函數(shù)應(yīng)該算是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，也是我們接觸得比較多的數(shù)學(xué)對象,，從小學(xué)到大學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之中,，函數(shù)可以說無處不在。如今我們以極為簡潔的方式定義了函數(shù),，然而函數(shù)概念的發(fā)展卻并不是一帆風(fēng)順的,，大量的數(shù)學(xué)家耗費將近三個世紀(jì)的時間才最終形成了一套成熟的函數(shù)語音。

將自然現(xiàn)象和規(guī)律用數(shù)學(xué)方式表達(dá)出來并加以研究應(yīng)當(dāng)說是近代科學(xué)得以發(fā)展的一個重要原因,，而函數(shù)在這個過程中幾乎起著決定性的作用,。根據(jù)現(xiàn)存的資料，函數(shù)概念的雛形最早出現(xiàn)在葛列格里(1638~1675)的論文《論圓和雙曲線的求積》中,，他把函數(shù)定義為其他量通過一系列運算得到的量,。但直到牛頓創(chuàng)立微積分理論，他也沒有明確到底什么是“函數(shù)”,，而只是使用“流數(shù)”這樣的概念來表達(dá)變量之間的關(guān)系,，在之后很長一段時間里，由于函數(shù)概念的含糊不清，微積分理論一直飽受爭議,。盡管如此,，不嚴(yán)格的微積分理論還是催生了數(shù)學(xué)內(nèi)外的大量成果，但不嚴(yán)格性始終如同達(dá)摩克斯之劍一般懸在數(shù)學(xué)家頭上,。

實際上，函數(shù)這個詞出自“數(shù)學(xué)名詞和符號圣手”萊布尼茨,，他在1673年首先使用了“函數(shù)”這個詞,，并且提出了“變量”和“參變量”這樣的概念，這已經(jīng)非常接近函數(shù)如今的模樣,。牛頓和萊布尼茨時代的函數(shù)基本都是為了適應(yīng)微積分理論而出現(xiàn)的,，也就是說，這些函數(shù)都是可以用自變量明確表示出來的,，而且滿足可導(dǎo)性等較為嚴(yán)格的條件,。但數(shù)學(xué)家們很快就發(fā)現(xiàn)，函數(shù)的解析性大大地局限了所能研究的范圍,，進(jìn)而出現(xiàn)了連續(xù)函數(shù)的概念,，當(dāng)時被稱之為“幾何的函數(shù)”。這一時期的函數(shù)都具有強烈的幾何色彩,，也就是說,，數(shù)學(xué)家所關(guān)心的函數(shù)都可以用圖像表示出來，可以直觀地感受函數(shù)的性質(zhì),。

直觀的函數(shù)概念對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展來說還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,，于是函數(shù)論的發(fā)展很快就走上了抽象化的過程。如今我們通用的函數(shù)記號f(x)是歐拉在1734年提出的,，大概從這個時候起,，函數(shù)論開始走上了獨立的發(fā)展道路。1769年,，達(dá)朗貝爾在研究中首先得到了函數(shù)方程：

之后柯西得到了更多具有數(shù)學(xué)和物理意義的函數(shù)方程,，并且開始系統(tǒng)研究函數(shù)方程的解，取得了很多結(jié)果,。但實際上,，許多重要而困難的函數(shù)方程問題直到后來才由阿貝爾解決，同時,，阿貝爾極大地推進(jìn)了橢圓函數(shù)論的發(fā)展,，從而函數(shù)論的發(fā)展有了質(zhì)的提升。

在歐拉和拉格朗日之前,，數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家所研究的函數(shù)都是在定義域上整體定義的,，直到對物理中弦振動仔細(xì)研究之后，歐拉和拉格朗日才首先提出了在不同區(qū)間上有不同表達(dá)式的函數(shù)。當(dāng)時來自物理的直觀在很長一段時間里給數(shù)學(xué)家一種錯覺,，那就是同一區(qū)間上處處擁有相同函數(shù)值的兩個函數(shù)完全是同一個函數(shù),，即它們有相同的表達(dá)式。但這種錯誤最終還是被傅里葉揭示出來,。在傅里葉著名的《熱的解析理論》中,，他創(chuàng)造性地利用三角級數(shù)來表達(dá)函數(shù)，從而舉出了反例：

從中我們可以看到,，盡管兩個函數(shù)的值可能處處相同,，但它們可以有不同的表達(dá)式，所代表的意義也是可以不一樣的,，不能稱之為完全相同的一個函數(shù),。傅里葉的結(jié)果一出，立即引發(fā)了數(shù)學(xué)界強烈的震動,，即使是拉格朗日這樣偉大的人物也一時難以接受,。這些已經(jīng)說明，對函數(shù)固有的直觀認(rèn)識已經(jīng)不能滿足數(shù)學(xué)發(fā)展的需要了,。

在19世紀(jì)初期,，古典函數(shù)概念的缺陷越發(fā)明顯，如果說傅里葉所揭示的問題還不算大錯特錯,，那么從狄利克雷開始,，函數(shù)的古典概念將受到致命打擊。在此之前,，在微積分教材上都可以找到“連續(xù)函數(shù)在某些連續(xù)點一定是可導(dǎo)的”這樣的結(jié)論,，即使是當(dāng)時的大數(shù)學(xué)家也不會覺得有什么問題。實際上,，這樣的錯誤認(rèn)識主要是因為對函數(shù)的認(rèn)識仍未擺脫直觀想象,，同時函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性到底意味著什么，當(dāng)時的數(shù)學(xué)家也沒搞清楚,。

狄利克雷在1829年邁出了微積分嚴(yán)格化的第一步,，他給出了著名的狄利克雷函數(shù)：

數(shù)學(xué)家們驚訝地發(fā)現(xiàn)，狄利克雷函數(shù)處處不連續(xù),，處處不可導(dǎo),，在任意區(qū)間上也不存在黎曼積分。狄利克雷函數(shù)極為“扭曲”的分析性質(zhì)所帶來的沖擊甚至比傅里葉的例子還要大,，對某些頑固的數(shù)學(xué)家來說,，甚至是致命的，因為這個函數(shù)無法把它的圖像直接畫出來,，完全沒有任何解析性質(zhì),，也就沒法“想象”了,。基于長期的考慮,，1837年狄利克雷給出了我們今天所見到的函數(shù)定義：給定區(qū)間上的自變量x,，都有唯一的因變量y與之對應(yīng)，那么y是x的函數(shù),。集合論出現(xiàn)之后,，1887年戴德金又給出了兩個集合之間函數(shù)的定義，自此函數(shù)便有了擺脫直觀而且明確的定義,。

狄利克雷大概是歷史上第一個真正考慮抽象函數(shù)的數(shù)學(xué)家,，他關(guān)心函數(shù)的單調(diào)性，連續(xù)性,，可導(dǎo)可積性等，而忽略函數(shù)的實際來源和物理幾何意義,，也就是說,，狄利克雷關(guān)心的是函數(shù)本身的性質(zhì)，而不是關(guān)于它的各種計算,。應(yīng)該說,，從狄利克雷開始，對函數(shù)的認(rèn)識實現(xiàn)了從具體到抽象的演變,，而且事實證明,，這不僅沒有脫離實際，反而促進(jìn)了函數(shù)的各種應(yīng)用,，因為數(shù)學(xué)想要發(fā)揮更大的作用,，那么它本身必須要有堅實嚴(yán)格可信的基礎(chǔ)。

狄利克雷算是開了個頭,，接下來柯西開始為極限和連續(xù)性等概念注入“嚴(yán)格”的靈魂,，但他仍未擺脫“連續(xù)”的限制。在柯西的手中,，他所考慮的函數(shù)都是連續(xù)的,，這無論是對于數(shù)學(xué)本身還是物理等相關(guān)學(xué)科都是不夠的。而突破連續(xù)性限制的第一人則是偉大的黎曼,，在發(fā)展黎曼積分理論的過程中,，黎曼給出了另一個著名的函數(shù)，也就是我們今天所說的黎曼函數(shù)：

黎曼函數(shù)在有理點不連續(xù)而在無理點連續(xù),，但出人意料的是它是可積的,，這也就深刻揭示了可積函數(shù)與聯(lián)系函數(shù)的巨大差異。但限于歷史局限,，黎曼也未能突破不連續(xù)點過多所帶來的影響,，這將留待后人解決。

分析學(xué)的嚴(yán)格化是數(shù)學(xué)史上長達(dá)百年的漫長過程，而這其中的集大成者正是大名鼎鼎的“現(xiàn)代分析學(xué)之父”魏爾斯特拉斯,。魏爾斯特拉斯被稱為“數(shù)學(xué)流言終結(jié)者”,，他在一生中憑借強大的數(shù)學(xué)直覺，針對一些錯誤的數(shù)學(xué)想法,，構(gòu)造出了非常多的反例,，其中最出名的便是給出了“處處連續(xù)但處處不可導(dǎo)”的函數(shù)：

對于這樣連續(xù)卻“沒有導(dǎo)數(shù)”的函數(shù)，當(dāng)時的著名法國數(shù)學(xué)家埃爾米特寫到：“我簡直驚恐萬分,，不愿意面對這樣沒有導(dǎo)數(shù)的連續(xù)函數(shù),，但很不幸，這就是事實,！”,。無數(shù)數(shù)學(xué)家的錯誤數(shù)學(xué)觀念被這個函數(shù)沖垮了，它也再次說明,，數(shù)學(xué)的靈魂是“嚴(yán)格”而非直覺,。

當(dāng)然，魏爾斯特拉斯并不滿足于僅僅指出問題,，他決心要結(jié)束關(guān)于微積分理論長達(dá)兩百年的混戰(zhàn),。魏爾斯特拉斯的偉大之處正在于，他可以從沒有人關(guān)心的平凡細(xì)節(jié)中創(chuàng)造奇跡,，可謂化腐朽為神奇,。他觀察到，真正決定函數(shù)性質(zhì)的不是函數(shù)本身,，而是實數(shù),，實數(shù)的性質(zhì)完全決定了極限，連續(xù),，可微可導(dǎo)等函數(shù)概念,，關(guān)于函數(shù)概念的含糊不清正是因為對實數(shù)的認(rèn)識還不夠。

從實數(shù)出發(fā)導(dǎo)出函數(shù)的各種概念,，這樣的想法受到了當(dāng)時許多數(shù)學(xué)家的嘲諷,，他們都認(rèn)為魏爾斯特拉斯是在自尋煩惱。但魏爾斯特拉斯顯然沒有受這些干擾,，他嚴(yán)格地構(gòu)造完備實數(shù)系,，并從實數(shù)系出發(fā)，定義函數(shù)的極限,，連續(xù)性,，可微可導(dǎo)性，可積性,，級數(shù)的斂散性等等,，從而一舉解決了函數(shù)概念不嚴(yán)格的長期難題,，把分析學(xué)建立在了嚴(yán)格堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，分析學(xué)的“算術(shù)化”也就圓滿完成了,。

關(guān)于魏爾斯特拉斯的偉大功績,，希爾伯特評價到：

“魏爾斯特拉斯以其酷愛批判的精神和深邃的洞察力，為數(shù)學(xué)分析建立了堅實的基礎(chǔ),。通過澄清極小,、極大、函數(shù),、導(dǎo)數(shù)等概念,，他排除了在微積分中仍在出現(xiàn)的各種錯誤提法，掃清了關(guān)于無窮大,、無窮小等各種混亂觀念,，決定性地克服了源于無窮大、無窮小朦朧思想的困難,。今天,，分析學(xué)能達(dá)到這樣和諧可靠和完美的程度本質(zhì)上應(yīng)歸功于魏爾斯特拉斯的數(shù)學(xué)活動”。

尾聲

康托的集合論出現(xiàn)之后,，戴德金以更為現(xiàn)代的觀點敘述了實數(shù)系的完備性定理，這些在如今的數(shù)學(xué)分析教材中都可以找到,。但一波剛平,，一波再起，之前提到過,，黎曼積分有無法克服的困難,，而這在分析學(xué)的嚴(yán)格化之后再度引發(fā)了一場數(shù)學(xué)風(fēng)暴。當(dāng)然,，這已經(jīng)是另一個故事了……