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▌第5章連續(xù)性和可導(dǎo)性
來看看函數(shù)的兩種類型的光滑性: 連續(xù)性和可導(dǎo)性(Continuity and Differentiability). 一個函數(shù)是連續(xù)的, 則圖像是沒有間斷、跳躍或無限逼近的振蕩.

▌5.1 連續(xù)性

比如對于  這樣的函數(shù)在  處有一條垂直漸近線(Vertical asymptotes), 把函數(shù)圖像分成了兩部分.

5.1.1 在一點(diǎn)處連續(xù)
如果  , 函數(shù)  在點(diǎn)  處連續(xù).

5.1.2 在一個區(qū)間上連續(xù)
清楚了函數(shù)在一個單點(diǎn)上連續(xù)的定義, 再看函數(shù)在區(qū)間  上的每一點(diǎn)都連續(xù), 那么它在該區(qū)間上連續(xù).

對于形如  的區(qū)間, 這里對于點(diǎn)  和  需要函數(shù)的單側(cè)連續(xù)性.

5.1.3 連續(xù)函數(shù)的一些例子
很多的常見函數(shù)都是連續(xù)的. 例如, 每一個多項(xiàng)式都是連續(xù)的(證明見書); 初等函數(shù), 如指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù),、平方根函數(shù)與三角函數(shù)在它們的定義域上也是連續(xù)的函數(shù); 絕對值函數(shù)也是連續(xù)的;

5.1.4 介值定理
知道一個函數(shù)是連續(xù)的會有很多好處. 我們將看看其中兩個好處. 第一個介值定理（intermediate value theorem, 又稱中間值)就是用到了連續(xù)函數(shù)在兩點(diǎn)之間的連續(xù)性.
如果連續(xù)函數(shù)  通過  兩點(diǎn)，它也必定通過 區(qū)間內(nèi)的任一點(diǎn)  .
介值定理圖解動畫如下所示:

5.1.6 連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值
函數(shù)是連續(xù)的所帶來的第二個好處給出了最大值和最小值定理(Max-Min Theorem:):

△ 定理:
如果  在  上連續(xù), 那么  在  上至少有一個最大值和一個最小值.

▌5.2 可導(dǎo)性(Differentiability)
連續(xù)性意味著函數(shù)光滑, 另一種表示光滑的特性就是可導(dǎo)性, 這實(shí)質(zhì)上就表示函數(shù)有導(dǎo)數(shù). 發(fā)展微積分的最初靈感之一來自試圖去理解運(yùn)動物體的速度,、距離和時間的關(guān)系.

5.2.1 平均速率(Average speed)
平均速率(speed), 距離(distance), 位移(displacement), 終點(diǎn)位置(final postion), 初始位置(initial position), 平均速度(average velocity).

? 提醒: 速度可以是負(fù)的, 而速率必定是非負(fù)的.

5.2.3 瞬時速度(Instantaneous velocity)
在時刻  的瞬時速度 

5.2.4 速度的圖像闡釋(The graphical interpretation of velocity)

當(dāng)  趨于  時,  點(diǎn)就越來越接近點(diǎn)  點(diǎn). 由于瞬時速度是割線在  趨于  時的極限. 于是瞬時速度就等于通過點(diǎn)  的切線的斜率.

5.2.5 切線(Tangent lines)
首先需要注意的一點(diǎn), 可能在一個圖像上給定的一點(diǎn)沒有切線. 例如, 考慮  的圖像, 在  處沒有切線, 因?yàn)樵c(diǎn)處是尖點(diǎn), 不能在那里同時顧及兩邊的圖像.

如果通過  的切線存在, 你又該如何找到它?
通過  的切線斜率 

5.2.6 導(dǎo)函數(shù)
對  關(guān)于變量  求導(dǎo)得到函數(shù)  , 也即是

如果對于某個特定的 , 極限不存在, 那么  的值就沒有在導(dǎo)函數(shù)  的定義域里, 即  在  點(diǎn)不可導(dǎo).

5.2.7 作為極限比的導(dǎo)數(shù)
在導(dǎo)函數(shù)  的公式中,  其實(shí)為  的增量.

該公式的一個闡釋是, x 中的一個小的變化產(chǎn)生了大約  倍的  中的變化. 用 dx 表示x 中的十分微小的變化". 對y 也有類似的表示方法, 可以用
一種不同的且更方便的方法來寫導(dǎo)數(shù)：用  來代替 .

5.2.9 二階導(dǎo)數(shù)和更高階導(dǎo)數(shù)
函數(shù)  取其導(dǎo)數(shù)得到一個新的函數(shù) , 實(shí)際上可以采用這個新的函數(shù), 再次求導(dǎo). 最終得到導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù), 這被稱為二階導(dǎo), 寫作 , 可以用  來代替.

5.2.10 何時導(dǎo)數(shù)不存在
右導(dǎo)數(shù)和左導(dǎo)數(shù)的思想定義分別為:
左導(dǎo)數(shù): 
右導(dǎo)數(shù): 

跟在極限的情況一樣, 如果左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等, 那么實(shí)際的導(dǎo)數(shù)存在且有相同的值. 同時, **如果導(dǎo)數(shù)存在, 那么左右導(dǎo)數(shù)都存在且都等于導(dǎo)數(shù)值**. 下圖是不滿足上述結(jié)論的動畫示例 - 絕對值函數(shù)在零點(diǎn)不可導(dǎo)情況:

函數(shù)  就是在其定義域內(nèi)不是處處可導(dǎo)的連續(xù)函數(shù), 不過除了  點(diǎn)外函數(shù)可導(dǎo). 也存在著連續(xù)但處處不可導(dǎo)的函數(shù), 如下面所示的魏爾斯特拉斯函數(shù).

5.2.11 可導(dǎo)性和連續(xù)性(Differentiability and Continuity)
?**可導(dǎo)函數(shù)必連續(xù).** 不過從上面  例子, 就可以知道連續(xù)函數(shù)并不總是可導(dǎo)的. (完)