| Er,、應(yīng)用垂線段最短的性質(zhì)求最值:典型例題:例1. (2012山東萊蕪4分)在△ABC中,AB=AC=5,BC=6.若點(diǎn)P在邊AC上移動(dòng),則BP的最小值是▲ . ,。 【分析】如圖,根據(jù)垂直線段最短的性質(zhì),當(dāng)BP′⊥AC時(shí),BP取得最小值,?！ ≡O(shè)AP′=x,則由AB=AC=5得CP′=5-x, 又∵BC=6,∴在Rt△AB P′和Rt△CBP′中應(yīng)用勾股定理,得 ?！ ?即,解得,。 ∴,即BP的最小值是,?！ ?span t='例'>例2.(2012浙江臺(tái)州4分)如圖,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,點(diǎn)P, Q,K分別為線段BC,CD,BD上的任意一點(diǎn),則PK+QK的最小值為【】 A. 1 B. C. 2 D.+1 B?！ ?span t='分'>分析】分兩步分析: (1)若點(diǎn)P,Q固定,此時(shí)點(diǎn)K的位置:如圖,作點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P1,連接P1Q,交BD于點(diǎn)K1?！ ?span t='由'>由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì),得 P1K1= P K1,P1K=PK,。 由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì),得P1K+QK>P1Q= P1K1+Q K1= P K1+Q K1,?！ ?span t='此'>此時(shí)的K1就是使PK+QK最小的位置?！ ?2)點(diǎn)P,Q變動(dòng),根據(jù)菱形的性質(zhì),點(diǎn)P關(guān)于BD的對(duì)稱點(diǎn)P1在AB上,即不論點(diǎn)P在BC上任一點(diǎn),點(diǎn)P1總在AB上,。 因此,根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì),得,當(dāng)P1Q⊥AB時(shí)P1Q最短,?！ ∵^點(diǎn)A作AQ1⊥DC于點(diǎn)Q1?！摺螦=120°,∴∠DA Q1=30°,。 又∵AD=AB=2,∴P1Q=AQ1=AD·cos300=,?！ ?span t='綜'>綜上所述,PK+QK的最小值為。故選B,?！ ?span t='例'>例3.(2012江蘇連云港12分)已知梯形ABCD,AD∥BC,AB⊥BC,AD=1, AB=2,BC=3, 問題1:如圖1,P為AB邊上的一點(diǎn),以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請(qǐng)問對(duì)角線PQ,DC的長(zhǎng)能否相等,為什么? 問題2:如圖2,若P為AB邊上一點(diǎn),以PD,PC為邊作平行四邊形PCQD,請(qǐng)問對(duì)角線PQ的長(zhǎng)是否存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值,如果不存在,請(qǐng)說明理由. 問題3:若P為AB邊上任意一點(diǎn),延長(zhǎng)PD到E,使DE=PD,再以PE,PC 為邊作平行四邊形PCQE,請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值,如果不存在,請(qǐng)說明理由. 問題4:如圖3,若P為DC邊上任意一點(diǎn),延長(zhǎng)PA到E,使AE=nPA(n為常數(shù)),以PE、PB為邊作平行四邊形PBQE,請(qǐng)?zhí)骄繉?duì)角線PQ的長(zhǎng)是否也存在最小值?如果存在,請(qǐng)求出最小值,如果不存在,請(qǐng)說明理由. 【答案】解:問題1:對(duì)角線PQ與DC不可能相等,。理由如下: ∵四邊形PCQD是平行四邊形,若對(duì)角線PQ,、DC相等,則四邊形PCQD是矩形, ∴∠DPC=90°?！ 逜D=1,AB=2,BC=3,∴DC=2,?！ ?span t='設(shè)'>設(shè)PB=x,則AP=2-x, 在Rt△DPC中,PD2+PC2=DC2,即x2+32+(2-x)2+12=8,化簡(jiǎn)得x2 -2x+3=0, ∵△=(-2)2-4×1×3=-8<0,∴方程無解?！ 嗖淮嬖赑B=x,使∠DPC=90°,。∴對(duì)角線PQ與DC不可能相等,?！ 栴}2:存在。理由如下: 如圖2,在平行四邊形PCQD中,設(shè)對(duì)角線PQ與DC相交于點(diǎn)G, 則G是DC的中點(diǎn),?！ ∵^點(diǎn)Q作QH⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于H?！ 逜D∥BC,∴∠ADC=∠DCH,即∠ADP+∠PDG=∠DCQ+∠QCH,。 ∵PD∥CQ,∴∠PDC=∠DCQ,?！唷螦DP=∠QCH?！ ?span t='又'>又∵PD=CQ,∴Rt△ADP≌Rt△HCQ(AAS),。∴AD=HC,?！ 逜D=1,BC=3,∴BH=4, ∴當(dāng)PQ⊥AB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為4?！ ?span t='問'>問題3:存在,。理由如下: 如圖3,設(shè)PQ與DC相交于點(diǎn)G, ∵PE∥CQ,PD=DE,∴?！ 郍是DC上一定點(diǎn),。 作QH⊥BC,交BC的延長(zhǎng)線于H, 同理可證∠ADP=∠QCH,∴Rt△ADP∽R(shí)t△HCQ,?！唷,！ 逜D=1,∴CH=2,。∴BH=BG+CH=3+2=5,?！ ?span t='當(dāng)'>當(dāng)PQ⊥AB時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,即為5?！ ?span t='問'>問題4:如圖3,設(shè)PQ與AB相交于點(diǎn)G, ∵PE∥BQ,AE=nPA,∴,?！ 郍是DC上一定點(diǎn)?！ ∽鱍H∥PE,交CB的延長(zhǎng)線于H,過點(diǎn)C作CK⊥CD,交QH的延長(zhǎng)線于K,。∵AD∥BC,AB⊥BC, ∴∠D=∠QHC,∠DAP+∠PAG=∠QBH+∠QBG=90° ∠PAG=∠QBG, ∴∠QBH=∠PAD,?！唷鰽DP∽△BHQ,∴, ∵AD=1,∴BH=n+1?！郈H=BH+BC=3+n+1=n+4,。 過點(diǎn)D作DM⊥BC于M,則四邊形ABND是矩形,?！ 郆M=AD=1,DM=AB=2?！郈M=BC-BM=3-1=2=DM,。 ∴∠DCM=45°,。∴∠KCH=45°,?！ 郈K=CH·cos45°=(n+4), ∴當(dāng)PQ⊥CD時(shí),PQ的長(zhǎng)最小,最小值為(n+4)?！ ?span t='例'>例4.(2012四川廣元3分)如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B在直線上運(yùn)動(dòng),當(dāng)線段AB最短 時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為【】 A.(0,0) B.(,) C.(,) D.(,) 例5.(2012四川樂山3分)如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=4,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E,、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A,、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過程中,有下列結(jié)論: ?、佟鱀FE是等腰直角三角形; ?、谒倪呅蜟EDF不可能為正方形; ③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化; ?、茳c(diǎn)C到線段EF的最大距離為. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是【】 A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) B,。 【分析】①連接CD(如圖1),?！ 摺鰽BC是等腰直角三角形,∴∠DCB=∠A=45°,CD=AD=DB?！ 逜E=CF,∴△ADE≌△CDF(SAS),?！ 郋D=DF,∠CDF=∠EDA?！ 摺螦DE+∠EDC=90°,∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°,。 ∴△DFE是等腰直角三角形,?！ 」蚀私Y(jié)論正確?！ ,、?span t='當(dāng)'>當(dāng)E、F分別為AC,、BC中點(diǎn)時(shí),∵由三角形中位線定理,DE平行且等于BC,。 ∴四邊形CEDF是平行四邊形,?！ ∮帧逧、F分別為AC,、BC中點(diǎn),AC=BC,∴四邊形CEDF是菱形,。 又∵∠C=90°,∴四邊形CEDF是正方形,?！ 」蚀私Y(jié)論錯(cuò)誤?！ ,、廴?span t='圖'>圖2,分別過點(diǎn)D,作DM⊥AC,DN⊥BC,于點(diǎn)M,N, 由②,知四邊形CMDN是正方形,∴DM=DN?！ ∮散?知△DFE是等腰直角三角形,∴DE=DF,。 ∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL),?！ ?span t='由'>由割補(bǔ)法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積?！ 嗨倪呅蜟EDF的面積不隨點(diǎn)E位置的改變而發(fā)生變化,。 故此結(jié)論錯(cuò)誤,?！ 、苡散?△DEF是等腰直角三角形,∴DE=EF?！ ‘?dāng)DF與BC垂直,即DF最小時(shí),EF取最小值2,。此時(shí)點(diǎn)C到線段EF的最大距離為?！ ?span t='故'>故此結(jié)論正確,。 故正確的有2個(gè):①④,。故選B,。 三,、應(yīng)用軸對(duì)稱的性質(zhì)求最值:典型例題:例1. (2012山東青島3分)如圖,圓柱形玻璃杯高為300px,、底面周長(zhǎng)為450px,在杯內(nèi)離杯底100px的點(diǎn) C處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿100px與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處,則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最 短距離為▲ cm. 【答案】15?！ ?span t='分'>分析】如圖,圓柱形玻璃杯展開(沿點(diǎn)A豎直剖開)后側(cè)面是一個(gè)長(zhǎng)18寬12的矩形,作點(diǎn)A關(guān)于杯上沿MN的對(duì)稱點(diǎn)B,連接BC交MN于點(diǎn)P,連接BM, 過點(diǎn)C作AB的垂線交剖開線MA于點(diǎn)D,。 由軸對(duì)稱的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系知AP+PC為螞蟻到達(dá)蜂蜜 的最短距離,且AP=BP,?！ ∮梢阎途匦?span t='的'>的性質(zhì),得DC=9,BD=12?！ ?span t='在'>在Rt△BCD中,由勾股定理得,。 ∴AP+PC=BP+PC=BC=15,即螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為375px,。例2. (2012甘肅蘭州4分)如圖,四邊形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC,、CD上分別找一點(diǎn)M、N,使△AMN周長(zhǎng)最小時(shí),則∠AMN +∠ANM的度數(shù)為【】 A.130° B.120° C.110° D.100° 【答案】B,。 【分析】根據(jù)要使△AMN的周長(zhǎng)最小,即利用點(diǎn)的對(duì)稱,讓三角形的三邊在同一直線上,作出A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A′,A″,即可得出∠AA′M+∠A″=∠HAA′=60°,進(jìn)而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A″)即可得出答案:如圖,作A關(guān)于BC和ED的對(duì)稱點(diǎn)A′,A″,連接A′A″,交BC于M,交CD 于N,則A′A″即為△AMN的周長(zhǎng)最小值,。作DA延長(zhǎng)線AH,。 ∵∠BAD=120°,∴∠HAA′=60°,?！ 唷螦A′M+∠A″=∠HAA′=60°?！ 摺螹A′A=∠MAA′,∠NAD=∠A″, 且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN, ∠NAD+∠A″=∠ANM, ∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2(∠AA′M+∠A″)= 2×60°=120°,。 故選B,?！ ±?. (2012福建莆田4分)點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上,建立平面直角 坐標(biāo)系如圖所示.若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn),Q是y軸上使得QA十QB 的值最小的點(diǎn), 則=▲. 【答案】5?！ 痉治觥窟B接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P,作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′連接A′B交y軸于點(diǎn)Q,求出點(diǎn)Q與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可得出結(jié)論: 連接AB并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P, 由三角形的三邊關(guān)系可知,點(diǎn)P即為x軸上使得|PA-PB|的值最大的點(diǎn),。 ∵點(diǎn)B是正方形ADPC的中點(diǎn), ∴P(3,0)即OP=3,?！ ?span t='作'>作A點(diǎn)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A′連接A′B交y軸于點(diǎn)Q,則A′B即為QA+QB的最小值?！ 逜′(-1,2),B(2,1), 設(shè)過A′B的直線為:y=kx+b, 則,解得,。∴Q(0,),即OQ=,?！ 郞P·OQ=3×=5?！ ?span t='例'>例4. (2012四川攀枝花4分)如圖,正方形ABCD中,AB=4,E是BC的中點(diǎn),點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn),則PE+PB的最小值為▲ . 【答案】,。 【分析】連接DE,交BD于點(diǎn)P,連接BD,?！ ?span t='點(diǎn)'>點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于AC對(duì)稱,∴DE的長(zhǎng)即為PE+PB的最小值?！ 逜B=4,E是BC的中點(diǎn),∴CE=2,。 在Rt△CDE中,,?！ ±?. (2012廣西貴港2分)如圖,MN為⊙O的直徑,A、B是O上的兩點(diǎn),過A作AC⊥MN于點(diǎn)C, 過B作BD⊥MN于點(diǎn)D,P為DC上的任意一點(diǎn),若MN=20,AC=8,BD= 6,則PA+PB的最小值是 ▲,?！ ?span t='答'>答案】14?！ 痉治觥俊進(jìn)N=20,∴⊙O的半徑=10,。 連接OA,、OB, 在Rt△OBD中,OB=10,BD=6, ∴OD===8,。 同理,在Rt△AOC中,OA=10,AC=8, ∴OC===6,?！ 郈D=8+6=14?！ ?span t='作'>作點(diǎn)B關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)B′,連接AB′,則AB′即為PA+PB的最小值,B′D= BD=6,過點(diǎn)B′ 作AC的垂線,交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,?！ ≡赗t△AB′E中,∵AE=AC+CE=8+6=14,B′E=CD=14, ∴AB′===14?！ ?span t='例'>例6. (2012湖北十堰6分)閱讀材料: 例:說明代數(shù)式的幾何意義,并求它的最小值. 解:,如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,點(diǎn)P(x,0)是x軸上一點(diǎn),則可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)A(0,1)的距離,可以看成點(diǎn)P與點(diǎn)B(3,2)的距離,所以原代數(shù)式的值可以看成線段PA與PB長(zhǎng)度之和,它的最小值就是PA+PB的最小值. 設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′,則PA=PA′,因此,求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而點(diǎn)A′,、B間的直線段距離最短,所以PA′+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)度.為此,構(gòu)造直角三角形A′CB,因為A′C=3,CB=3,所以A′B=3,即原式的最小值為3?！ 「鶕?jù)以上閱讀材料,解答下列問題: (1)代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A(1,1),、點(diǎn) B 的距離之和.(填寫點(diǎn)B的坐標(biāo)) (2)代數(shù)式的最小值為. 【答案】解:(1)(2,3)?！ ?2)10,。 【分析】(1)∵原式化為的形式, ∴代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A (1,1),、點(diǎn)B(2,3)的距離之和,。 (2)∵原式化為的形式, ∴所求代數(shù)式的值可以看成平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)P(x,0)與點(diǎn)A(0,7),、點(diǎn)B(6,1) 的距離之和,。 如圖所示:設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′,則PA=PA′, ∴求PA+PB的最小值,只需求PA′+PB的最小值,而點(diǎn)A′,、B 間的直線段距離最短,。 ∴PA′+PB的最小值為線段A′B的長(zhǎng)度,?！ 逜(0,7),B(6,1),∴A′(0,-7),A′C=6,BC=8?！ ?。 四,、應(yīng)用二次函數(shù)求最值:典型例題: 例1. (2012四川自貢4分)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為25px,M,、N分別是BC.CD 上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且始終保持AM⊥MN,當(dāng)BM= ▲ cm時(shí),四邊形ABCN 的面積最大,最大面積為▲ cm2. 【答案】,?！ ?span t='分'>分析】設(shè)BM=xcm,則MC=1﹣xcm, ∵∠AMN=90°,∠AMB+∠NMC=90°,∠NMC+∠MNC=90°,∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC,。 ∴△ABM∽△MCN,∴,即,解得CN=x(1﹣x),。 ∴,?！ ?lt;0,∴當(dāng)x=cm時(shí),S四邊形ABCN最大,最大值是cm2?！ ±?.(2012江蘇揚(yáng)州3分)如圖,線段AB的長(zhǎng)為2,C為AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分 別以AC,、BC為斜邊在AB的同側(cè)作兩個(gè)等腰直角三角形△ACD和△BCE,那么DE長(zhǎng)的最小值是▲. 【答案】1。 【分析】設(shè)AC=x,則BC=2-x, ∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形, ∴∠DCA=45°,∠ECB=45°,DC=,CE=,?！ 唷螪CE=90°?！ 郉E2=DC2+CE2=()2+[]2=x2-2x+2=(x-1)2+1,。 ∴當(dāng)x=1時(shí),DE2取得最小值,DE也取得最小值,最小值為1,?！ ±?.(2012寧夏區(qū)10分)在矩形ABCD中,AB=2,AD=3,P是BC上的任意一點(diǎn)(P與B、C不重合),過點(diǎn)P作AP⊥PE,垂足為P,PE交CD于點(diǎn)E. (1)連接AE,當(dāng)△APE與△ADE全等時(shí),求BP的長(zhǎng); (2)若設(shè)BP為x,CE為y,試確定y與x的函數(shù)關(guān)系式,。當(dāng)x取何值時(shí),y的值最大?最大值是多少? (3)若PE∥BD,試求出此時(shí)BP的長(zhǎng). 【答案】解:(1)∵△APE≌△ADE,∴AP=AD=3,。 在Rt△ABP中,AB=2,∴BP=,?！ ?2)∵AP⊥PE,∴Rt△ABP∽R(shí)t△PCE?！ ?即,。∴,?！ 摺 喈?dāng)時(shí),y的值最大,最大值是?！ ?2)設(shè)BP=x, 由(2)得,。 ∵PE∥BD,,∴△CPE∽△CBD,?！ ?即, 化簡(jiǎn)得?！ 〗獾没?不合題意,舍去),。 ∴當(dāng)BP= 時(shí),PE∥BD,?！ ?span t='例'>例4.(2012廣東廣州14分)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=5,BC=10, F為AD的中點(diǎn),CE⊥AB于E,設(shè)∠ABC=α(60°≤α<90°). (1)當(dāng)α=60°時(shí),求CE的長(zhǎng); (2)當(dāng)60°<α<90°時(shí), ①是否存在正整數(shù)k,使得∠EFD=k∠AEF?若存在,求出k的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. ?、?span t='連'>連接CF,當(dāng)CE2﹣CF2取最大值時(shí),求tan∠DCF的值. 【答案】解:(1)∵α=60°,BC=10,∴sinα=,即sin60°=,解得CE=,。 (2)①存在k=3,使得∠EFD=k∠AEF,。理由如下: 連接CF并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G, ∵F為AD的中點(diǎn),∴AF=FD,?！ ≡谄叫兴倪呅蜛BCD中,AB∥CD,∴∠G=∠DCF?！ ?span t='在'>在△AFG和△CFD中, ∵∠G=∠DCF,∠G=∠DCF,AF=FD, ∴△AFG≌△CFD(AAS),。∴CF=GF,AG=CD,?！ 逤E⊥AB,∴EF=GF?！唷螦EF=∠G,。 ∵AB=5,BC=10,點(diǎn)F是AD的中點(diǎn),∴AG=5,AF=AD=BC=5,?！郃G=AF?！唷螦FG=∠G,。 在△AFG中,∠EFC=∠AEF+∠G=2∠AEF, 又∵∠CFD=∠AFG,∴∠CFD=∠AEF,?！ 唷螮FD=∠EFC+∠CFD=2∠AEF+∠AEF=3∠AEF, 因此,存在正整數(shù)k=3,使得∠EFD=3∠AEF?！ ,、?span t='設(shè)'>設(shè)BE=x,∵AG=CD=AB=5,∴EG=AE+AG=5﹣x+5=10﹣x, 在Rt△BCE中,CE2=BC2﹣BE2=100﹣x2?！ ?span t='在'>在Rt△CEG中,CG2=EG2+CE2=(10﹣x)2+100﹣x2=200﹣20x,。 ∵CF=GF(①中已證),∴CF2=(CG)2=CG2=(200﹣20x)=50﹣5x,?！ 郈E2﹣CF2=100﹣x2﹣50+5x=﹣x2+5x+50=﹣(x﹣)2+50+?！ ?span t='當(dāng)'>當(dāng)x=,即點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)時(shí),CE2﹣CF2取最大值,。 此時(shí),EG=10﹣x=10﹣,CE=, ∴,?！ ?span t='例'>例5.(2012江蘇鎮(zhèn)江11分)等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,P是BC邊上的任一點(diǎn)(與B、C不重合),連接AP,以AP為邊向兩側(cè)作等邊△APD和等邊△APE,分別與邊AB,、AC交于點(diǎn)M,、N(如圖1)?！ ?1)求證:AM=AN; (2)設(shè)BP=x,。 ?、?span t='若'>若,BM=,求x的值; ?、谟浰倪呅蜛DPE與△ABC重疊部分的面積為S,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及S的最小值; ③連接DE,分別與邊AB,、AC交于點(diǎn)G,、H(如圖2),當(dāng)x取何值時(shí),∠BAD=150?并判斷此時(shí)以DG、GH,、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是什么特殊三角形,請(qǐng)說明理由,。 【答案】解:(1)證明:∵△ABC,、△APD和△APE都是等邊三角形, ∴AD=AP,∠DAP=∠BAC=600,∠ADM=∠ APN=600,。∴∠DAM=∠PAN,?！ 唷鰽DM≌△APN(ASA),∴AM=AN?！ ?2)①易證△BPM∽△CAP,∴, ∵BN=,AC=2,CP=2-x,∴,即,。 解得x=或x=,?！ 、谒倪?span t='形'>形AMPN的面積即為四邊形ADPE與△ABC重疊部分的面積,?！ 摺鰽DM≌△APN,∴?！ ?。 如圖,過點(diǎn)P作PS⊥AB于點(diǎn)S,過點(diǎn)D作DT⊥AP于點(diǎn)T,則點(diǎn)T是AP的中點(diǎn),?！ ?span t='在'>在Rt△BPS中,∵∠P=600,BP=x, ∴PS=BPsin600=x,BS=BPcos600=x?！ 逜B=2,∴AS=AB-BC=2-x,。 ∴,?！ 唷,！ ??！ ?span t='當(dāng)'>當(dāng)x=1時(shí),S的最小值為?！ ,、圻B接PG,設(shè)DE交AP于點(diǎn)O?！ ∪簟螧AD=150, ∵∠DAP =600,∴∠PAG =450,。 ∵△APD和△APE都是等邊三角形, ∴AD=DP=AP=PE=EA,?！ ?span t='四'>四邊形ADPE是菱形?！ 郉O垂直平分AP,。 ∴GP=AG,?！唷螦PG =∠PAG=450?！ 唷螾GA =900,。 設(shè)BG=t, 在Rt△BPG中,∠B=600,∴BP=2t,PG=,?！郃G=PG=?！ ?解得t=-1,。∴BP=2t=2-2,?！ ?span t='當(dāng)'>當(dāng)BP=2-2時(shí),∠BAD=150?！ ?span t='猜'>猜想:以DG,、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形,?！ 咚倪呅蜛DPE是菱形,∴AO⊥DE,∠ADO=∠AEH=300?！ 摺螧AD=150,∴易得∠AGO=450,∠HAO=150,∠EAH=450,。 設(shè)AO=a,則AD=AE=2 a,OD=a?！郉G=DO-GO=(-1)a,。 又∵∠BAD=150,∠BAC=600,∠ADO=300,∴∠DHA=∠DAH=750,?！ 逥H=AD=2a, ∴GH=DH-DG=2a-(-1)a=(3-)a, HE=2DO-DH=2a-2a=2(-1)a?！ ? , ∴?！ ?span t='以'>以DG,、GH、HE這三條線段為邊構(gòu)成的三角形是直角三角形,?！ ±?.(2012江蘇蘇州8分)如圖,已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P是直徑AB左側(cè)半圓上 的動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線l的垂線,垂足為C,PC與⊙O交于點(diǎn)D,連接PA、PB,設(shè)PC的長(zhǎng)為. ?、女?dāng)時(shí),求弦PA,、PB的長(zhǎng)度; ⑵當(dāng)x為何值時(shí),的值最大?最大值是多少? 【答案】解:(1)∵⊙O與直線l相切于點(diǎn)A,AB為⊙O的直徑,∴AB⊥l,。又∵PC⊥l,∴AB∥PC.∴∠CPA=∠PAB,。 ∵AB為⊙O的直徑,∴∠APB=90°,?！ 唷螾CA=∠APB.∴△PCA∽△APB?！ ?即PA2=PC·PD,。 ∵PC=,AB=4,∴,?！ ?span t='在'>在Rt△APB中,由勾股定理得:?！ ?2)過O作OE⊥PD,垂足為E,。 ∵PD是⊙O的弦,OF⊥PD,∴PF=FD,?！ ?span t='在'>在矩形OECA中,CE=OA=2,∴PE=ED=x-2?！ 郈D=PC-PD= x-2(x-2)=4-x ,。 ∴,?！ ? |
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