是直角三角形,，所以我們可以直接求這個(gè)線面夾角的正弦值了。

證明：(1)取AB的中點(diǎn)E,，連接CE,，DE，則

BE=AE=AB/2=1=CD=CB,，又CD//AB,

∴四邊形BCDE是菱形. 四邊形ADCE是平行四邊形，

∴BD⊥CE,，CE//AD, ∴BD⊥AD,

又PD⊥底面ABCD,，BD?底面ABCD，∴BD⊥PD,

∴BD⊥平面ADP,

又PA?平面ADP,，∴BD⊥PA.

(2)取AE的中點(diǎn)F, 連接DF, PF, 則AF=AE/2=1/2.

∠DPF就是PD與平面PAB所成的角.

AD=AE=DE=BC=1, ∴DF=根號3 AF=根號3/2.

PD⊥DF, ∴PF=根號(PD^2+DF^2)=根號15/2.

sin∠DPF=DF/PF=根號5/5.

當(dāng)然,，這不表示建系法不重要，兩種方法我們都要掌握,。老黃再嘗試用建系法解一解,，看看這道題的兩種方法是不是同樣簡便。

(2)方法2：以D為原點(diǎn),，BD為x軸,，AD為y軸，PD為z軸建立坐標(biāo)系,，則

A(0,1,0), P(0,0,根號3),，設(shè)B(b, 0,0)，由根號(b^2+1)=2,，解得b=根號3(舍去負(fù)值).

向量PA=(0,1,-根號3),，向量AB=(根號3,-1,0)，

設(shè)平面PAB的法向量為：n(x,y,z),，

則 y-根號3 z=0, 根號3x-y=0. 取y=根號3,，則z=1, x=1. 【y可以取0之外的任意實(shí)數(shù).】

向量DP=(0,0,根號3)，

記向量n與向量DP的夾角為θ,，則cosθ=n*DP/(|n|*|DP|)=根號3/根號(15)=根號5/5.

即PD與平面PAB所成的角的正弦值為根號5/5.

那么這兩種方法,，你到底更喜歡哪一種呢？